groepen en fysica coadjointe actie impuls
| 9 |
|---|
Deeltjes met spin.
De Poincaré-groep beschrijft de relativistische beweging van een puntvormig object. Evenzo beschrijft de Bargmann-groep, waarvan de uitdrukking later gegeven wordt, de niet-relativistische beweging van een puntvormig object, dat dan een "puntmassa" wordt genoemd.
Men ziet dus dat deze techniek, het berekenen van de coadjointe actie van de groep op de ruimte van de impulsen, heeft geleid tot het opduiken van verborgen elementen, kenmerken van het object: de componenten van de impuls.
Wat opvallend is, is dat deze aanpak, ontwikkeld door Souriau, de kernobjecten van de natuurkundige als zuiver geometrische objecten laat verschijnen. Hij heeft hiermee een ongekend werk van geometrisering van de natuurkunde verricht.
Naast energie en impuls, zijn de andere componenten, het "wervelen" en het "doorreizen", voor de natuurkundige nogal verwarrend. Wat is hieraan de betekenis?
De uitdrukking van de impulscomponenten hangt uiteraard af van het gekozen coördinatensysteem.
Misschien is het eenvoudigst om even terug te keren naar de niet-relativistische situatie, ofwel naar de vorm van de coadjointe actie zoals die zou zijn voortgekomen uit de analyse van de Bargmann-groep.
(111)
Mysterieuze formule. Wat is de betekenis ervan? Hoe werkt het?
In deze kader zal de natuurkundige enkele vertrouwde objecten herkennen:
(112)
zijn niets anders dan twee uitdrukkingen van de snelheidsvector { vx , vy , vz }, de eerste in vorm van een kolommatrix en de tweede in vorm van een rijmatrix. Het product van de twee matrices is een scalaire:
(113)
iets dat begint te lijken op kinetische energie.
m v is een impuls.
De traditionele natuurkundige, bij de dynamica van een puntmassa, kent slechts drie dingen:
- De massa m
- De impuls m v
- De kinetische energie 1/2 mv²
Ja, maar snelheid ten opzichte van wat?
Een groep is ook een visie op dingen. Men kan dan kiezen om te beschouwen dat men met behulp van de groep objecten verplaatst (zoals bij de Euclidische groep), ten opzichte van een verondersteld vaste waarnemer, of, het object zijnde vast, dat men het op een andere manier observeert.
Als men deze verplaatsing, deze transportatie van objecten, overneemt, in het geval van dynamische groepen, die van de natuurkunde (in tegenstelling tot de Euclidische groep waarin de tijd niet voorkomt), moet men ook zeggen dat men de objecten in beweging brengt, hen snelheid v en energie E geeft.
Als men het tegenovergestelde standpunt inneemt: het object is vast en men overweegt zichzelf te verplaatsen, welke betekenis geven aan groepen?
De Euclidische groep zou dan betekenen:
"Zien vanaf een andere plek en onder een andere hoek".
"De andere plek" is de translatievector:
(114)
"Zien onder een andere hoek" is de rotatiematrix a, een rotatie in de ruimte (die men zou kunnen uitwerken met de Eulerhoeken, wat we hier niet doen).
Bij dynamische groepen moet deze visie, deze manier van kijken naar "dingen", worden verrijkt. Blijvend binnen de context van de Bargmann-groep, betekent het invoeren van deze snelheid v dat de waarnemer, die deze puntmassa vanaf een andere plek (translatievector c) en onder een andere hoek (rotatiematrix a) observeert, ook zelf beweegt ten opzichte van deze veronderstelde stilstaande puntmassa, met snelheid v.
En om volledig te zijn, om het nog complexer te maken, evolueert hij niet in dezelfde tijd als het deeltje, de waargenomen puntmassa. Hij is ten opzichte daarvan vertraagd met een tijdsverschil Δt. Met andere woorden: hij observeert vanaf een andere plek, maar het is een ruimte-tijd-plek, overeenkomend met de ruimte-tijd translatievector:
(115)
Als men zich op deze manier op afstand van deze puntmassa bevindt, wat constateer ik dan? Ten eerste dat: m' = m
Dit heeft geen invloed op de massa.
Ik kan mijn leven vereenvoudigen door de rotatie te annuleren. Het is al ingewikkeld genoeg om een puntmassa vanaf een andere plek te observeren, vanaf een ander tijdstip, vertraagd, op een skateboard dat met snelheid v beweegt. Is het echt absoluut noodzakelijk om ook nog eens mijn hoofd te kantelen?
Nee. Laat a = 1.
Maar dit detail wordt meestal over het hoofd gezien in berekeningen. De coadjointe actie, op deze manier gespecificeerd, wordt:
(117)
"Overwegen" moet hier in de etymologische zin worden genomen. Wat doe ik als ik een situatie overweeg, de hemel, een slagveld, een film van een spionagievliegtuig?
Een notaris schrijft:
- Overwegende de toestand op de plaats...
Statische visie, overeenkomend met de Euclidische groep. De notaris observeert de objecten op afstand c, op hetzelfde moment (Δt = 0), in principe stilstaand ( v = 0). Gevallen zijn onder een bepaalde hoek, onder "een bepaalde hoek".
Een generaal die in een verkenningvliegtuig rondvliegt, is een soort notaris die zich verplaatst (v ≠ 0).
Maar een hoofd van de staf die de film van een spionagedrone bekijkt, staat voor een tijdsverschoven situatie. Hij is genoodzaakt zichzelf te zeggen:
- Overweeg het doelwit, gezien vanaf een bepaalde plek, in een hellende bocht, met een bepaalde snelheid, en bovendien zoals het er twee uur geleden uitzag...
Het doelwit heeft geen specifieke eigen snelheid. Men kan het niet als stilstaand beschouwen, zelfs al is het "een vaste installatie". Zelfs de Aarde beweegt, ook de Zon, de melkweg, enzovoort.