groepen en fysica co-adjointe actie impulsie
| 17 |
|---|
Toepassing op het bovenstaande:
(197)
We hebben gebruikgemaakt van de voor de hand liggende eigenschap: de getransponeerde van de getransponeerde van een matrix is de oorspronkelijke matrix.
Dus globaal:
(198)
Als ik een deeltje met niet-nul massa neem, kan ik me altijd voorstellen dat ik het heb afgepakt van de boom van de kennis van rust- en bewegingsstaten, met nul impuls.
Ik zag dat ik ook in staat ben om het overgangsproces te neutraliseren, door mij te bevinden in een referentiekader dat "de beweging van het deeltje volgt".
(199)
Ik kan geen deeltje nemen met een rustenergie Eo gelijk aan nul. Dat zou geen fysische zin hebben. Maar ik weet ook, of moet weten, dat een deeltje nooit een nul spin (rotatie) kan hebben, zelfs niet in een hypothetische rusttoestand. Bovendien bestaat deze rotatie, of "spinvector s", altijd, en is zijn grootte s invariant; het is zelfs een kenmerk van het deeltje. Het is een halfgeheel veelvoud van h/2p, waarbij h de gereduceerde constante van Planck is. Dit is ook een gevolg van de "geometrische kwantisatie" die door Souriau is uitgevonden.
Altijd weer de geometrie...
Deze "eigenschappen" zijn iets verwarrender dan de niet-relativistische eigenschappen, die hierboven werden genoemd.
Maar het moet worden opgemerkt dat deze "geometrische kwantisatie" ook van toepassing is op de niet-relativistische wereld (de Bargmann-groep), waarbij de rotatie, het individuele impulsmoment, de "vorticiteit", de spin, hoe je het ook noemt, van het deeltje, het materiële punt, het ding, het object dat wordt beheerd door de groep, wordt gekwantificeerd. De richting kan veranderen, maar: Raak mijn grootte s niet aan.
Alles gaat via een extra variabele z, die sommige theoretici en wiskundigen beschouwen als "een berekeningsintermediair".
In dit vijfdimensionale ruimte: z, x, y, z, t
worden we verplaatst, bewegen we ons.
Er zijn dingen die geen probleem vormen, zoals: x → -x, y → -y, z → -z
wat overeenkomt met een P-symmetrie. Als we deze toepassen op een verzameling punten die aan elkaar zijn gekoppeld, worden de structuren omgezet in hun enantiomorfe vorm, in hun spiegelbeeld. Maar voor een afzonderlijk deeltje is het slechts een "andere beweging".
Blijvend binnen de 5d hebben we gezien dat bepaalde eigenschappen zich hebben afgescheiden.
In de niet-relativistische context – de massa m – de energie E
In de relativistische context: – E en m die in elkaar verweven zijn tot één enkele entiteit.
Het zijn eenvoudige scalairen. De wiskundige zou zeggen dat ze net zo goed positief als negatief gekozen kunnen worden. Het zijn gewoon keuzes gemaakt binnen een specifieke momentenruimte, die de momentenruimte vormt, afhankelijk van n parameters (n is gelijk aan de dimensie van de groep). In het moment dat geassocieerd is met de Poincaré-groep (niet uitgebreid):
(200) Jp = { E, p, M }
kunnen de parameters a priori alle mogelijke waarden aannemen, positief of negatief.
Laat J de verzameling zijn van parameters die het moment bepalen. J is de ruimte van momenten. In deze ruimte zou men dan twee domeinen moeten kunnen onderscheiden:
(201)
De groep "overschaduwt" deze ruimte en zorgt voor de diverse verplaatsingen. Ze bevat elementen die het mogelijk maken om bewegingen in elkaar te transformeren. Zoals Souriau zegt:
Het moment volgt de beweging als zijn schaduw.