groepen en fysica coadjointe actie impulsie
| 14 |
|---|
Centrale uitbreiding van de Poincaré-groep.
Een dergelijke uitbreiding wordt vermeld in het boek van J.M. Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques. Zijn methode van geometrische kwantisatie stelt hem in staat, uit een groep, de vergelijkingen van de kwantummechanica af te leiden. Zo leidt de Bargmann-groep, die het niet-relativistische puntdeeltje beschrijft, tot de Schrödingervergelijking, ook niet-relativistisch.
Het uitgangspunt is de Galilei-groep. Het is een (5,5)-matrix, opgebouwd op de volgende manier:
(152)
De rotatiematrix hangt af van drie parameters, de Eulerhoeken. De dimensie van de groep is dus tien.
Met behulp van de notaties:
(153)
(154)
en geassocieerd met ruimtetijd:
(155)
Hoewel dit vreemd lijkt, verschijnt de massa m, als geometrisch object, niet bij de constructie van de coadjointe actie van de groep op haar impulsruimte. Dat kan alleen via een niet-triviale uitbreiding van deze groep, de Bargmann-groep (1960).
(156)
Het voorkomen van de scalaire f verhoogt de dimensie van de groep met één: elf.
Deze groep werkt op een vijfdimensionale ruimte, de ruimtetijd, plus een extra dimensie z, via de actie:
(157)
De coadjointe actie van de Bargmann-groep op haar impuls is hierboven gegeven. Men ziet dat het toevoegen van de scalaire f, door een dimensie aan de groep toe te voegen, een extra component toevoegt aan de impuls, die dan kan worden geïdentificeerd met de massa m (die in de loop van het proces behouden blijft: m' = m).
Vanuit de Bargmann-groep en met zijn methode van geometrische kwantisatie kan Souriau vervolgens de niet-relativistische Schrödingervergelijking construeren.
De relativistische kwantumvergelijking is de Klein-Gordon-vergelijking. Het was dan ook logisch om te onderzoeken welke groep deze vergelijking zou kunnen voortbrengen. Dat is de centrale uitbreiding:
(158)
"pe" voor "Poincaré uitgebreid". Hier hebben we de Poincaré-groep opgebouwd uit het orthochrone deel van de Lorentz-groep Lo.
De bijbehorende ruimte is ook vijfdimensionaal:
(159) ( t , x , y , z , z ).
Deze uitbreiding is eenvoudiger dan die van Bargmann, maar in feite zijn de dingen altijd gemakkelijker in de relativistische context. Men bewijst bij voorbeeld dat tussen het 1 en het f in de eerste rij alleen de rijmatrix 0 = ( 0 0 0) kan staan: alleen nullen.
De methode van geometrische kwantisatie leidt dan tot de Klein-Gordon-vergelijking. Met betrekking tot de actie van de groep op haar impulsruimte krijgen we:
(160)
Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
De berekening is niet ingewikkeld. Die volgt in feite precies het patroon van de coadjointe actie van de Poincaré-groep op haar impuls.
Men berekent de anti-actie:
(160 b )
en drukt vervolgens de invariantie van het scalair product (dualiteit) uit:
(160 c)
Als je dit berekeningsproces doorstaat, is dat een duidelijk goed teken. Het betekent dat je echt begint aan te komen in deze warboel.
Er verschijnt dus een scalaire c, die uitsluitend functie heeft om behouden te blijven. Wat betekent dit? Geen verklaring. Het is simpelweg "iets dat behouden blijft". Men kan het bijvoorbeeld de status van elektrische lading geven.
De eerste gedachte die opkomt, is deze uitbreiding meerdere malen uit te voeren:
(161)
Later zal blijken dat dit onbeperkt kan, en dat elk keer een extra scalaire wordt toegevoegd:
(162) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
met de volgende coadjointe actie:
(163)
Men zal dan bepaalde discrete waarden van de componenten van de impuls beschouwen als de ladingen van het deeltje.
Goed, zal de lezer zeggen, inderdaad kunnen we bijvoorbeeld zes extra rijen toevoegen. Dan krijgen we invariantie van scalairen die we kunnen identificeren met:
(164)
c 1 = e (elektrische lading)
c 2 = cB (baryongetal)
c 3 = cL (leptongetal)
c 4 = cm (muongetal)
c 5 = ct (taugetal)
c 6 = v (gyromagnetisch factor)
Het zou voldoende zijn om de groep te beschouwen, met de overeenkomstige actie, geassocieerd met een tien-dimensionale ruimte:
(165) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
(166)
Opnieuw bouwen we de groep rond het orthochrone deel Lo van de Lorentz-groep:
Lo = Ln (neutrale component) » Ln (ruimte-inversie).
Deze groep, met twee componenten, doet simpelweg zes scalairen verschijnen die het deeltje begeleiden zonder met iets te interageren. De impuls wordt:
(167) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp is de "Poincaré-deel". Maar dit blijft van beperkt belang.