Het zonnestelsel gestructureerd door het gouden getal. De Gouden Wet van Souriau Verwijzing naar het werk van Jean-Marie Souriau
over de dynamica van het zonnestelsel.
...Dit werk werd gepresenteerd door deze auteur tijdens een congres dat in 1989 plaatsvond op het sterrenwacht van Genève, met als thema: "Resonanties en niet-resonanties in het zonnestelsel"
...Het uitgangspunt van Souriau is de analyse van de omlooptijden van de verschillende planeten. Hij houdt dan rekening met die van de Aarde: 365 dagen en die van Venus: 225 dagen, en berekent zowel stroomafwaarts als stroomopwaarts de overeenkomstige Fibonacci-rij (of een variant daarvan, waarin elk getal de som is van de twee vorige). Men weet dat onder deze omstandigheden het quotiënt van twee opeenvolgende getallen uit deze rij nadert tot het gouden getal.
...Souriau krijgt dan het volgende:
30 Zon (29 dagen)
55 Niets
85 Mercurius (88 dagen)
140 Niets
225 Venus
365 Aarde
590 (1 jaar en 7 maanden) Mars (1 jaar en 10 maanden)
955 Niets
1545 (4 jaar en 3 maanden) Ceres-Pallas (asteroïdengordel)
2500 Niets
4045 (11 jaar) Jupiter (11 jaar en 10 maanden)
6545 Niets
10590 (29 jaar) Saturnus (29 jaar en 5 maanden)
17135 Niets
27725 (76 jaar) Uranus (84 jaar)
44860 Niets
72585 (199 jaar) Neptunus (165 jaar), Pluto (248 jaar)
...Een vrij verbazingwekkende samenloop van omstandigheden, moeten we toegeven. Souriau bestudeert vervolgens de resonanties tussen de planeten. Daartoe is een test nodig die meet of het quotiënt x van twee omlooptijden, gelegen tussen nul en één, "dicht bij" een onvereenvoudigbare breuk is:
...Lang geleden is zulk een test ontwikkeld door wiskundigen (Liouville, Hurwitz, Borel, enz.). Het gaat om het getal:
q(x, q) = (noemer)² × |x - q|
...Indien q(x) de onderste grens is van deze uitdrukking terwijl q door alle rationale getallen loopt, dan is q nul als x rationaal is, klein als x dicht bij een rationaal getal ligt; het meet dus de irrationaliteit van x. De "irrationeelste" getallen zijn dan het gouden getal:
en zijn kwadraat: w² = 1 - w = 0,3820...
Men kan dit zien aan de grafiek van de functie q
Figuur 1: Grafiek van de functie q met haar twee pieken, overeenkomstig de getallen die "minst resonant" zijn: het gouden getal en zijn kwadraat.
...Deze functie q (die niets te maken heeft met waarnemingsgegevens) is een puur "wiskundig object", een eigenschap afkomstig uit de rij van reële getallen. Deze continue rij produceert dan dit vreemde spectrum, gevuld met soort van leemtes (daar waar verhoudingen tussen gehele getallen, rationale getallen, liggen, waar q = 0).
...Hieronder staan de omlooptijden van de belangrijkste planeten in het zonnestelsel, uitgedrukt in jaren:
Mercurius: 0,2408425
Venus: 0,6151866
Aarde: 1,0000000
Mars: 1,8808155
Ceres-Pallas: 4,604
Jupiter: 11,86178
Saturnus: 29,45665
Uranus: 84,0189
Neptunus: 164,765
Pluto: 247,68
Merk op dat het quotiënt tussen de omlooptijden van Pluto en Neptunus is:
...Het quotiënt van een term met de volgende blijft tussen 1/3 en 2/3. Vijf van deze negen quotiënten liggen tussen 0,35 en 0,40. Souriau begint dan met het bestuderen van de verhoudingen tussen de omlooptijden van verschillende planeten. Twee planeten in volledige resonantie zouden een rationaal quotiënt van hun omlooptijden geven, het quotiënt van twee gehele getallen.
...Souriau besluit de verschillende resonanties in het huidige zonnestelsel te analyseren. Daartoe neemt hij de verhoudingen van de omlooptijden van de belangrijkste planeten, twee aan twee, en past de eerder genoemde test toe.
...Een eenvoudige berekening stelt hem in staat een lijst op te stellen van resonanties tussen grote planeten (Ceres en Pallas zijn de grootste van de "kleine planeten" en hun omlooptijden verschillen slechts met 3 dagen, gelegen in de asteroïdengordel), waarbij de test q kleiner is dan 0,1 (noemer ? 6):
Neptunus-Pluto: x = 2/3 × 0,9980 q = 0,01
Uranus-Neptunus: x = 1/2 × 1,0199 q = 0,04
Uranus-Pluto: x = 1/3 × 1,0176 q = 0,05
Venus-Mars: x = 1/3 × 0,9812 q = 0,06
Jupiter-Saturnus: x = 2/5 × 1,0067 q = 0,07
...Deze tabel toont aan dat de twee meest afgelegen planeten, Neptunus en Pluto, bijzonder sterk resonant zijn. Ze vormen dus een "uitzonderlijke" combinatie ten opzichte van de andere, en Souriau besluit ze in de volgende analyse te negeren, door een Fourier-analyse van de omlooptijden uit te voeren:
...Pj zijn de omlooptijden van de planeten, van Mercurius tot Uranus. De opeenvolgende verhoudingen van de omlooptijden liggen tussen 1/3 en 2/3. De volgende figuur geeft de vorm van de grafiek |F(a)| weer voor a tussen 1/3 en 2/3. Voor duidelijkheid heeft Souriau |F(a)|⁴ op de grafiek gezet.
Figuur 2: Functie F(a)
...
Twee significante pieken verschijnen bij de waarden 0,615 en 0,380, precies overeenkomstig de pieken in figuur 1 (w = 0,618 en w² = 0,380). Souriau legt nu dit spectrum over de functie q:
Figuur 3.
en concludeert dat er globaal sprake is van niet-resonantie, met uitzondering van het resonante paar Neptunus-Pluto. De faseverschuiving van F tussen de twee pieken kan worden geïnterpreteerd via de omgekeerde Fourier-transformatie: vanuit een aantal geselecteerde lijnen ak in het spectrum F bouwt men de functie F:
...De waarden van Pj liggen dan dicht bij bepaalde maxima van de reële component van F. Souriau beperkt nu dit spectrum tot de twee lijnen a₁ = w en a₂ = w² en verkrijgt de grafiek in de volgende figuur, waar ook de werkelijke omlooptijden van de planeten zijn aangegeven.
Figuur 4: Waarschijnlijke posities P van de planeten op basis van een spectrum opgebouwd uit de twee lijnen w en w²
../../bons_commande/bon-commande1.htm
