Wiskunde meetkunde oppervlakken topologie
Hoe een Cross Cap-oppervlak te transformeren in een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze)
via het Romeinse oppervlak van Steiner.
Italiaans: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome
../../Crosscap_Boy1.htm
27 september - 25 oktober 2003
pagina 2
Hier is een "Cross Cap-oppervlak" (zoals u het zou hebben ontdekt in virtuele realiteitbeelden). Het heeft twee spitspunten die de hoekpunten zijn van een zelfintersectielijn. U kunt het maken door een ballon met haakjes te knijpen. Maar u kunt ook polyhedrale representaties ervan maken. Die hieronder zal ons met name interesseren.
In tabel 4 staat het moeilijkste om te leren. Het lijkt onmogelijk dat iemand deze objecten goed begrijpt door alleen naar de afbeeldingen te kijken. Bouw modellen. Met andere woorden, trek het spitspunt C2 naar "binnen het oppervlak" (wat, tussen haakjes, geen zin heeft, omdat u zeker al hebt opgemerkt dat het Cross Cap-oppervlak eenzijdig is: het heeft geen buiten- en binnenkant). Door door te drukken, "doorkruist" het oppervlak zichzelf, en de zelfintersectie wordt afgerond met een 8-vormige curve. Tussen haakjes, is er een drievoudig punt T ontstaan.
Het oppervlak wordt duidelijker in zijn polyhedrale vorm, en hieronder hebben we bepaalde elementen vergroot om te tonen waarom we dit object willen transformeren naar het Romeinse oppervlak van Steiner (zie de virtuele realiteitssimulatie), waarvan de eenvoudigste polyhedrale vorm bestaat uit het samenvoegen van vier kubussen (hier zijn er maar drie zichtbaar).
Tabel 5: polyhedrale versie links, ronde versie rechts. De pijl gaat door het punt dat we gaan "dichtknijpen". Verder onderaan: het begin van het knijpproces.
Tabel 6: het knijpen wordt uitgevoerd en creëert een singulier punt B. In feite, omdat we het van beide kanten knijpen (om tijd te besparen), ontstaan er twee singuliere punten S1 en S1, gevolgd door twee spitspunten. Op dit punt zit u in de problemen zonder karton, schaar en plakband.
Tabel 7: hier hebben we gewoon de verschillende spitspunten verplaatst. Als punt C2 "duidelijk" is, zult u meer moeite hebben met het identificeren van de punten C3 en C4 als spitspunten. Toch zijn ze er, aan de uiteinden van een zelfintersectielijn. Boven punt C3 bevindt zich simpelweg wat ik een "posicono" noem, een punt waar positieve kromming geconcentreerd is (een punt waar negatieve kromming geconcentreerd is noem ik een "negacono"). Door dit object een beetje te vervormen, komt u uit op de polyhedrale vorm van het Romeinse oppervlak van Steiner (bedacht door Steiner in Rome; zie de virtuele realiteitillustratie).
Dus het spel is gespeeld. Er bestaan verschillende soorten oppervlakken, afhankelijk van de regels die u stelt. Oppervlakken die zichzelf niet snijden heten "embeddings" (van de bol of de torus in R3). Wanneer ze zichzelf wel snijden, maar het raakvlak continu varieert zonder te degenereren, heten ze immersionen. Bijvoorbeeld: de Klein-fles in haar klassieke representatie. In R3 bestaat er geen representatie van de Klein-fles als embedding: het moet zichzelf noodzakelijkerwijs snijden. Immersionen hebben zelfintersectiemengden zonder spitspunten. Deze mengden zijn continue krommen, maar kunnen elkaar snijden in dubbele of drievoudige punten. Opmerking: de bol kan worden geïmplementeerd als een immersie (die geen embedding is) door hem zelf te laten snijden. Dit is in feite de manier waarop men hem omkeert (zie het methode van A. Phillips, 1967, waarbij het centrale onderdeel het dubbele omslag van een Boy-oppervlak is; zie ook B. Morin en J.P. Petit, 1979, waarin het centrale model het "vier-oren"-model van Morin is, waarvan hieronder een polyhedrale representatie te zien is die ik ongeveer tien jaar geleden bedacht).
Montageplan van dit object met papier en schaar
Als u de spelregels uitbreidt en toestaat dat deze objecten ook spitspunten mogen hebben, krijgt u summersionen (de Cross Cap, het Romeinse oppervlak van Steiner). Ik weet niet of "summersion" het juiste woord is, maar omdat ik geen wiskundige heb gevonden die me hierover kan verduidelijken, vond ik het leuk om er zelf een te bedenken, tenminste tijdelijk, tot een ervaren geometrisch deskundige zich meldt. Dus zijn het Cross Cap-oppervlak en het Romeinse oppervlak van Steiner beide summersionen van het "projectieve vlak".
Om eerlijk te zijn, na vijfentwintig jaar activiteit en mijn teleurstellingen op het gebied van magnetohydrodynamica, had ik deze werkzaamheden begonnen omdat ze me leken te zijn afgezonderd van elke militaire toepassing. Maar zoals mijn oude vriend Mihn me opmerkte, zou het woord "summersion" misverstanden kunnen veroorzaken en de marine kunnen doen denken dat ik via deze onderzoeken pogingen doe om vooruitgang op het gebied van onderzeeërpropulsie te verbergen.
De regel van "creatie-ontbinding" van paar spitspunten stelt ons in staat om van een summersion van een object naar een andere te gaan, en dat is precies wat we zojuist hebben gedaan, waarbij we hebben aangetoond dat het Cross Cap-oppervlak en het Romeinse oppervlak van Steiner twee summersionen zijn van hetzelfde object, bekend als het projectieve vlak. Probeer niet een "projectief vlak" voor te stellen. Dit object kan alleen worden begrepen via verschillende representaties. Wat het woord "projectief" betreft, is het slechts één van de duizenden termen die wiskundigen hebben bedacht om mensen af te schrikken die willen doordringen tot hun gesloten kring. Zanichelli zal u in de wiskunde geen enkele hulp zijn.
We moeten nu nog zien hoe we overgaan naar het Boy-oppervlak, dat een immersie van het projectieve vlak is.
Terug naar index "Transformatie van een Cross Cap naar Boy"
Terug naar sectie Nieuws Terug naar sectie Gids Terug naar Hoofdpagina
Aantal bezoeken sinds 25 oktober 2003:
Afbeeldingen
