groepen en fysica coadjointe actie impulsie
| 10 |
|---|
Het enige wat ik kan zeggen is:
- dat ik me op een afstand c van de "doelwit" heb verwijderd.
- het observeer terwijl ik zelf beweeg met snelheid v.
- en dat ik ten opzichte van dit doelwit vertraagd ben met een tijd Dt.
Ten opzichte van mijzelf:
--- Ik heb de massa m niet gewijzigd.
--- Ik heb het een impuls m v (impuls) gegeven.
---- Ik heb het een "overgang" m [ c - v Dt ] gegeven.
---- En een rotatie:
Laten we deze laatste uitwerken:
(118a)
(118b)
(118c)
of:
(118d)
Men kan de drie onafhankelijke componenten van de rotatiematrix l beschouwen als die van een vector. Deze vector wordt dan:
(119)
Hoewel we in onze ruimte het vectorproduct niet hebben gedefinieerd, dus geen rechter- of linkerhandigheid hebben toegekend, kunnen we dit toch beschouwen als een vectorproduct:
(120)
het omgekeerde v duidt het vectorproduct aan. Men ziet dat de laatste regel van de formules voor de coadjointe actie op de impuls overeenkomt met:
(121)
l is een matrix en geen vector (maar in onze notatie geven vetgedrukte letters zowel matrices als vectoren aan, terwijl cursieve letters scalaren aanduiden).
Deze vector van het vectorproduct begint er voor de fysicus uit te zien als iets bekends: het impulsmoment.
Men neemt een deeltje, verwijdert zich eroverheen met c en observeert het terwijl men zelf beweegt met snelheid v. Het lijkt alsof het omgekeerde is: dat het deeltje verwijderd is van een veronderstelde stilstaande waarnemer en zich beweegt met snelheid v.
(122)
Er blijft nog de "overgang" f = m [ c - v Dt ]
Deze verdwijnt door simpelweg c = v Dt te stellen, dus door de snelheid v en de ruimte-tijdverschuiving te verbinden:
(123)
Laten we de uitdrukking voor de impuls afkomstig van de Poincaré-groep heroverwegen, uitgedrukt in een coördinatenstelsel waarin de overgang nul is:
(124)
Een deeltje is een specifieke keuze binnen de impuls. Toch kunnen coördinatentransformaties de overgang f doen verdwijnen en de componenten van de rotatie l en de impuls P terugbrengen tot één component (beweging in z-richting):
(125)
Het object dat wordt beschreven door de Poincaré-groep heeft dus a priori:
- Een energie E
- Een impuls P
- Een intrinsieke rotatie l
De rotatie is een massa maal een lengte, vermenigvuldigd met een snelheid. Het heeft dus de dimensie M L² T⁻¹ van de constante van Planck h.
De methode van geometrische kwantisatie, ontwikkeld door Souriau (zie Structure des Système Dynamiques, Dunod 1973), laat zien dat deze rotatie evenredig moet zijn met:
(125b)
met half-gehele waarden. Dat wil zeggen ofwel de eenheid (foton), ofwel 1/2 voor andere deeltjes zoals elektron, proton, neutron, neutrino's en hun antideeltjes.