Het werk van J.M. Souriau over het zonnestelsel.
...Dit werk werd door J.M. Souriau voorgesteld in 1989, op een wetenschappelijke bijeenkomst gewijd aan gravitatie, gehouden in Genua, Zwitserland. De titel van het artikel was:
Resonante en niet-resonante fenomenen in het zonnestelsel
...Souriau begint met de analyse van de omlooptijden van de verschillende planeten. De aarde draait in 365 dagen rond de zon. De duur van het Venusiaanse jaar is 225 dagen. Uit deze twee getallen bouwt Souriau een Fibonacci-reeks (waarbij elke term de som is van de twee voorgaande). We weten dat de verhouding van opeenvolgende termen naar het gulden getal neigt. Hij vergelijkt de waarden met de omlooptijden.
30 Zon (29 dagen)
55 niets
85 Mercurius (88 dagen)
140 niets
225 Venus
365 Aarde.
590 (1 jaar en 7 maanden):
Mars (1 jaar en 10 maanden)
955 niets
1545 (4 jaar en 3 maanden):
Ceres-Pallas (asteroïdengordel)
2500 niets
4045 (11 jaar):
Jupiter (11 jaar en 10 maanden)
6545 niets
10590 (29 jaar):
Saturnus (29 jaar en 5 maanden)
17135 niets
27725 (76 jaar)
Uranus (84 jaar)
44860 niets
72585 (199 jaar)
Neptunus (165 jaar), Pluto (248 jaar)
...Vervolgens bestudeert hij resonanties in paren van planeten. Wiskundigen (Liouville, Hurwitz, Borel) hebben een wiskundige test gebouwd, een "maat voor het niveau van irrationaliteit van een gegeven getal", hoe "ver" het verwijderd is van een rationale breuk, van de verhouding van twee gehele getallen.
(a701)
Borel introduceert het getal:
q ( x , q) = (noemer)2
* I
x - q I
q(x)
als de ondergrens, wanneer q rationale waarden aanneemt.
q neigt naar nul als x dicht bij een rationaal getal ligt. We krijgen een curve die de maat van irrationaliteit q(x) van een gegeven getal x toont. Van alle mogelijke waarden zijn twee getallen de meest irrationele
-
Het gulden getal:
(a702)
-
en zijn kwadraat: w2
= 1 - w = 0,3820...
zoals te zien is op het volgende diagram.
(a703)
Fig.1: Diagram q (x)met zijn twee karakteristieke pieken
overeenkomend met het gulden getal en met zijn kwadraat.
Deze functie q(x), die niets met enig observationeel materiaal te maken heeft, is een puur wiskundig object. De zichtbare hiaten komen overeen met rationale breuken ( q = 0 ).
Vervolgens: de omlooptijden, waarbij de eenheid het aardse jaar is.
Mercurius: 0,2408425
Venus: 0,6151866
Aarde: 1,0000000
Mars: 1,8808155
Ceres-Pallas: 4,604
Jupiter: 11,86178
Saturnus: 29,45665
Uranus: 84,0189
Neptunus: 164,765
Pluto: 247,68
Bereken de verhouding van de omlooptijden van Neptunus en Pluto.
(a704)
...Als men de verhouding van twee opeenvolgende perioden berekent, ziet men dat deze verhoudingen tussen 1/3 en 2/3 liggen. Vijf verhoudingen liggen tussen 0,35 en 0,40. Het paar Neptunus-Pluto is resonant.
Souriau past de hierboven opgeroepen test toe op paren van planeten.
Neptunus-Pluto: x = 2/3
x 0,9980
q = 0,01
Uranus-Neptunus: x = 1/2
x 1,0199
q = 0,04
Uranus Pluto: x = 1/3
x 1,0176
q = 0,05
Venus-Mars: x = 1/3
x 0,9812
q = 0,06
Jupiter-Saturnus: x = 2/5
x 1,0067
q = 0,07
...We zien dat twee verre planeten, Neptunus en Pluto, een uitzonderlijk sterke resonantie bezitten. Souriau besluit dit eigenaardige paar planeten te verwaarlozen in de volgende analyse, gebaseerd op Fourieranalyse van de perioden Pj:
(a705)
Op de volgende figuur wordt IF(a)I4 uitgezet.
(a706)
Figuur 2: Functie F(a)
...Souriau vindt twee significante pieken voor waarden 0,615 en 0,380, die zeer goed passen bij de q(x)-curve van figuur 1. Zie figuur 3:
(a707)
Figuur 3.
...Hij besluit dat het zonnestelsel in zijn geheel een niet-resonant of zwak resonant systeem is. Hij voert een inverse Fourier-transformatie (reciprook) uit om de waarschijnlijke waarden van de omlooptijden te construeren. De reciproke Fourier-transformatie
(a708)
kan worden opgebouwd uit geselecteerde lijnen ak. Hij selecteert de twee eigenaardige lijnen:
a1 = w
a2 = w2
Dan krijgt hij de volgende resultaten. De werkelijke waarden van de omlooptijden zijn aangegeven.
(a709)
Figuur 4: Waarschijnlijke periode P voor planeten, gebaseerd op een spectrum beperkt tot de twee eigenaardige lijnen w en w2
