groepen en fysica coadjointe actie impuls
| 13 |
|---|
De vier componenten van de Poincaré-groep.
Vanuit de Lorentz-groep bouwen we de Poincaré-groep, reeds eerder genoemd:
(142)
C is de vector "ruimte-tijd translatie".
(143)
De Poincaré-groep heeft ook vier componenten, elk gekoppeld aan de overeenkomstige component van de Lorentz-groep.
Hierboven: de actie van de groep op zijn ruimte van bewegingen. Maar wat interessant is, zijn de acties van de vier componenten op de impuls. Zie: Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973 (en Birkhauser 1997, in het Engels), hoofdstuk III, bladzijde 197, sectie getiteld: Inversions d'espace et de temps.
Laten we de componenten van de impuls herinneren die geassocieerd zijn met de Poincaré-groep:
E: energie
p: impuls
f: doorstroom
l: draaiing
Om dicht bij de notaties van Souriau te blijven, noemen we:
- Ln de neutrale component van de Lorentz-groep.
- Ls de component die de ruimte omkeert.
- Lt de component die de tijd omkeert – Lst de component die beide omkeert.
Aangezien C een ruimte-tijd translatie is, zijn de vier componenten van de Poincaré-groep:
gp ( Ln , C) neutrale component
gp ( Ls , C) omkeert de ruimte
gp ( Lt , C) omkeert de tijd
gp ( Lst , C) omkeert zowel ruimte als tijd.
Laten we de effecten op de componenten van de impuls onderzoeken. We moeten de formules overwegen die de actie van de groep op zijn ruimte van impulsen geven:
(144)
P is de viervector:
(145)
We kunnen de matrices analyseren:
(146)
met l = ± 1 en m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = - 1)
(147)
(148)
Laten we nu de actie op de draaiing en doorstroom onderzoeken.
(149)
Maar in wat ons interesseert is C = 0
(150)
waaruit l' = l en f' = l m f
We concluderen:
(151) gp ( Ln , C) : I E → E ; p → p ; f → f ; l → l
gp ( Ls , C) : I E → E ; p → - p ; f → - f ; l → l
gp ( Lt , C) : I E → - E ; p → p ; f → - f ; l → l
gp ( Lst , C) : I E → - E ; p → - p ; f → f ; l → l
Inversies veranderen de draaiing l nooit.
Daarentegen zijn tijd-inversie en energie-inversie, E → -E, synoniemen.
De draaiing is synoniem met spin, wanneer deze gequantificeerd is. Geen enkele inversie verandert deze.
De spin (als grootte van de draaiingsvector van de deeltjes) is slechts een getal.
De energie van een deeltje in rust is mc².
De tijd-inversie is synoniem met massa-inversie.
De ruimte-inversie omkeert de massa niet.
De eerste twee componenten van de groep worden door Souriau orthochroon genoemd, en de laatste twee antichroon.
Hij merkt op dat dit het probleem van negatieve massa’s oproept, dat fysici meestal niet prettig vinden. Immers, wat gebeurt er bij de ontmoeting van twee deeltjes met energieën +mc² en -mc²?
Er is een volledige annihilatie. Het gaat niet om de eenvoudige annihilatie materie-antimaterie, die immers fotonen oplevert. Het zou een fenomeen zijn dat puur niets oplevert.
Om dit gevaar van negatieve massa’s te vermijden, overweegt Souriau twee oplossingen. De eerste is simpelweg besluiten dat deeltjes met negatieve massa niet bestaan. De tweede is het uitsluiten van de antichrone transformaties.
Met andere woorden zouden we kunnen zeggen:
- God, in zijn oneindige wijsheid...
Laten we doorgaan met het opbouwen van elementen die dienen als uitgangspunt voor ons eigen werk.