| 23 |
Roep de componenten van
de Poincaré-groep:
E: energie
p: impuls
f: passage
l: spinmatrix.
Om dicht bij de tekst van Souriau te blijven, noemen we
-
Ln
het element van de neutrale component Ln van de volledige Lorentz-groep L. -
Ls
het element van de component die de ruimte omkeert. -
Lt het
element van de component die de tijd omkeert. -
Lst
het element van de component die zowel de ruimte als de tijd omkeert.
C zijnde de ruimtetijd-vertaalvector, krijgen we de volgende componenten van de Poincaré-groep:
gp
(Ln, C) element van de neutrale component Gpn.
gp
(Ls, C) element van de component Gps,
die de ruimte omkeert.
gp
(Lt, C) element van de Gpt, die de
tijd omkeert.
gp
(Lst, C) element van de Gpst, die
beide omkeert.
De co-adjoint actie
is:
(313)
P is de vier-vector:
(314)
We hebben vier karakteristieke
matrices:
(315)
met l = ± 1 en m = ± 1.
Ln
= L (l = 1; m = 1)
Ls
= L (l = - 1; m = 1)
Lt =
L (l = 1; m = - 1)
Lst
= L (l = - 1; m = - 1)
(316)
(317)
(318)
We zijn geïnteresseerd in
C = 0
(319)
waaruit l' = l
en f' = l m
f
en:
(320)
gp
(Ln, C): I E --> E; p --> p; f ---> f; l ----> l
gp
(Ls, C): I E --> E; p --> - p; f ---> - f; l ----> l
gp (
Lt, C): I E --> - E; p --> p; f ---> - f; l ----> l
gp
(Lst, C): I E --> - E; p --> - p; f ---> f; l ----> l
De omkeringen wijzigen de spinmatrix l niet.
Omgekeerd, T-omkering
en energie-omkering zijn synoniem
E --->
-E
(we zouden het een "E-symmetrie"
kunnen noemen)
De spin s, als de modulus van de spinvector
s, is slechts een getal, onveranderd door de actie van alle componenten
van de groepen, ongeacht of ze orthochroon of antichroon zijn.
...De rustenergie van een deeltje is mc2.
Zoals we zien, gaat de massa-omkering gepaard met de tijd-omkering. Maar de ruimte-omkering
verandert noch de energie, noch de massa.
Souriau noemt de twee
eerste samenhangende componenten van de volledige Poincaré-groep:
Gpn, Gps
de orthochrone componenten
(Gpn is de neutrale component).
En de twee andere:
Gpt, Gpst
de antichrone componenten.
Het probleem van
negatieve massa's rijst. Bestaan ze? Zo ja, wat betreft de botsing tussen
deeltjes met tegengestelde massa's en energieën:
- mc2 en
- mc2
...Merk op
dat dit niet overeenkomt met de zogenaamde "annihilatie" van een paar deeltje
antideeltje. Van de botsing van deze laatste krijgen we stralingsenergie, fotonen.
Het resultaat van de botsing van een positieve energie- en een negatieve energie-deeltje
zou veel puzzelender zijn, want het zou nul moeten zijn: niets.
...Wat is
de Natuur, wat zijn deeltjes? In deze benadering beginnen we met een gegeven groep:
de Poincaré-groep. Dan bouwen we de actie van deze groep op zijn
impulsruimte. Deze impulsruimte bestaat uit punten. Elk punt is een beweging van
een van de geometrische objecten die de ruimte die aan de groep is gekoppeld, samenstellen.
...In
het volgende zullen we laten zien dat de Poincaré-groep niet alle
kenmerken van de deeltjes kan overnemen.
...De
dimensie van de Poincaré-groep is 10.
Dan is de dimensie van
de impuls ook tien.
(321)
J = { E, p, f, l }
Als we een coördinatenstelsel kiezen dat aan het deeltje f = 0 gekoppeld is.
Samenvattend, de enige kenmerken
die natuurlijk voortkomen uit de Poincaré-groep, als geometrische grootheden,
zijn:
Voor een deeltje met massa nul:
- Zijn energie
- Zijn spin en helicititeit
Voor een deeltje met massa niet nul:
- Zijn rustmassa
- Zijn spin.
De andere kenmerken:
-
Elektrische lading
-
Baryonische lading
-
Leptonische lading
-
Muonische lading
-
Tauonische lading
-
Gyromagnetische factor
en het feit dat dit deeltje zou kunnen corresponderen met de wereld van materie of antimaterie
zijn niet "ingesloten" in de Poincaré-groep. We zullen de groep verder verrijken
om hiermee om te gaan.
Op dit moment "bouwt"
de groep geen deeltjes en antideeltjes. Maar, als deze wordt aangevuld met
zijn twee subsets (de twee orthochrone componenten plus de twee antichrone componenten),
"bouwt" hij als distincte soorten, positieve en negatieve energie-deeltjes.
...Als
de volledige Poincaré-groep het universum "regeert", dan kunnen positieve en
negatieve energie samenleven, zodat ze elkaar ontmoeten en een volledige annihilatie-phenomeen
geven. Als het universum zou worden gevuld door 50% positieve energie-deeltjes en 50%
negatieve energie-deeltjes, zou er een groot risico zijn dat het hele universum
zichzelf annihileert, zodat er niets overblijft:
-
Geen positieve energie-deeltjes.
-
Geen negatieve energie-deeltjes
-
Geen positieve energie-foton
-
Geen negatieve energie-foton.
Niets. Helemaal niets. Wat een domperd!
...Zoals
door Souriau gesuggereerd, zou God, in zijn oneindige wijsheid, alleen positieve
energie-deeltjes en positieve energie-fotonen hebben geschapen. Evenzo zouden zijn engelen
het gebruik van de antichrone componenten van de Poincaré-groep verbieden,
die ergens streng gevangen zouden worden gehouden.
...We
zullen nadenken over een andere mogelijkheid in een toekomstige sectie.
