groepen en fysica co-adjointe actie impuls
| 1 |
|---|
...Alles wat hierop volgt in dit domein draait om groepen. Kan men een vereenvoudigd overzicht geven van dit onderdeel, zonder een volledig college over groepen te geven? Bovendien, welke relatie bestaat er tussen groepen en deeltjes? Alles lijkt voor een beginneling erg mysterieus.
...Wat is eerst een groep? In hetgeen volgt, een eenvoudige familie van vierkante matrices van formaat (n,n). De bewerking waarmee ze op elkaar kunnen werken is matrixvermenigvuldiging (rij-colom).
Alle deze familie van matrices zullen altijd een neutraal element hebben, van de vorm:
...
Een groep volgt uiteraard axioma's, die van Sophus Lie. De axioma's van groepen zijn algemenere dan die van matrixaxioma's, maar voor ons bestaan er alleen vierkante matrixgroepen, gekoppeld aan een samenstellingbewerking die de klassieke rij-colomvermenigvuldiging is, genoteerd als x.
1 - Eerste axioma van groepen. Er bestaat een compositiebewerking, waarmee twee elementen uit een verzameling kunnen worden samengesteld, en deze compositiewet is intern ten opzichte van die verzameling, in het geval van matrixvermenigvuldiging:
Laat g1 en g2 elementen zijn van een verzameling vierkante matrices G. Door ze samen te stellen krijgen we een vierkante matrix:
g3 = g1 x g2
Het is dan onmisbaar dat deze matrix tot de verzameling G behoort, en van hetzelfde type is, dus:
...U zult zeggen: "vierkante matrices van formaat (2,2): twee rijen, twee kolommen, of (5,5): vijf rijen, vijf kolommen, voldoen aan dit criterium, omdat g3 = g1 x g2 een matrix van hetzelfde formaat is."
Maar deze verzameling is .... te groot, te vaag. U kunt er niets mee doen, en zeker niet in de fysica. Bovendien voldoet hij a priori niet aan de volgende axioma's. Zie verder.
Geef een eenvoudig voorbeeld van een verzameling matrices met één parameter a die een groep vormt:
Stel twee matrices van dit type samen:
of:
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b)
De productmatrix kan worden geschreven als:
Ze is inderdaad van hetzelfde type als g1 en g2. Dat wil zeggen dat:
Contra-voorbeeld. Beschouw een andere familie matrices met één parameter a:
Stel twee matrices van dit type samen:
De verkregen matrix is niet van het type (5). Zoals Magritte zou zeggen: "Dit is geen groep". Het volstaat om één teken te veranderen.
2 - Tweede axioma van groepen:
Er moet een neutraal element bestaan, genoteerd als e, zodanig dat:
g "samengesteld" e = e "samengesteld" g = g
...Bij vierkante matrices is dit neutrale element altijd de eenheidsmatrix, genoteerd als 1, met een vet lettertype: vanaf nu zullen we alle matrices en over het algemeen alles wat geen scalaire is, met een vet lettertype noteren, terwijl dunne letters gereserveerd blijven voor scalairen. Dit zou dan worden geschreven onder deze voorwaarden:
g x 1 = 1 x g = g
In ons voorbeeld:
Het is opmerkelijk dat: