groepen en fysica coadjointe actie impulsie
| 8 |
|---|
(91)
Deze coadjointe actie kan geschreven worden in matrixvorm.
De matrix van de Poincaré-groep is:
(92)
zijn getransponeerde is:
(93)
Overweeg de matrix:
(94)
Dit betekent dat we de impuls
(95) Jp = { M , P }
in matrixvorm zullen brengen en het product vormen:
(96)
(97)
(98)
dat ik kan identificeren met de matrix:
(99)
Jp is dus de impuls van de Poincaré-groep, in matrixvorm gebracht. En de coadjointe actie wordt geschreven als:
(100)
Als oefening kan de lezer, uitgaande van de axioma's, controleren dat dit inderdaad een actie is.
De impuls van de Poincaré-groep kan als volgt worden uitgewerkt:
(101)
Deze matrix is antisymmetrisch (wat inhoudt dat de hoofddiagonaal uit nullen bestaat). M is de matrix:
(102)
Verduidelijk deze:
(103)
Dit is inderdaad een antisymmetrische matrix, zoals vanaf het begin verondersteld, afhankelijk van zes parameters:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
De drie laatste ( fx , fy , fz) zijn de componenten van een vector, de vector-verplaatsing f:
(105)
De drie eerste ( lx , ly , lz) zijn de onafhankelijke componenten van een antisymmetrische (3,3)-matrix, de rotatie l:
(106)
Zoals:
(107)
De vector P is de viervector van impuls-energie:
(108)
We kunnen nu de impuls van de Poincaré-groep in volledige algemeenheid uitwerken:
(109)
We controleren dat dit inderdaad een object is met tien componenten (aantal gelijk aan het aantal dimensies van de groep).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}