groepen en fysica co-afgeleide actie impuls
| 2 |
|---|
3 - Derde groepsaxioma : Elk element moet een inverse hebben, genoteerd als g-1, gedefinieerd door:
g x g-1 = g-1 x g = 1
In ons voorbeeld, dit is:
dus b = -a of:
g-1 ( a ) = **g **( - a )
...Hier was het berekenen van de inverse matrix duidelijk. Maar dat is niet altijd het geval. Wat moet er dan zijn zodat elke matrix in de overwogen verzameling een inverse heeft, dat wil zeggen inverteerbaar is? Het is noodzakelijk en voldoende dat de determinant niet nul is (en verwijzen we de lezer naar zijn lineaire algebra cursus). Een stelling zegt dat de determinant van een product van matrices gelijk is aan het product van de determinanten van deze matrices. De definitie van de determinant zorgt ervoor dat de determinant van een diagonaalmatrix gelijk is aan het product van de elementen die deze samenstellen. Bijvoorbeeld:
Gevolgen: de determinant van alle eenheidsmatrices 1 is gelijk aan 1. Dus:
det ( **g **) maal det ( g-1) is gelijk aan 1, wat niet nul is
gevolg: een matrix met determinant nul kan geen inverse hebben, wat in strijd is met de definitie. Bovendien:
4 - Vierde groepsaxioma : De samenstelling moet associatief zijn:
( g1 x g2 ) x g3 = g1 x ( g2 x g3 )
Dat is altijd het geval....
Dimensie van een groep:
...Een klein kantteken over de dimensie van een groep (van matrices), die niets te maken heeft met de rang van de matrices of het aantal grootheden die "de ruimte vormen waarop deze groep werkt" (bijvoorbeeld de ruimte (x,y) met twee dimensies of de ruimtetijd (x,y) met vier dimensies).
...We hebben hier een voorbeeld van een familie van vierkante matrices met één parameter a, die zich blijkt te vormen tot een groep. Verder zult u groepen vinden die bestaan uit vierkante matrices gedefinieerd door n parameters: zes, tien, zestien, wat dan ook.
*Het aantal parameters dat nodig is om de vierkante matrices van de groep te definiëren, wordt de dimensie van de groep genoemd.
*
We hebben hier te maken met een groep bestaande uit een familie van matrices met één parameter a. De dimensie van deze groep is 1.
Opmerking:
Opmerking :
...Groepen, en de groepen die ons hier interesseren, zijn niet automatisch commutatief. Dat is zelfs de uitzondering. Het blijkt dat onze groep-voorbeeld commutatief is:
...U zult herkennen in deze groep de rotatiematries in 2d, rond een vast as. In "de praktijk" is deze operatie "duidelijk commutatief". Eerst roteren rond een as:
- Eerst met een hoek a, dan met een hoek b
of:
- Eerst met een hoek b, dan met een hoek a
leidt tot hetzelfde resultaat.
U zult zeggen: "normaal. Rotatiegroepen zijn voornamelijk commutatief".
...Niet waar. Dat is een eigenschap van 2d. In 3d werkt het niet meer. Beschouw een specifieke groep, bestaande uit de verzameling van rotaties rond drie orthogonale assen (OX, OY, OZ).
Oefening: u zult tonen, door een object te nemen en het te laten ondergaan:
-
Eerst een rotatie van + 90° rond OX
-
Dan een rotatie van + 90° rond OZ
en daarna dezelfde rotaties, maar in omgekeerde volgorde, dat u niet hetzelfde resultaat krijgt. Deze operatie is niet commutatief.
Actie van een groep.
...Een groep G bestaat uit een verzameling van vierkante matrices. We kunnen alvast aannemen dat het op zichzelf werkt (zie verder de axioma's die een groepsactie definiëren, een essentieel begrip).
...Onze groep-voorbeeld kan ook werken op de punten van een "2d-ruimte". We zullen zeggen dat het deze punten roteert. Een groep is gemaakt om te transporteren, maar wat precies te transporteren?
...Nou, precies, dat is niet belangrijk. Citerend zijn werk "Grammaire de la Nature", zullen we zeggen, met J.M. Souriau dat:
De manier van transporteren is belangrijker dan wat er getransporteerd wordt.
In het geval van onze groep-voorbeeld, werken de matrices op een 2d-ruimte (x, y), en we kunnen de overeenkomstige actie schrijven
Als we stellen (kolommatrix) :
dan wordt de actie simpelweg geschreven als:
**g **x r
...In dit specifieke geval de actie van onze groep op de ruimte (x, y) komt overeen met matrixvermenigvuldiging. Maar we willen laten zien dat het slechts een specifieke actie is en dat het begrip actie, fundamenteel in de fysica, veel algemener is.