Hoe je een Cross Cap-oppervlak omzet in een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze) via het Romeinse Steiner-oppervlak.
Italiaans
: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome
27 september - 25 oktober 2003
pagina 2
Hier is een "Cross Cap-oppervlak" (zoals je het zou hebben ontdekt in de beelden van virtual reality). Het vertoont twee cuspidale punten die de hoekpunten zijn van een zelfdoorsnijdingslijn. Je kunt het construeren door een ballon samen te knijpen met krulspelden. Maar je kunt er ook polyedrische voorstellingen van maken. Die hieronder zal ons bijzonder interesseren.
In plaat 4 vind je het moeilijkste om te leren. Het lijkt me onmogelijk dat iemand deze objecten goed begrijpt door alleen naar de figuren te kijken. Maak maquettes. In eenvoudige woorden: men trekt het cuspidale punt C2 naar "het inwendige van het oppervlak" (wat tussen haakjes nergens op slaat, want — dat zul je ongetwijfeld meteen hebben opgemerkt — het Cross Cap-oppervlak is eenzijdig: het heeft geen buiten- en geen binnenkant). Door aan te dringen, "doorkruist" het oppervlak zichzelf, en de verzameling van zelfdoorsnijding wordt voltooid, met een beetje afronding van de zaken, met een kromme in de vorm van een 8. Er is terloops een drievoudig punt T ontstaan.
Het oppervlak wordt begrijpelijker in zijn polyedrische vorm en hieronder hebben we bepaalde elementen uitvergroot om te tonen wat ons ertoe brengt dit object om te zetten in het Romeinse Steiner-oppervlak (zie de virtualrealitysimulatie), waarvan de eenvoudigste polyedrische vorm erin bestaat vier kubussen samen te voegen (hier zijn er slechts drie te zien).
Plaat 5: polyedrische versie links, ronde versie rechts. De pijl gaat door het punt dat we gaan "vernauwen". Lager, het begin van de vernauwingsoperatie.
Plaat 6: de vernauwing wordt uitgevoerd en creëert een singulier punt B. Doordat we haar van beide kanten vernauwen (om tijd te sparen), ontstaan er in feite twee singuliere punten S1 en S1, en vervolgens twee cuspidale punten. Op dit punt ben je er slecht aan toe zonder bristol-karton, schaar en plakband.
Plaat 7: hier hebben we simpelweg de verschillende cuspidale punten laten migreren. Als het punt C2 "evident" is, zul je zeker meer moeite hebben om de punten C3 en C4 als cuspidale punten te identificeren. Toch zijn ze daar, aan de uiteinden van een zelfdoorsnijdingslijn. Boven het punt C3 bevindt zich simpelweg wat ik een "posicono" heb genoemd, dat wil zeggen een punt waarin positieve kromming zich concentreert (een punt waarin negatieve kromming zich concentreert noem ik een "negacono"). Door dit object een klein beetje te vervormen, kom je tot de polyedrische vorm van het Romeinse Steiner-oppervlak (door Steiner in Rome uitgevonden; zie zijn illustratie in virtual reality).
Daarmee is de kous af. Er bestaan verschillende soorten oppervlakken, volgens de regels die men oplegt. Oppervlakken die zichzelf niet doorsnijden worden "embeddings" genoemd (van de sfeer, of van de torus in R3). Wanneer ze zichzelf daarentegen doorsnijden maar het raakvlak continu varieert zonder te degenereren, worden ze immersies genoemd. Bijvoorbeeld: de fles van Klein, in haar klassieke voorstelling. In R3 bestaat er geen voorstelling van de fles van Klein in de vorm van een embedding: ze doorsnijdt zichzelf noodzakelijkerwijs. Immersies bezitten zelfdoorsnijdingsverzamelingen zonder cuspidale punten. Deze verzamelingen zijn continue krommen, maar kunnen elkaar kruisen in dubbele of drievoudige punten. Opmerking: de sfeer kan men realiseren in de vorm van een immersie (die geen embedding is) door haar zichzelf te laten doorsnijden. Dat is trouwens de manier waarop men erin slaagt haar binnenstebuiten te keren (cf. de methode van A. Phillips, 1967, waarvan de centrale stap de dubbele bedekking van een Boy-oppervlak is; en zie ook B. Morin en J.P. Petit, 1979, waarin het "vier-oren"-model van Morin als centraal model wordt genomen, waarvan je hieronder een polyedrische voorstelling ziet die ik een jaar of tien geleden heb bedacht).
Montageplan van dit object met papier en schaar
Als men de spelregels uitbreidt door te aanvaarden dat deze objecten ook cuspidale punten mogen hebben, verkrijgt men summersies (de Cross Cap, het Romeinse Steiner-oppervlak). Ik weet niet of summersie de juiste term is, maar aangezien ik geen wiskundige heb gevonden die me hierover duidelijkheid kan verschaffen, vond ik het leuk om er voorlopig zelf een te bedenken, althans totdat een ervaren meetkundige zich aandient. Zo zouden het Cross Cap-oppervlak en het Romeinse Steiner-oppervlak summersies van het "projectieve vlak" zijn.
Om je de waarheid te zeggen: na vijfentwintig jaar activiteit en mijn teleurstellingen op het gebied van de magnetohydrodynamica, was ik dit werk begonnen omdat het me zo ver mogelijk van elke militaire toepassing leek te staan. Maar zoals mijn oude vriend Mihn me deed opmerken, zou de term summersie tot verwarring aanleiding kunnen geven en de Marine kunnen laten vermoeden dat ik via dit onderzoek probeer vooruitgang op het gebied van onderzeese voortstuwing te verbergen.
De regel van "creatie-oplossing" van paren van cuspidale punten maakt het mogelijk van de ene summersie van een object naar een andere over te gaan, en dat is precies wat we zojuist hebben gedaan, door te tonen dat de Cross Cap en het Romeinse Steiner-oppervlak twee summersies zijn van hetzelfde object, bekend als het projectieve vlak. Probeer je geen "projectief vlak" voor te stellen. Dit object kan men alleen begrijpen via verschillende voorstellingen. Wat de term "projectief" betreft: die is slechts een van de duizend door wiskundigen bedachte termen om hen die hun gesloten kring willen binnendringen op een dwaalspoor te brengen. De Van Dale zul je in de wiskunde niet van enig nut zijn.
Er rest ons dus te zien hoe we tot het Boy-oppervlak komen, dat een immersie van het projectieve vlak is
Terug naar de index "Transformatie van een Cross Cap in Boy "
Terug naar de sectie Nieuw Terug naar de sectie Gids Terug naar de Hoofdpagina
Aantal bezoeken sinds 25 oktober 2003 :