Geometrisering van materie en antimaterie door coadjoint-werking van een groep op haar impulsruimte. 1: Ladingen als extra scalaire componenten van de impuls van een groep die op een 10d-ruimte werkt.
Geometrische definitie van antimaterie. (p2)
- Een derde component:
(14)
gebouwd met de component Lt van de Lorentz-groep.
- en een vierde:
(15)
gebouwd met de component Lst van de Lorentz-groep.
Een groep werkt op haar impulsruimte [1]. Noem Jp de impulsruimte die bij de Poincaré-groep hoort.
...Elk afzonderlijk moment Jp 
Jp is een afzonderlijke beweging van het relativistische massapunt, beschreven door deze groep. Men kan de coadjoint-werking van de groep op de impuls berekenen [1].
De impuls is een verzameling van 10 componenten (gelijk aan de dimensie van de groep). Deze componenten zijn:
(16)
Jp= { E , px , py , pz , fx , fy , fz , sx , sy , sz } = { E , p , f , s }
E is de energie.
p is de impulsvector:
(17)
f is de passagevector [1].
(18)
s is een antisymmetrische (3,3)-matrix, waarvan de onafhankelijke componenten zijn
(19)
{ sx , sy , sz }
De impuls kan in matrixvorm worden gerangschikt [1], met:
(20)
en:
(21)
Voer de impuls-energie-viervector in:
(22)
(23)
of:
(24)
Dan kan de coadjoint-werking van de Poincaré-groep in matrixvorm worden geschreven:
(25) )
Explicieter:
(26)
...Het is interessant de impact te bestuderen van de verschillende componenten van de volledige Poincaré-groep op de componenten van haar impuls. We kunnen ons concentreren op bepaalde matrices:
(27)
A is de bijbehorende Lorentz-matrix.
De coadjoint-werking geeft:
(28)
(29)
en is de neutrale component van de volledige Poincaré-groep.
De overeenkomstige coadjoint-werking is:
E --> E ; p --> p ; f ---> f ; s ----> s
die de ruimte omkeert. De overeenkomstige coadjoint-werking is:
E --> E ; p --> - p ; f ---> - f ; s ----> s
die de tijd omkeert. De overeenkomstige coadjoint-werking is:
E --> - E ; p --> p ; f ---> - f ; s ----> s
die zowel de ruimte als de tijd omkeert. De overeenkomstige coadjoint-werking is:
E --> - E ; p --> - p ; f ---> f ; s ----> s
Zoals opgemerkt door J.M.Souriau [1] gaan de twee componenten
gepaard met de inversie van de energie E ----> - E, zodat dit de inversie van de massa m ---> - m impliceert
Definieer de volgende verzamelingen matrices:
(30)
.
