| 25 |
Niet-triviale uitbreiding
van de Speciale Galileï-groep.
De Bargmann-groep ( 1960 )
De volgende matrices
( zie mijn lezingen over groepen )
(338)
vormen een groep, ontdekt door Bargmann in 1960. Ook hier werkt deze op een vijfdimensionale
ruimte. Haar dimensie is 11, door de aanwezigheid van de scalair f . Het is een niet-triviale
uitbreiding van de Speciale Galileï-groep.
(339)
Als men de coadjoint-werking van de groep op haar impuls berekent, verkrijgt men :
(340)
...We
zien dat deze coadjoint-werking verfijnder is en dat de massa in wisselwerking
treedt met de andere componenten van het moment. We hebben dat hierboven geanalyseerd en aangetoond
hoe het de fysische betekenis van de componenten van de impuls aan het licht brengt.
...Een
impuls is een beweging van een gegeven deeltje. De Bargmann-groep beschrijft
niet-relativistische bewegingen. We kunnen een deeltje in rust beschouwen, zonder energie,
zonder impuls, zonder spin. Enkel een niet-nul massa :
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
We gebruiken het volgende
element van de Bargmann-groep :
(341)
De componenten van de impuls worden :
(342)
...In
een coördinatenstelsel verbonden aan het deeltje is de doorgang f nog steeds
nul. We hebben aangetoond dat de spinmatrix samenvalt met het kinetische moment.
...Hier,
wat belangrijk is, is te kijken naar de triviale uitbreiding van de Speciale Galileï-groep
(waarom "speciaal" ? Dit zal verder worden uitgelegd). Wanneer
men deze triviale uitbreiding uitvoert, voegt zij enkel een extra scalair toe aan
de impuls.
Laten we de
Poincaré-groep uitbreiden :
Centrale uitbreiding
van de Poincaré-groep.
(343)
"ep" betekent "uitgebreide Poincaré-groep". Lo is het
element van de orthochrone subgroep Lo van de volledige Lorentz-groep
L. Zodat we het bovenstaande element kunnen beschouwen als de orthochrone subgroep
Gepo van een volledige uitgebreide Poincaré-groep, waarvan het element is :
(344)
De twee werken op een vijfdimensionale
ruimte :
(345)
( t , x , y , z , z
).
Men kan aantonen dat deze
uitbreiding geen niet-nul termen op de eerste regel kan verdragen, in plaats van 0
= ( 0 0 0) , tussen 1 en f .
...Zoals
aangetoond door J.M.Souriau, brengt de geometrische kwantificatiemethode (Kostant-Kirilov-Souriau-methode)
de Schrödinger-vergelijking voort uit de Bargmann-groep en
de Klein-Gordon-vergelijking uit de uitgebreide Poincaré-groep ( Structuur
van Dynamische Systemen, Dunod Ed. 1972 ). Bovendien voegt deze centrale
uitbreiding van de groep een extra scalair toe aan de impuls (zoals in de triviale
uitbreiding van de Bargmann-groep) :
(346)
Jep=
{ c , M , P } = { c , Jp }
Jp vertegenwoordigt
de klassieke Poincaré-impuls. Dan wordt de coadjoint-werking van de
impuls eenvoudigweg :
(347)
De berekening is niet
ingewikkeld en is gelijkaardig aan de hierboven gepresenteerde. Men berekent de anti-werking
:
(348)
Dan wordt de dualiteit uitgedrukt
door de constantheid van de volgende scalair :
(349)
...Zodat
we een extra scalair c krijgen, die gewoon behouden blijft door de coadjoint-
werking. Aangezien deze scalair tot nu toe geen fysische interpretatie had gekregen. We
zullen dat allemaal in het volgende ophelderen. Uiteraard
kunnen we de groep zo vaak uitbreiden als we willen :
(350)
Elke keer voegt zij een
extra scalair toe
(351)
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
en de coadjoint-werking
wordt :
(352)
De lezer zal zeggen "wel,
waarom voegen we geen 57 nieuwe scalars toe ? "
Voeg er gewoon zes toe en identificeer
deze nieuwe scalars met
(353)
c 1 = q (elektrische
lading)
c 2 = cB (baryonische
lading)
c 3 = cL (leptonische
lading)
c 4 = cm (muonische
lading)
c 5 = ct (tauonische
lading)
c 6 = v (gyromagnetische
coëfficiënt)
De groep werkt op de volgende tien dimensionale ruimte :
(354)
( x , y , z , t , z
1 , z 2 , z3 , z 4
, z 5 , z6 )
d.w.z. : ruimte-tijd plus
zes extra dimensies.
(355)
Herinner dat deze groep
is opgebouwd met de orthochrone subgroep
Lo = Ln(neutrale component) U Ls (ruimte-inversie bewerkstellend)
van de volledige Lorentz-groep
L.
De impuls wordt
:
(356)
Jpe
= { q , cB , cL , cm , ct ,
v , Jp }
Jp
zijnde het deel van het moment dat overeenkomt met de Poincaré-groep
Gop (orthochrone subgroep).
Wat is de fysische
betekenis ?
...Een
impuls behoort tot een ruimte, die een n-variëteit is. De Poincaré-
groep bezit tien dimensies, zodat de Poincaré-groepsimpuls is
samengesteld uit tien grootheden.
Dan
voegen we zes meer dimensies toe aan de groep, overeenkomend met de extra fasen
:
(357)
f1 ,f2
,f3 ,f3 ,f5 ,f5
De impuls wordt
:
(358)
Jpe
= { J1, J2 J3, J4, J5,
J6, J7, J8, J9, J10,
J11, J12, J13, J14, J15,
J16 }
We beslissen dat onder een
aantal scalars
(359)
Jp
= { J7, J8, J9, J10, J11,
J12, J13, J14, J15, J16
}
we de energie
E, de impuls p, de doorgang f , de antisymmetrische spinmatrix
l identificeren.
...E
en p kunnen alle mogelijke waarden aannemen, maar kwantumargumenten leggen de
constantheid op van de modulus s van de spinvector (in een coördinatenstelsel
verbonden aan het deeltje), wat hier niet gerechtvaardigd is en overeenkomt met Souriau's
werk.
We hebben zes meer scalars
:
(360)
J1, J2
J3, J4, J5, J6
...We
beslissen dat, onder een oneindigheid van mogelijke keuzes, sommige discrete keuzes
overeenkomen met echte deeltjes (en anti-deeltjes). Dan selecteren we, in de 16-variëteit
die overeenkomt met de impulsruimte, discrete bewegingen die overeenkomen
met deeltjes, met gedefinieerde kwantumgetallen
(361)
{ q , cB ,
cL , cm , ct , v }
...Voorlopig
waarborgt de coadjoint-werking van de groep enkel de behoud van deze grootheden, langs gegeven bewegingen. Er zijn "passieve kwantumgetallen"
alsook de massa verscheen als een passieve grootheid, toen zij voortkwam uit de
triviale uitbreiding van de Speciale Galileï-groep.
