groepen en fysica coadjointe actie impulsie
| 5 |
|---|
Een vierkante matrix van rang (n,n) werkt op een kolomvector (n,0). We hebben gezien dat de Euclidische groep in 2D, die verwijst naar een ruimte (x,y), geen actie uitvoert op kolomvectoren:
(51)
maar op kolomvectoren:
(52)
Dit is een voorbeeld van een actie van de groep op een ruimte X met x ∈ X. Er zijn oneindig veel mogelijke acties, zelfs al is het alleen de actie van de groep op zichzelf. Acties worden gedefinieerd door axioma’s.
(53)
Bij beschouwing van de kolomvector:
(54)
waarbij x bijvoorbeeld de vectoren vertegenwoordigt:
(55)
(56)
voldoet aan de axioma’s van groepsactie. Men kan dan een linksvermenigvuldiging uitvoeren van de vierkante matrix die het groepselement vertegenwoordigt, met een rijmatrix y, en zich afvragen of dit ook een actie is.
(57) Ag(y) = y x g
Het antwoord is neen. Dit is geen groepsactie: het voldoet niet aan de hierboven gegeven axioma’s. Dit noem ik dan een "anti-actie", die voldoet aan de volgende "anti-axioma’s":
(58)
De wiskundige zal zeggen dat het volkomen overbodig is om deze "anti-acties" te noemen, en dat er slechts één stel axioma’s bestaat. Terecht. Evenzo kan wat als anti-actie wordt beschouwd:
(59) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
waarbij m een gegeven vector is, een "anti-actie van het groepselement g uit G op de matrix m", met g⁻¹ als inverse matrix, worden gezien als een gewone actie van het element g⁻¹.
Evenzo is een "anti-actie" niets anders dan de dualiteit van een actie. Ik vond het handig om dit concept in te voeren, uit didactische redenen.
Vanuit een groep van vierkante matrices, afhankelijk van n parameters πi, kunnen we matrices maken door alle parameters te differentiëren naar: dπi. De zo verkregen matrices, bezaaid met elementen dπi, vormen geen groep, maar wat men noemt de "tangentvector aan de groep": dg (zijn "Lie-algebra", die in het voorbijgaan geen echte algebra is, maar dat laat ik even voor wat het is).
De groep kan dus werken op de "tangentvector" dg, in de buurt van het neutrale element e van de groep, via de "anti-actie":
(60) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Zo verkrijgen we het schema:
(61)
Maar een anti-actie is de dualiteit van een actie. Wanneer er dualiteit is, blijft een scalair product S behouden.
Souriau zocht dus naar een tweede groepsactie, de actie van de groep op zijn momentenruimte. Maar deze actie, de zogenaamde coadjointe actie of essentiële actie, kon niet direct ontstaan. Hij moest eerst dit tussenstation passeren dat ik "anti-actie van de groep op zijn tangentvector" noem.
De gewenste actie ontstaat dus als dualiteit van de anti-actie van de groep op zijn tangentvector. En de dualiteit van een anti-actie is een actie, die geschreven wordt als:
(62) Ag(J)
waarbij J het "moment" is: een verzameling van grootheden die attributen zijn van een "materieel punt", en de betreffende actie, de zogenaamde coadjointe actie, laat zien hoe deze attributen veranderen bij beweging.
Er bestaat een groep, die later zal worden gegeven, die een uitbreiding is van de Galileïsche groep, ook later gegeven, en die de Bargmann-groep (1960) heet. Door deze methode toe te passen op deze groep, kunnen we het moment JB construeren en de manier waarop de groep erop werkt.
Souriau zegt vaak:
Het moment volgt de beweging als zijn schaduw.
Een mooie afbeelding, ontleend aan zijn werk "Grammaire de la Nature". Het materieel punt beweegt zich inderdaad in de ruimte-tijd (x,y,z,t). Tijdens deze beweging veranderen zijn attributen, wat wordt beschreven door deze coadjointe actie van de groep op zijn momentenruimte.