groepen en fysica co-afgeleide actie impuls

groepen en fysieke coadjointe actie impuls

Terugblik op de vraag van de impuls.

We zijn klaar om een avontuur aan te gaan, dat wil zeggen een eenvoudige matrix te schrijven, een groep te bedenken die afhankelijk is van een bepaald aantal parameters en in staat is op een ruimte met een bepaalde dimensie te werken (hier in het bijzonder tien). Vervolgens, werkend op de manier van boustrophedon (van bous, het paard, en strophedein, het veld) hebben we deze beroemde coadjointe actie van de groep op haar impulsruimte berekend en gedefinieerd, met zijn kenmerken, componenten en de manier waarop deze coadjointe actie erop werkt; aan die actie zullen we dan een betekenis en een fysieke interpretatie proberen te geven.

Laten we even terugkijken op de weg die we hebben afgelegd, door een groep opnieuw onder de loep te nemen die, hoewel zij formeel ingewikkelder lijkt:

(168)

ons een coadjointe actie heeft gegeven, zoals hieronder:

(169)

die onmiddellijk de componenten van dit puntobject, dit materieel punt liet verschijnen.

(170)
JB = { E , m , p , f , l } JB = = { E , m , px , py , pz , fx , fx , fx , lx , lx , lx }

In elk geval wisten we vanaf het begin dat deze mysterieuze impuls uit elf scalairen moest bestaan, omdat hun aantal gelijk moest zijn aan de dimensie van de groep, die eveneens elf is. Een blik op de matrix-elementen van de Bargmann-groep:

(171)

a is een "orthogonale" matrix, een matrix die "draait" of "gerelateerd is aan een rotatie in een driedimensionale ruimte". We hadden deze uitgewerkt voor het geval van twee dimensies. In dat geval afhankelijk van slechts één parameter, de rotatiehoek a.

In drie dimensies hangt deze af van drie parameters, de Eulerhoeken:
a b g

De snelheidsvector v geeft drie extra parameters:
vx vy vz

De ruimtelijke translatie c voegt er drie toe:
Dx Dy Dz

en de tijdsverschuiving een extra: e = Dt

Totaal: tien.

Een mysterieuze elfde parameter toevoegen: f "gerelateerd aan de kwantumwereld". Goed....

Totale som: elf. Dus een impuls met elf componenten, die ik in de vorm kan zetten:

(172)

JB = = { J1 , J2 , J3 , J4, J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }

Terwijl ik alles berekende, kon ik verbindingen tussen deze impulscomponenten ontdekken, hoe ze met elkaar in verband stonden, hoe ze zich organiseerden om te vormen:

• in scalairen (E en m)
• in vectoren (p en f)
• in een matrix: l.

Het is alsof ik zeg: een mens heeft een hoofd, twee armen en twee benen. Maar hoe beweegt hij zich, hoe zijn deze "onderdelen" met elkaar verbonden?

De coadjointe actie gaf ons vervolgens aan hoe de groep werkt op deze impulscomponenten:

(173)

In deze tabel zag men onmiddellijk dat in deze beroemde impuls één van de componenten, m (die net zo goed zijn oorspronkelijke naam J2 had kunnen behouden, willekeurig gekozen), een eenvoudige scalar, geheel ongevoelig bleef voor deze groepsactie.

We dachten toen dat dit statuut goed zou passen bij wat we denken te weten over de massa m in een niet-relativistische wereld.

Deze formules van de impuls gaven ons de waarden van deze verschijningen, genoemd attributen, componenten van de impuls die geassocieerd zijn met het materiële punt: we volgen de materie in haar toestanden: wanneer hij gedraaid is (a), ruimtelijk verplaatst (c), tijdelijk (e), bewogen met een snelheid v en mysterieus verplaatst in deze eveneens mysterieuze vijfde dimensie z, met een hoeveelheid f, waarvan we horen dat "alles hiermee te maken heeft met de kwantumwereld".

Goed....

De impuls ondergaat een transformatie via de coadjointe actie die erop werkt. Hij gaat van een "toestand":

(174)

naar een andere "toestand":

(175)

Waarom zouden we dan niet een soort "grondtoestand" beschouwen, die is:

(176) JB = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 } = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 }

en zeggen dat een coadjointe actie dan attributen zou kunnen opleveren die ik herken?

Maar ik zie dat ik ten minste de massa m moet meenemen, omdat de coadjointe actie deze niet verandert. Als ik hem nul zou nemen, zou hij dat blijven. Dus moet ik beginnen met het basisobject:

(177)
JB = { 0 , m , 0 , 0 , 0 } = { 0 , m , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }

Dit object heeft geen energie. Het is de actie van de groep die hem er een geeft. Evenzo geeft ze hem een impuls, een verplaatsing en een draaiing.

Een kinetische energie:

(178)

Een impuls (de fysicus met een integristische neiging zou zeggen een "hoeveelheid beweging"):

(179) m v

Een "draaiing", een soort "eigen impulsmoment", alsof ons materiële punt zichzelf kon draaien (wat mogelijk is voor een klein metaalbolletje, met massa m, klein genoeg om als een punt te worden beschouwd):

(180)

Er blijft dit uiterst verwarrende object voor een fysicus, het "verplaatsingsattribuut". E dat op mijn materiële punt werkt, heb ik hem een "verplaatsingsattribuut" gegeven, terwijl hij er aanvankelijk geen had, en dit attribuut blijkt te zijn:

(181)

Alle componenten van de groepsmatrix zijn behandeld als onafhankelijke grootheden. Dat is "de meest algemene translatie".

Uiteindelijk, wanneer je op een mens werkt, kan hij "verplaatst" worden en in alle toestanden gebracht worden.

Hier zou het gaan om de meest algemene translatie, waarbij ons materiële punt,
ofwel: - gedraaid is: a - ruimtelijk verplaatst: c - tijdelijk verplaatst: e

• bewogen met een snelheid: v - verplaatst met een mysterieuze hoeveelheid f in een niet minder mysterieuze ruimte z.
  ofwel: - vanaf een afstand c waargenomen - door een waarnemer met een snelheid v - onder een hoek a - volgens een filmopname die e = Dt eerder of later werd gemaakt.
• vanaf een "vijfde ruimtelijke kijkhoek" z, waar de waarnemer mysterieus "verplaatst was over z"
  Alles dat zou moeten "terugkomen op hetzelfde".