groepen en fysica coadjointe actie impuls
| 6 |
|---|
We zullen de componenten van de impuls van de Bargmann-groep niet opschrijven. Schematisch schrijven we de impuls van de Bargmann-groep als volgt:
JB = { een scalaire m, plus de andere componenten van de impuls }
De coadjointe actie geeft aan hoe de verschillende componenten van de impuls transformeren. Maar deze coadjointe actie begint met de eenvoudige relatie:
(63) m' = m
De coadjointe actie van de Bargmann-groep op haar impuls begint dus met het behouden van de massa, die hiermee een zuiver geometrisch statuut verkrijgt.
Constructie van de coadjointe actie van de Poincaré-groep op haar ruimte van impulsen Jp**.**
Als u zich al volledig verdwaald voelt, laat het dan maar. Dat is normaal en het wordt met de pagina's steeds moeilijker. Ik weet niet meer goed wie dit volgende eigenlijk bedoeld is voor. Waarschijnlijk theoretische fysici of wiskundigen, maar zeker niet een loodgieter-zingenaar. Maar een student van een Grande École of een bachelor in natuurkunde die vasthoudt, kan het volgen. Het zijn immers maar matrices.
Het begint met een groep van (4,4)-matrices die de Lorentz-groep vormen, waarvan het element L is.
Deze worden axiomatisch gedefinieerd via een matrix G:
(64)
volgens:
(65) tL G L = G
waarbij tL de getransponeerde van de matrix L is.
De matrices L vormen een groep.
Bewijs.
Het neutrale element is L = 1:
Zij L1 en L2 twee elementen van de verzameling. Controleer of het product L1L2 tot de groep behoort. Als dat het geval is:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Maar:
t( A B ) = t B t A
Dus:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Bereken vervolgens de inverse van de matrix L. We beginnen met de axiomatische definitie van de elementen L:
tL G L = G
Vermenigvuldig rechts met L-1:
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
Vermenigvuldig links met G:
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
Dus is de inverse matrix van L:
L-1 = G tL G
Dus:
(66)
de ruimtetijdvector. De matrix G komt van de Minkowski-metriek, die dan kan worden geschreven (met c = 1):
(67)
Oefening: toon aan dat de inverse matrix voldoet aan:
(68)
We voeren nu een ruimtetijdtranslatievector in:
(69)
Vanaf hier bouwen we het element gp van de Poincaré-groep:
(70)
Oefening: toon aan dat dit een groep vormt en bereken de inverse matrix:
(71)
Hieronder de "tangentvector aan de groep, element van haar Lie-algebra":
(72)
Vanaf hier berekenen we de anti-actie:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Om het berekenen te vereenvoudigen, merken we op dat:
(74) G d L
een antisymmetrische matrix is. Noem deze:
(75)
dus:
(76)
Stel:
(77)
Vanaf dit materiaal bouwen we de anti-actie:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Na alle berekeningen krijgen we de afbeelding:
(79)
Als u deze eenvoudige matrixberekening wilt overslaan, ga dan naar vergelijking (80), onderaan de pagina.
(79a)
(79b)
waaruit de componenten van de anti-actie volgen:
(79c)
maar:
(79d)
dus:
(79e)
maar GG = 1, dus:
(79f)
waaruit we de afbeelding afleiden:
(79g)
Wat de gewenste anti-actie vormt, de afbeelding:
(80)
