groepen en fysica co-adjointe actie impuls

groepen en fysica co-adjointe actie impulsie

Deeltjes met massa en niet-nul spin.

Er is geen directe relatie meer tussen energie en impuls, zoals bij fotonen en neutrino's, deeltjes met nul massa.

(131)

m is de rustmassa, die dan overeenkomt met de massa die voortkomt uit het Bargmann-groep, waaruit volgt:

(132a)

(132b)

Beperken we ons tot:

Proton, elektron, neutron en hun antideeltjes.

De deeltjes bezitten verschillende ladingen, eigenschappen, die evenmin voortkomen uit het Poincaré-groep:

• De elektrische lading e = ± 1
• De baryonische lading cB = ± 1
• De leptonische lading cL = ± 1
• De muonische lading cm = ± 1
• De tauonische lading ct = ± 1
• Het gyromagnetisch verhoudingsgetal v

De omkering van al deze grootheden komt overeen met de C-symmetrie. We kunnen dit dan samenvatten in het onderstaande overzicht:

(133)

die een willekeurige oriëntatie kan hebben, net zoals de spin.

Het magnetisch moment is gelijk aan het gyromagnetische verhoudingsgetal v vermenigvuldigd met de spin s.

(134)

Hier hebben we een vetgedrukte letter s gebruikt voor de spin. Dit betekent dat de richting van de spin van de deeltjes willekeurig kan zijn. Maar hun grootte is een van hun kenmerken en is fundamenteel invariant (geometrische kwantisatie van het roteren van de deeltjes).

De C-symmetrie, de ladingconjugatie, die het gyromagnetische verhoudingsgetal v omkeert, keert ook het magnetisch moment om. De spin blijft onveranderd.

Permanente magneten.

Als men een stuk zacht ijzer plaatst in een voldoende sterk magnetisch veld en daarna het veld vermindert, behoudt het metaal een permanente magnetisatie. Wat is er gebeurd?

Het magnetische veld alineert de spins van de elektronen, die zich gedragen als kleine magneten, kleine magnetische dipolen.

Maar waarom behouden ze dan de richting die hun werd opgelegd? Door imitatie. Elk elektron alineert zich volgens het magnetische veld dat wordt opgewekt door zijn buren. En aangezien ook de andere elektronen dit doen, blijven al deze momenten parallel. Het is een soort "ruimtelijke Panurge". Tenzij men het stuk metaal verhit of ermee slaat, waardoor uiteindelijk die mooie elektronische orde wordt verstoord.

Magnetisch moment van antimaterie.

De ladingconjugatie, verbonden aan de omzetting materie-antimaterie in de zin van Dirac (dat zullen we later uitleggen), leidt tot een omkering van het magnetisch moment, door de omkering van het gyromagnetische verhoudingsgetal, terwijl de spin onveranderd blijft.

Natuurlijk wijzigt deze C-symmetrie noch de energie, noch de impuls van het deeltje.

De vier componenten van het Lorentz-groep.

Zoals gezien is het element L van het Lorentz-groep L axiomaaties gedefinieerd. Het moet voldoen aan:

(135)

(136)

Elke matrix L die aan deze definitie voldoet behoort tot het groep L. Het is een (4,4)-matrix, die bijvoorbeeld kan werken op:

(137)

met andere woorden op ruimte-tijd. We kunnen dan terecht vragen of deze matrices symmetrieën kunnen uitvoeren in deze ruimte. Kan men bijvoorbeeld x vervangen door -x? Kunnen de matrices worden ingedeeld in verschillende onderverzamelingen, die dit doen en die het niet doen?

Veel tijd geleden (in het Engels: many beautiful candles ago), is dit uitgebreid onderzocht en aangetoond dat het Lorentz-groep bestaat uit vier soorten matrices.

Ln – die noch ruimte, noch tijd omkeren.
Ls – die de ruimte omkeren.
Lt – die de tijd omkeren.
Lst – die zowel ruimte als tijd omkeren.

We noemen deze verzamelingen componenten van een groep. Het Lorentz-groep heeft dus vier componenten.

Onmiddellijk kunnen we vier matrices opstellen, waarvan elke matrix behoort tot de genoemde onderverzameling:

(138)

An = 1 (neutraal element), behoort tot Ln: omkeert noch ruimte noch tijd.
As behoort tot Ls: omkeert de ruimte.
At behoort tot Lt: omkeert de tijd.
Ast behoort tot Lst: omkeert zowel ruimte als tijd.

Om een groep te vormen (in dit geval een ondergroep van het Lorentz-groep) moet een verzameling matrices het neutrale element 1 in de overeenkomstige (n,n)-vorm bevatten, hier: (4,4). Alleen de matrices uit de verzameling Ln voldoen aan dit criterium. Ze vormen een ondergroep van het Lorentz-groep. Aangezien deze verzameling het neutrale element van de groep bevat, noemen we het ook wel de neutrale component van de groep. De andere verzamelingen matrices vormen geen ondergroepen (onmogelijk: ze bevatten niet het neutrale element).

Opmerking:

(139) At = - As
Ast = - An

We kunnen dan de verzameling Lo = Ln » Ls beschouwen, die een ondergroep van het Lorentz-groep is en die we orthochroon [1] noemen. De matrices Lac = Lt » Lst vormen geen groep, maar de verzameling componenten die gerelateerd zijn aan de omkering van de tijd, een verzameling die we antichroon [12] noemen. Het volledige Lorentz-groep is:

(140) L = Lo » Lac

Maar we kunnen ook opmerken dat het element:

(141) m Lo, met m = ± 1

het volledige groep dekt.