| 18 |
...Een
element gp van de Poincaré-groep Gp wordt
gedefinieerd door een reeks parameters {pi}, waarvan het
aantal per definitie de dimensie van de groep is. De matrix dg
(g=e) wordt opgebouwd uit de reeks {dpi}
. Zodat de voorgaande afbeelding overeenkomt met de anti-actie:
(242)
AA : {dpi}
--> {dpi'}
Om dualiteit
in te voeren en de duale afbeelding te construeren, nemen we aan dat de scalaire invariant is:
(243)
De dimensie van de
Poincaré-groep is 10, whence we have ten scalars { Ji
}, components of the moment Jp.
Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5
, J6 , J7 , J8 , J9 , J10
}
We besluiten dit
op te splitsen in twee objecten:
(244)
Jp= { M , P }
Het eerste, M ,
is een (4,4) antisymmetrische matrix.
P is de vier-vector
(4,1)
(245)
Dan:
(246)
Jp=
{ M , P } = { M , p , E}
Schrijf het inproduct
als:
(247)
Tr betekent spoor. De invariantie
van het inproduct geeft
(248)
met:
(249)
(249b)
(249c)
maar GG = 1
. Dan:
(250)
(250b)
(251)
d.w.z.:
(252)
(252b)
(252c)
(253)
Deze co-adjointe actie kan in matrixvorm worden geschreven:
Het element van
de Poincaré-groep is:
(254)
De getransposeerde is:
(255)
Beschouw de matrix:
(256)
schrijf:
(257)
(258)
(259)
die zal worden geïdentificeerd
met de matrix:
(260)
Dan is Jp
het impuls van de Poincaré-groep, in matrixvorm, en de co-adjointe actie is:
(261)
Oefening: controleer dat
dit een actie is.
De impuls-matrix
komt overeen met:
(262)
De diagonaal van een antisymmetrische
matrix M bestaat uit nullen.
(263)
Het hangt af van zes parameters.
(264)
( lx , ly
, lz , fx , fy , fz )
Laten we de matrix
schrijven:
(265)
De laatste drie componenten
( fx , fy , fz) vormen wat Souriau de
passagevector f noemt:
(266)
De eerste ( lx
, ly , lz) zijn de onafhankelijke componenten van een antisymmetrische
matrix (3,3), die Souriau de spinmatrix noemt.
(267)
waaruit:
(268)
De vector P is de impuls-energie vier-vector:
(269)
Dan kan het impuls van
de Poincaré-groep expliciet worden geschreven in zijn meest algemene vorm:
(270)
Het heeft tien componenten:
(271)
Jp
= { E , px ,py , pz , fx ,fy
, fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
