| 24 |
De speciale Galileo-groep.
...De lezer zal deze uitbreiding vinden in het boek van Souriau: Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 en, in het Frans, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Een groep kan worden uitgebreid. Dat betekent dat het aantal parameters waarvan hij afhangt, wordt verhoogd. Bereken het aantal parameters waarvan de Galileo-groep afhangt. We beginnen met de 3d-rotatiematrix:
(322)
Het is een orthogonale matrix:
(323)
deze matrices vormen de groepen SO(3), die een subgroep is van de groep O(3), samengesteld uit alle orthogonale matrices. We hebben:
(324)
Herinner de het verschil met:
(325)
(325b)
zijn de meest algemene orthogonale matrices, waarvan de determinanten voldoen aan:
(326)
Einde van dit parenthesis.
De volgende groep vierkante matrices (5,5) zal de speciale Galileo-groep worden genoemd:
(327)
De rotatiematrix hangt af van drie vrije parameters, de Euler-hoeken. Zodat de dimensie van de groep tien is.
Met de notaties:
(328)
krijgen we:
(329)
Geassocieerd met de ruimte-tijdvector:
(330)
zodat de overeenkomstige actie van de Speciale Galileo-groep is:
(331)
...Gegeven de Speciale Galileo-groep is het mogelijk de actie van de groep op zijn impulsruimte te berekenen. De berekening zal hier niet worden gegeven. De lezer kan die vinden in mijn colleges over groepen, beschikbaar.
Laten we het resultaat geven:
(332)
We herkennen de impuls p en de energie E. De impuls is samengesteld uit:
(333)
JSG
= { E , p , f , l }
...Tien scalaire grootheden. Tien dimensies voor de groep. We hebben nog steeds de passagevector f en de antisymmetrische spinmatrix l (samengesteld uit drie onafhankelijke componenten lx, ly, lz, die de "spinvector" vormen).
De triviale uitbreiding van de Speciale Galileo-groep.
De volgende matrices vormen een nieuwe groep.
(334)
Het introduceert een nieuwe component f, een scalair, de "phasis" (verbonden met de kwantumwereld). De dimensie van de groep wordt
10 + 1 = 11
Deze nieuwe groep werkt op een vijfdimensionale ruimte:
(335)
z is een "extra dimensie". Deze werd voor het eerst geïntroduceerd door de Pool Kaluza, in 1921, en vervolgens door J.M. Souriau, in 1964 (Géométrie et relativité, Hermann Editeur, niet in het Engels vertaald).
Ook hier kan men de overeenkomstige coadjoint-actie van de groep op zijn impulsruimte berekenen. We vinden dit:
(336)
De impuls wordt:
(337)
JTESG
= { m , E , p , f , l }
...We hebben nog een scalair m en we identificeren die met de massa. We zien dat de Speciale Galileo-groep, werkend op de ruimte-tijd, de energie, maar niet de massa, als een component van de impuls brengt. Op dit moment (door triviale uitbreiding) krijgt ons deeltje een extra attribuut, dat zeer willekeurig met de massa wordt geïdentificeerd, en dat niet met de andere componenten van de impuls interacteert.
