groepen en fysica co-adjointe actie impuls
| 16 |
|---|
Het is gebleken dat men de overgang **f ** kon annuler, volgens de eerste idee: door te veronderstellen dat het materiële punt zich verwijderde (of naderde, in ieder geval bewoog met snelheid v en dat dit gedurende een tijdsperiode e = Dt een verplaatsing c = v Dt veroorzaakte).
Vanuit het omgekeerde perspectief zou de waarnemer zich met snelheid v verplaatsen en gedurende de tijdsperiode Dt een afstand c = v Dt afleggen.
Laten we dus de overgang vergeten, die altijd kan worden geannuleerd *door het deeltje te volgen in zijn beweging *, door snelheid v en afgelegde weg c te verbinden.
Wiskundig is dit simpelweg een ondergroep, de translaties waarin men de zwakheid had om snelheid, tijd en afgelegde weg te verbinden, waarbij de snelheidsmeter, de tijdsindicatie en de snelheidsmeter niet volledig onafhankelijk zijn.
Fysisch redelijk.
Er blijven deze vreemde ondergrondse bewegingen, deze toevoeging van een hoeveelheid f aan een extra dimensie z. Het "kwantumondergronds", een van deze aspecten van de platonische projectielantaarn, waaraan wij zouden moeten onbereikbaar zijn.
Goed...
Laten we nu terugkeren naar de groep die het bewegen van het relativistische punt regelt, de Poincaré-groep.
(182)
"orthochrone" versie, standaard. Zijn impuls is:
(183) Jp = { M , P ) = { M , p , E }
(184)
Telling: tien. Maar ik had ook gewoon kunnen schrijven:
(185)
Jp = { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
Ik heb de co-adjointe actie opgebouwd. Ik voel hoe de nieuwe "materiële punt" zich verplaatst, nu relativistisch. Ik weet dat in deze componenten van de impuls er een scalair is genaamd energie E. Maar de massa is verdwenen. Of beter gezegd, is opgenomen in de energie.
Massa en energie zijn "dezelfde entiteit" geworden, genaamd energie-materie. Het was dus normaal dat er slechts één scalair nodig was om deze situatie te beschrijven.
Opnieuw stel ik me de vraag. Zou er een soort "basis toestand" zijn (alleen relatief, trouwens, relatief aan een waarnemer die zichzelf ook in deze "basis toestand" ziet).
Ik heb de uitdrukking van mijn co-adjointe actie:
(186)
Voor de eerste regel, uitgebreid:
(187)
Als het om een deeltje met niet-nul massa gaat, kan ik me voorstellen dat in deze relatieve basis toestand zijn initiële impuls nul was. Het zou een "deeltje in rust" zijn, dat dus een rustenergie Eo zou hebben:
Ik kan dus aan dit deeltje een impuls geven door het te laten werken door het element van de Lorentz-groep, volgens:
(188)
.
een bewerking die onmogelijk is met een "deeltje met nul massa", foton of neutrino, die met snelheid c bewegen, dus "altijd bewegen". Het zijn deeltjes die nooit rusten. Ze zijn altijd een impuls p, die verder verbonden is met hun energie E.
De niet-relativistische fysicus, die zich traag voortbeweegt, vindt het een beetje vreemd dat een deeltje met nul massa toch een impuls kan hebben.
Maar het is een wiskundig object, zegt de relativistische fysicus, die zal schrijven:
(189)
en er geen zier om geeft.
Er blijft de tweede relatie:
(190)
te ontcijferen, zo mogelijk.
C is de ruimte-tijd translatie (Dx, Dy, Dz, Dt)
(191)
Laten we verder uitwerken.
(192)
(193)
(194) (195)
Kijk! Dat is de getransponeerde van de vorige.
De wiskundige zou zeggen, het is duidelijk, volgens de volgende stelling (die je zelf kunt vinden als oefening):
Zij twee matrices met zulke format dat ze vermenigvuldigd kunnen worden. Dan geldt:
(196)
De getransponeerde van het product van twee matrices is gelijk aan het product van de getransponeerde van de tweede en de getransponeerde van de eerste (de volgorde wordt omgedraaid).
