Wiskunde meetkunde oppervlak topologie
Hoe een Cross Cap-oppervlak te transformeren in een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze)
via het Romeinse oppervlak van Steiner.
Italiaans: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome
../../Crosscap_Boy1.htm
27 september - 25 oktober 2003
pagina 2
Hier is een "Cross Cap-oppervlak" (zoals u het misschien ontdekt hebt in virtuele realiteit-beelden). Het heeft twee spitspunten die de hoekpunten zijn van een zelfintersectielijn. U kunt het maken door een ballon met haakjes te plooien. Maar u kunt ook poliedrische representaties ervan maken. Die hieronder zal ons met name interesseren.
In tabel 4 staat het moeilijkste om te leren. Het lijkt me onmogelijk dat iemand deze objecten goed begrijpt door alleen naar de afbeeldingen te kijken. Bouw zelf modellen. Om het simpel te zeggen: trek het spitspunt C2 naar "binnen het oppervlak" (wat, tussen haakjes gezegd, geen zin heeft, omdat u zeker al hebt opgemerkt dat het Cross Cap-oppervlak eenzijdig is: het heeft geen buiten- en binnenkant). Door door te drukken, "doet" het oppervlak zichzelf door, en de zelfintersectie wordt voltooid, met een beetje afgeronde hoeken, in een achtvormige curve. Zo is per ongeluk een drievoudig punt T ontstaan.
Het oppervlak wordt duidelijker in zijn poliedrische vorm, en hieronder hebben we bepaalde elementen vergroot om aan te tonen waarom we dit object willen transformeren naar het Romeinse oppervlak van Steiner (zie de virtuele realiteit-simulatie), waarvan de eenvoudigste poliedrische vorm bestaat uit het samenvoegen van vier kubussen (hier zijn er maar drie zichtbaar).
Tabel 5: poliedrische versie links, ronde versie rechts. De pijl gaat door het punt dat we gaan "dichtknijpen". Daaronder begint het knijpingsproces.
Tabel 6: het knijpen wordt uitgevoerd en creëert een singulier punt B. In feite, omdat we het van beide kanten knijpen (om tijd te besparen), ontstaan er twee singuliere punten S1 en S1, vervolgens twee spitspunten. Op dit punt zit u in de problemen zonder karton, scharen en plakband.
Tabel 7: hier hebben we gewoon de verschillende spitspunten verplaatst. Als punt C2 "duidelijk" is, zult u veel meer moeite hebben met het identificeren van de punten C3 en C4 als spitspunten. Toch zijn ze er, aan de uiteinden van een zelfintersectielijn. Boven punt C3 bevindt zich simpelweg wat ik een "posicono" noem, een punt waar positieve kromming geconcentreerd is (een punt waar negatieve kromming geconcentreerd is noem ik een "negacono"). Door dit object een beetje te vervormen, komt men tot de poliedrische vorm van het Romeinse oppervlak van Steiner (bedacht door Steiner in Rome; zie de virtuele realiteit-illustratie).
Dus het spel is gespeeld. Er bestaan verschillende soorten oppervlakken, afhankelijk van de regels die men oplegt. Oppervlakken die zichzelf niet snijden, heten "embeddings" (van de bol of de torus in R3). Wanneer ze zichzelf wel snijden, maar het raakvlak continu varieert zonder te degenereren, heten ze immersionen. Bijvoorbeeld: de Klein-fles in haar klassieke representatie. In R3 bestaat er geen representatie van de Klein-fles als embedding: het moet zichzelf noodzakelijkerwijs snijden. Immersionen hebben zelfintersecties zonder spitspunten. Deze zelfintersecties zijn continue krommen, maar kunnen zich kruisen in dubbele of drievoudige punten. Opmerking: de bol kan worden gerealiseerd als een immersie (die geen embedding is) door hem zelf te laten snijden. Dit is in feite de manier waarop men hem kan omdraaien (zie het methode van A. Phillips, 1967, waarbij het centrale onderdeel het dubbele overdekkingsoppervlak van een Boy-oppervlak is; zie ook B. Morin en J.P. Petit, 1979, waarin het centrale model het "vier-oren"-model van Morin is, waarvan hieronder een poliedrische representatie staat die ik ongeveer tien jaar geleden bedacht heb).
Montageplan van dit object met papier en schaar
Als men de spelregels uitbreidt door ook spitspunten toe te laten, krijgt men summersionen (de Cross Cap, het Romeinse oppervlak van Steiner). Ik weet niet of "summersion" het juiste woord is, maar omdat ik geen wiskundige kon vinden die me daarover kon verduidelijken, vond ik het leuk om er zelf een te bedenken, tijdelijk tenminste tot een ervaren geometrisch expert zich meldt. Dus zijn het Cross Cap-oppervlak en het Romeinse oppervlak van Steiner beide summersionen van het "projectieve vlak".
Om het hele verhaal te vertellen: na vijfentwintig jaar activiteit en mijn teleurstellingen op het gebied van magnetohydrodynamica, had ik deze werkzaamheden begonnen omdat ze me leken af te staan van elke militaire toepassing. Maar zoals mijn oude vriend Mihn me opmerkte, kan het woord "summersion" verwarrend zijn en de marine kunnen doen denken dat ik via deze onderzoeken pogingen doe om vooruitgang op het gebied van onderzeese aandrijving te verbergen.
De regel van "creatie-ontbinding" van paar spitspunten stelt ons in staat om van een summersion van een object naar een andere te gaan, en dat hebben we net gedaan, waarbij we hebben aangetoond dat het Cross Cap-oppervlak en het Romeinse oppervlak van Steiner twee summersionen zijn van hetzelfde object, bekend als het projectieve vlak. Probeer niet een "projectief vlak" voor te stellen. Dit object kan alleen worden begrepen via verschillende representaties. Wat betreft het woord "projectief", is het slechts één van de duizenden termen die wiskundigen hebben bedacht om mensen af te schrikken die willen doordringen tot hun gesloten kring. Zanichelli zal u in de wiskunde geen enkele hulp zijn.
We moeten nu nog zien hoe we overgaan naar het Boy-oppervlak, dat een immersie van het projectieve vlak is.
Terug naar index "Transformatie van een Cross Cap naar Boy"
Terug naar sectie Nieuws Terug naar sectie Gids Terug naar Hoofdpagina
Aantal bezoeken vanaf 25 oktober 2003:
Afbeeldingen
