groepen en fysieke co-adjointe actie impuls
| 4 |
|---|
...Merkt op dat het systeem dat we het kind aanbieden niet zonder gebreken is. Het werkt alleen correct als de objecten die beschikbaar zijn die zijn die met het spel zelf zijn verkocht. Merk op dat het vakje "cilinders" cilinders met dezelfde straal, maar verschillende lengtes, maar ook paperclips, een borstel, een sleutel, enz. toelaat...
...Logisch, het kind dat dit groepenleerproces ondergaat, zal kunnen afleiden dat een kastensleutel en een cilinder objecten van dezelfde soort zijn. Dat is waar, in de zin dat deze objecten de gemeenschappelijke eigenschap hebben "die in het gat daar past".
...Mijn dochter, toen ze veel jonger was, voerde ze zeer interessante experimenten uit met groepen, waarbij ze als ingang, als zeef, de ingang van de schijflezer van mijn computer gebruikte. Het kostte een volledige ontmanteling, na uitschakeling, om haar redenering te reconstrueren, wat uiteindelijk logisch was. Tegenwoordig blijft ze sterk geïnteresseerd in groepen. Maar het zijn niet dezelfde, en deze keuzes bevalt mij niet.
...Laten we teruggaan naar ons kind van daarnet. Weinig maanden later zullen we hetzelfde kind introduceren in de Galileïsche groep, door objecten te gooien en het aan te moedigen om ze te vangen. Dan is de vorm van de objecten niet meer belangrijk, wat telt zijn hun beweging. We veranderen van groep. Voor het baby wordt het object (van voldoende kleine grootte om het te kunnen vangen) gelijkgesteld met zijn zwaartepunt. Het is een "massapunt", een "materieel punt". De Galileïsche groep beheert de dynamica van materiële punten.
De indeling gebeurt dan op basis van de soort beweging.
-
Dat kan ik vangen.
-
Dat kan ik niet vangen.
...Het baby beoordeelt de beginsituatie, positie en snelheidsvector, op basis van een blik, en moet het type beweging herkennen waarmee het te maken heeft, en anticiperen.
...Als hij groot is, speelt hij misschien tennis, waarbij altijd de Galileïsche groep in actie is, net als de Euclidische groep, een vierkante matrix. Omdat tennisballen zich bewegen met duidelijk lage snelheden ten opzichte van de lichtsnelheid, hoeft hij niet over te stappen op de Poincaré-groep (een andere vierkante matrix, die de relativistische beweging van materiële punten beheert).
...Toch zijn de materiële punten die worden beheerd door de Galileïsche groep niet meer dezelfde als de punten van de Euclidische groep; ze hebben attributen. De specialist in wiskundige fysica die de Galileïsche groep gebruikt, praat niet meer over materiële punten, maar over bewegingen. Wat hij probeert te classificeren, zijn bewegingen. Dan stuiten we op een essentieel aspect van de fysica van elementaire deeltjes: we zoeken een fenomenologische beschrijving te koppelen:
Zeg me hoe je beweegt, dan vertel ik je wie je bent.
...We zoeken niet meer naar "uit welke stof een deeltje bestaat", maar hoe het zich gedraagt. Zo gedragen neutrale deeltjes zich niet op dezelfde manier als elektrisch geladen deeltjes. Ze behoren tot verschillende soorten. Ze hebben verschillende attributen.
...Ons baby van daarnet, nu een hoogenergetische fysicus, bekijkt misschien dagelijks foto's van een bubbelkamer.
Foto's verkregen met behulp van een bubbelkamer (Schem..) ...Linker foto: een proton, een neutron en een elektron zijn door het veld van de kamer gegaan. De kamer is onderworpen aan een magnetisch veld dat loodrecht staat op het vlak van de figuur. Het neutron, dat geen elektrische lading heeft, laat zich daar niet door storen. Het gaat rechtuit. De geladen deeltjes hebben zeer verschillende baanstralen (Larmorstraal). De lichte elektronen draaien veel scherper in een magnetisch veld dat loodrecht staat op hun baan dan de zware protonen. En beide draaien in tegengestelde richting.
Verzameling bewegingen, beheerd in een magnetisch veld, door...
Maar deze groep bestaat nog niet. Als je hem zou vinden, zou je gelukkig maken.
...Toch merkt onze man bij het bekijken van zijn foto's verschillende baanverzamelingen op.
-
Dat gaat rechtuit, dat is een neutron.
-
Dat draait langzaam naar rechts, dat is een proton.
-
Dat draait scherp naar links, dat is een elektron.
...Rechter foto: een elektron en een antielektron, die zijn ontstaan uit dezelfde straling (stippellijn), volgen symmetrische banen, een teken dat ze tegengestelde elektrische ladingen hebben.
Gedragsclassificatie van soorten, als verzamelingen van bewegingen.
De impuls.
...Dit puur geometrische object kan worden gezien als een verzameling attributen. Laat geladen deeltjes even buiten beschouwing, daar komen we later op terug. Een "relativistisch materieel punt" heeft attributen die zijn gegroepeerd volgens wat de wiskundige Jean-Marie Souriau, leider op het gebied van wiskundige fysica, in een object noemt: impuls gekoppeld aan de Poincaré-groep.
De attributen van het relativistisch materieel punt heten:
-
Energie E
-
Impuls p - Draaiing l (gerelateerd aan spin)
-
Doorreis f
De "impuls" is dus:
J = { E , p , l , f }
Opmerking terloops:
...Vanaf nu gebruiken we in alles wat volgt de gewoonte om scalaire grootheden te noteren met dunne letters en niet-scalar (vierkante matrices, rijmatrices, kolommatrices) met dikke letters.
...Precisie: we kunnen nu alle matrixvermenigvuldigingen rij-colom uitvoeren met behulp van deze dunne of dikke letters, wat uiterst handig is. Geef een voorbeeld. De actie van het element van de Euclidische groep in 2D werd geschreven als:
Door het invoeren van:
krijgen we de compactere notatie:
g neemt dan de vorm aan van een matrix, zelf opgebouwd uit deelmatrices:
-
a is een vierkante matrix van formaat (2,2).
-
c is een kolomvector (de translatievector) van formaat (2,1).
-
0 is een rijvector van formaat (1,2):
In het algemeen zijn de dikke 0 zowel rij- als kolomvectoren.
De actie wordt dan:
Aangezien a r betekent a x r (maar uiteindelijk wordt het vermenigvuldigings teken vaak weggelaten).
Einde van de opmerking, terug naar het thema van de impuls. Terug naar de uitdrukking ervan in het geval van een relativistisch materieel punt.
J = { E , p , l , f }
E is een scalaire grootheid (de energie).
p is de vector impuls.
l en f (dikke letters) zijn andere vectoren (lx,ly,lz) en (fx,fy,fz): de "draaiing" en de "doorreis".
...In het kader van persoonlijke onderzoeken die we in dit onderdeel Geometrische Fysica B (de dynamische groepen van de fysica) zullen presenteren, zal het probleem juist zijn om andere "attributen" van elementaire deeltjes te laten ontstaan, als onderdeel van een rijkere impuls (de ladingen: elektrisch, baryonisch, leptonisch, tauonisch en het gyromagnetisch moment).
...Souriau bouwde in de jaren zeventig de methode uit waarmee de componenten van de impuls van een materieel punt kunnen worden afgeleid uit de groep die het beheert (in de relativistische context is dat de Poincaré-groep). Zie het boek: Structure des Systèmes Dynamiques. Dunod 1973
Sterk aanbevolen: aspirine.
...Het is dan moeilijk verder te gaan zonder een vrij uitgebreid wiskundig instrumentarium, anders gezegd, een vrij complexe wiskunde. Misschien doen we dat later op de site, als er enthousiastelingen zijn, in de stijl van "Alles wat je altijd hebt willen weten over groepen, zonder ooit durven vragen".
