groepen en fysica co-afgeleide actie impuls
| 3 |
|---|
Groep van translaties:
...Beschouw de 2d ruimte (x,y). In deze ruimte, een translatie correspondeert met het paar schalen (Dx, Dy) en het is gebruikelijk om te schrijven
x' = x + Dx y' = y + Dy
Dan wordt de optelling gebruikt. Kan men het zo aanpakken dat de translatie wordt gecodeerd met een ... vermenigvuldiging?
Beschouw de matrices:
en de groepsactie:
Het is duidelijk dat het niet meer om gewone matrixvermenigvuldiging gaat
g x r
maar om de groepsactie:
Op de zijlijn kunnen we translaties in drie, vier dimensies en meer overwegen:
De corresponderende groepsactie is dan:
...Bijzonder is dat de groep van translaties commutatief is en het neutrale element is "de nultranslatie". In 3d is de dimensie van de groep drie, in 4d is het vier.
Belang van matrixgroepen. Voorbeeld: de Euclidische groep.
...Het voordeel van een matrixgroep is dat men tegelijkertijd meerdere dingen kan bespreken, die tot nu toe als van verschillende aard leken, bijvoorbeeld rotatie en translatie. Dan hoeft men alleen maar de matrices te beschouwen:
en de groepselementmatrix te laten werken op de kolomvector om te zien dat dit overeenkomt met de combinatie van een rotatie over een hoek a en een translatie volgens de vector (Dx, Dy).
...Zoals je ziet, werkt de matrix g niet "direct" op de punten (x,y) van deze 2d ruimte, maar via wat men een "groepsactie" noemt, die aan bepaalde axioma's voldoet.
...Zo werkt een groep "op" en "verplaatst", in dit geval punten. Het gaat hier om de Euclidische groep. In verband met de 2d ruimte (x,y), wordt deze groep gedefinieerd door drie parameters. Het is g (a, Dx, Dy): de dimensie van deze groep is 3. In het bijzonder:
g (0, Dx, Dy) vertegenwoordigt het deelgroep van translaties.
g (a, 0, 0) vertegenwoordigt het deelgroep van rotaties rond de oorsprong.
g (0, Dx, 0) vertegenwoordigt het deelgroep van translaties parallel aan een rechte (de OX-as).
...De Euclidische groep verplaatst punten die geen eigenschappen hebben (terwijl dynamische groepen aan een eenvoudig "materieel punt" eigenschappen geven, genaamd massa, energie, impuls, spin).
...Met de Euclidische groep moet men verzamelingen van punten overwegen. Alsof, in de chemie, atomen niet van elkaar te onderscheiden zijn en alleen de geometrie van moleculaire samenstellingen informatie dragen. ...Een meetkundige figuur, driehoek (beschouwd als een verzameling van drie punten of drie segmenten), vierkant (beschouwd als een verzameling van vier punten of vier segmenten), kan worden verplaatst door de groep. Hier komt het fundamentele idee van soort in actie. Twee "objecten" worden als dezelfde soort aangemerkt als er een element van de groep is dat ze op elkaar kan afbeelden.
In het licht van de Euclidische groep vormen vierkanten met dezelfde zijde a een soort:
Vierkanten van dezelfde soort.
...Als de zijden a en b verschillend zijn, zijn deze objecten niet van dezelfde soort. Er is geen element van de groep dat ze kan transformeren. In het licht van de Euclidische groep
deze vierkanten vormen geen dezelfde soort. .
Euclides toestaat geen vergrotingen. Om dit te kunnen behandelen, moet men overgaan naar een andere groep, de groep van Descartes:
groep met vier parameters g ( l, a , Dx, Dy) , l is een vergrotingscoëfficiënt. Dus de dimensie van deze groep is 4.
Vanaf daar is het duidelijk dat er ook een Euclidische groep kan zijn die werkt op objecten in drie dimensies.
...Het gaat er niet om een volledig college over groepen te geven, maar om enkele ideeën te voelen. Wat is dierkunde? Een wetenschap die bestaat uit het bestuderen van dieren en ze te classificeren. Als men zich beperkt tot de vorm, laat de Euclidische groep toe om volwassen konijnen te classificeren. Om konijnen van verschillende groottes in dezelfde soort te kunnen classificeren, moet men de Descartes-groep inzetten, aangezien er geen element van de Euclidische groep (3d) is dat het overbrengen van een klein konijn naar een groot konijn mogelijk maakt.
...U lacht? U heeft gelijk. U heeft misschien in uw appartement of huis een baby in opleiding, die in een hoek speelt. U heeft hem een klassiek speelgoed gegeven en hij probeert erin te passen in een soort vormdoos: cilinders, kubussen of driehoekige prisma's.
...Wat doet hij? Hij familiariseert zich met de Euclidische groep in 3d. Hij klassificeert objecten per soort, wat hem later zal helpen ze te herkennen, om "vormherkenning" te doen.
...Hoewel ze verschillende kleuren hebben, controleert de baby of er acties van groepen (verplaatsingen van deze objecten in de 3d-ruimte) zijn die het mogelijk maken om cilinder A en cilinder B in overeenstemming te brengen, gebruikmakend van het gat dat de "holle vorm" van deze cilinder of prisma is: de toegang naar het compartiment van zijn klassificatiekast. Zo leert hij dat deze cilinders A en B, in het licht van het criterium vorm (Euclidische groep), tot dezelfde soort behoren.
