| 19 |
Deeltjes met spin.
...De
Poincaré-groep beschrijft de relativistische beweging van een puntvormig
object. Op dezelfde manier beschrijft de Bargmann-groep de niet-relativistische beweging.
De componenten van het moment ontstaan als zuiver geometrische grootheden. Het is een geometrisering
van de fysica.
De
fysici zijn vertrouwd met de energie E en de impulsvector p. Maar
zij kunnen enigszins verward raken door de twee andere objecten: de passage f
en de spinvector l. De
vorm van de componenten van het moment hangt af van de keuze van coördinaten.
...Elke
dynamische groep bezit haar eigen momentruimte en coadjoint-werking op deze momentruimte.
Als wij, in plaats van eerst de relativistische wereld (Poincaré-groep)
te kiezen, de niet-relativistische wereld hadden gekozen, zouden wij ons op
de Bargmann-groep moeten baseren. Voor rekenkundige details zie mijn colleges over groepen.
De Bargmann-groep
is een niet-triviale uitbreiding van de Galileo-groep:
(272)
Zoals de lezer kan zien,
werkt deze groep op een vijfdimensionale ruimte:
r : ruimte
t : tijd
z : een aanvullende variabele.
...Deze
kwesties van aanvullende variabele of aanvullende variabelen zullen verder worden behandeld.
Op deze site is de volledige berekening van de coadjoint-werking van de Poincaré-groep
hierboven gegeven. Men zou ook de berekening van de coadjoint-werking
van de Bargmann-groep op haar moment kunnen afleiden. Paradoxaal genoeg is de berekening
in de niet-relativistische wereld enigszins ingewikkelder dan die in de relativistische
wereld.
Het resultaat is het
volgende:
(273)
De fysicus herkent
enkele vertrouwde objecten, zoals de snelheid:
(274)
en kinetische energie:
(275)
m v is de impuls.
Snelheid
ten opzichte van wat?
Een groep verandert
de parameters van de beweging, geeft een deeltje een snelheid v en
een kinetische energie E.
Wij kunnen de
tegengestelde interpretatie kiezen en beschouwen dat een groep een bijzonder standpunt
is over iets, over een deeltje.
Als wij de
groep SO(3) beschouwen, de matrices a, betekent dat "vanuit een andere hoek
bekeken".
Als wij de
groep O(3) beschouwen, matrices a, voegt dat de mogelijkheid toe om het
"ding" door een spiegel te observeren.
De translatievector
(276)
van de Euclides-groep
voegt "van elders bekeken" toe.
In dynamische groepen betekent
de aanwezigheid van een snelheid v in de groep dat de waarnemer beweegt.
De tijdsvertaling
e = Dt betekent dat de waarnemer het ding na
enige vertraging ziet.
De translatievector
Dr en de tijdsvertraging Dt
kunnen samen in een ruimte-tijd-translatievector worden geplaatst:
(277)
Kijk naar de formules,
vanuit de Bargmann-groep, zien wij dat:
m' = m
Wat het standpunt ook is, de massa blijft onveranderd.
Laten wij dit "standpunt" een beetje vereenvoudigen,
door a = 1 te kiezen.
De coadjoint-werking
wordt:
(278)
...De
coadjoint-werking geeft de verandering in de parameters van de beweging aan. Als wij
veronderstellen dat wij van een stationaire situatie naar een niet-stationaire situatie overgaan, corresponderen de
beginvoorwaarden met:
E = 0 ( nul energie )
p = 0 ( nul impuls,
nul snelheid )
"passage" f =
0
Dan geeft de coadjoint-werking:
(279)
"Beschouwen" moet
in zijn etymologische betekenis worden gelezen.
Een deurwaarder zegt:
- Een onderzoek cum inventaris opmaken.
...Een
statische (v = 0) visie op dingen correspondeert met de Euclides-groep.
De deurwaarder observeert dingen op afstand c. Hij observeert feiten
op het moment dat ze gebeuren (Dt = 0). Uiteindelijk kijkt hij vanuit een bepaalde hoek
(a verschillend van 1).
...Een
generaal, die over een slagveld vliegt, in een vliegtuig, is een soort deurwaarder, die dingen observeert vanuit een bewegend standpunt (vanuit een vliegtuig dat
met snelheid v kruist).
...Maar
een generaal, in zijn hoofdkwartier, die naar een film kijkt die enkele uren eerder door een onbemand vliegtuig,
een drone, is opgenomen, zegt:
- Het doel beschouwend, zoals het een uur eerder was (niet-nul Dt), gezien vanuit
een bewegend observatiepunt (niet-nul v), vanaf een hoogte van vijfduizend
voet (niet-nul c), kruisend met snelheid v en een
opname makend onder een bepaalde hoek (a verschillend van 1).
...Een
doel heeft geen bepaalde snelheid, of positie, of oriëntatie, zelfs als het
verondersteld wordt een "vast" gebouw te zijn. Alles is relatief. Zelfs de Aarde,
de Zon, ons sterrenstelsel bewegen door de ruimte.
...De
"noordpool" van de Aarde verschilt van de "noordpool van de Zon", met
23°, en verandert in de tijd ( 26.000 jaar), door de precessie van de equinoxen.
Het noorden dat door de zon wordt aangegeven ( haar eigen rotatieas ) is niet het noorden
dat door ons sterrenstelsel, de melkweg, wordt aangegeven, die haar eigen draaiende beweging
heeft ( een verschil van 90° ). Zelfs een sterrenstelsel beweegt, met driehonderd mijl per uur.
Ten opzichte van wat? Ten opzichte van de andere. Dat is alles wat wij kunnen zeggen.
De groep correspondeert met twee verschillende standpunten.
...Als
ik beschouw dat het object stationair is, vast in ruimte en tijd, en geen
draaiende beweging heeft, is alles wat ik kan zeggen:
- Als ik mij op afstand c verwijder.
- Als ik het ding observeer, terwijl ik met snelheid v kruis.
- Als de informatie, afkomstig van dit ding, mij met een tijdsvertraging Dt bereikt.
Ten opzichte van mij:
---> De massa van het
object wordt niet gewijzigd.
----> Ik geef het object een impuls mv, beschouwd als een schijnbare
impuls.
-----> Het object krijgt een "passage" f = m [ c - v Dt ]
----> Het krijgt een spin
(279b)
Schrijf het op een meer expliciete
manier:
(280)
(281)
(282)
of:
(283)
Men kan de drie onafhankelijke componenten van de spinmatrix l
beschouwen als de component van een vector:
(283b)
...Hoewel
het vectorproduct niet in onze ruimte is gedefinieerd, dat wil zeggen: wij hebben
de ruimte geen rechts-links-oriëntatie gegeven, kunnen wij de laatste uitdrukking als
een vectorproduct beschouwen.
(284)
...De
omgekeerde v geeft het vectorproduct aan. Wij zien dat de laatste regel van de
formules die de coadjoint-werking geven, correspondeert met:
(285)
l is een matrix,
geen vector. Maar volgens de gekozen notatie geven vetgedrukte letters
onverschillig een matrix of een vector aan.
Deze vector begint op iets te lijken dat de fysicus vertrouwd is: het kinetische moment
.
