Hoe een Cross Cap-oppervlak om te zetten in een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze) via het Romeinse Steiner-oppervlak.
Italiaans
: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome
27 september - 25 oktober 2003
pagina 4
We presenteren het model nog vanuit een ander gezichtspunt:
Plaat 14: we herhalen steeds dezelfde bewerking en creëren zo het derde "oor" van de zelfdoorsnijdingskromme. In het polyedrische model heeft deze laatste de vorm van drie vierkanten met een gemeenschappelijk hoekpunt: het drievoudige punt T.
Plaat 15: door het object te draaien zult u de polyedrische versie terugvinden van het Boy-oppervlak dat ik in de Topologicon had gepresenteerd (waar u ook een montageplan kunt vinden om het te bouwen).
Laatste plaat: ik heb geprobeerd het Steiner-oppervlak te illustreren terwijl het kronkelt en verandert in een Boy-oppervlak.
We zien dat, in "rond" getekend, er heel wat oefening nodig is om het te begrijpen. Ons oog is zeer ongemakkelijk wanneer het gaat om het begrijpen van een object waarbij, op éénzelfde gezichtslijn, meer dan twee bladen elkaar overlappen. Vandaar het belang van het polyedrische model, dat voor iedereen de transformaties bereikbaar maakt die in de meetkunde als ingewikkeld worden beschouwd, als men tenminste zelf de modelletjes probeert te bouwen. Terloops merken we op dat, afhankelijk van de gekozen paren van cuspidale punten, een "rechts" of "links" Boy-oppervlak wordt verkregen (volkomen willekeurige definities). Het projectieve vlak dompelt zich in de ruimte onder via twee spiegelbeeldige "antiautomorfe" representaties. We zien dus ook dat men van een rechts Boy-oppervlak naar een links Boy-oppervlak kan overgaan via een "centraal" model dat het Romeinse Steiner-oppervlak is.
Het zou zonder twijfel mooi zijn als deze tekeningen in tijdschriften als Pour la Science of La Recherche werden gepubliceerd. Maar al twintig jaar is publicatie in deze tijdschriften mij "verboden" wegens ufologisch deviationisme. Dank, heren Hervé This en Philippe Boulanger. Ik ben de tel kwijt van de artikelen van dit genre die ik aan deze tijdschriften heb voorgesteld en die mij vriendelijk werden geweigerd. Men raakt uiteindelijk gewend aan zijn statuut van geëxcommuniceerde.
Ter anekdote: er bestaat een "prijs d'Alembert" die bedoeld is om de auteurs van boeken over wiskundige popularisering te belonen. Het verhaal werd mij verteld door een lid van de commissie die moest beslissen aan wie de prijs moest worden toegekend (er zitten trouwens geldkwesties achter). Dialoog:
-
Kortom, waarom geven we de prijs niet aan Petit? Hij heeft opmerkelijke werken geschreven zoals de "Géométricon", de "Trou Noir" en de "Topologicon".
-
Ja, maar dat heeft hij niet alleen gedaan.
-
Waar doelt u op?
-
Hij heeft ook de "Mur du Silence" geschreven.
-
Ah, wel, dan....
Inderdaad, de "Mur du Silence", gepubliceerd in 1983, is een album gewijd aan de MHD. En zoals ieder van ons weet, heeft deze corrosieve wetenschap als verdienste, of gebrek, dat ze vliegende schotels toestaat zich met supersonische snelheid te verplaatsen zonder Bang.
« Cachez cette science, que je ne saurais voir »
Ik heb in mijn dozen een prachtige versie van het "omkeren van de kubus", die niet de polyedrische versie van de Morin-variant is. Helemaal mijn eigen werk. Eén dezer dagen....
22 oktober 2003: Men haast zich niet al te zeer op deze pagina's, als ik de teller moet geloven. Maandag 13 oktober 2003 heb ik een seminarie gegeven aan het CMI (Centrum voor Wiskunde en Informatica van Château-Gombert-Marseille) op uitnodiging van Trotman. Bij die gelegenheid kon ik een verzameling van een dertigtal kartonnen modellen bovenhalen, waarvan u op een dag de primeur zult kunnen smaken, aangezien ze door Christophe Tardy werden gefotografeerd.
Wanneer men een seminarie geeft, creëert men een zekere sfeer. Op de foto hieronder uit een meetkundige zijn verbijstering.
Op de achtergrond een deel van de tentoongestelde modelletjes, met de hulp van mijn al langdurige medewerker Boris Kolev, lid van de afdeling, ook hij meetkundige. Op een bepaald moment stelde ik de vraag:
- Hoevelen onder u hebben al een Romeins Steiner-oppervlak gezien? Steek uw hand op.
Niemand had het ooit gezien. Het leek mij dus nuttig dit object voor te stellen, met een virtualrealityprogramma, op de laptop die ik bij me had, een programma gemaakt met de hulp van Christophe Tardy, ingenieur, en van Frédéric Descamp, van het Institut Laue Langevin in Grenoble (ILL). Klaarblijkelijk verwart deze presentatie het publiek, dat er weinig aan gewend is wiskundige oppervlakken naar believen te zien draaien.
Twee kartonnen platen, zichtbaar op de voorgrond, maakten het mogelijk de hele opeenvolging van modelletjes in hun logische orde voor te stellen. De groene en gele modellen illustreren, in polyedrische vorm, het essentiële instrument voor het creëren-oplossen van een paar cuspidale punten. Het verst verwijderde witte object is een polyedrische versie van het Cross Cap-oppervlak, dat eerst verandert in een polyedrische versie van het Romeinse Steiner-oppervlak, en vervolgens, een meter verder, naar keuze, in een "rechts" of "links" Boy-oppervlak.
De analyse van de modelletjes lokt verschillende opmerkingen bij het publiek uit. Een van de meetkundigen vraagt:
- Als het waar is dat men, door de modelletjes in deze orde te volgen, van het Cross Cap-oppervlak naar dat van Boy kan overgaan, lijkt het erop dat men, door de omgekeerde procedure te volgen, een Boy-oppervlak in een Cross Cap kan omzetten.
Ik antwoord bevestigend. Bemoedigd voegt mijn gesprekspartner toe:
- Dan zou het, eens op het stadium van het Romeinse Steiner-oppervlak gekomen, als men stopt, mogelijk moeten zijn terug te keren naar een Boy-oppervlak, maar gespiegeld ten opzichte van het oorspronkelijke.
Ik stem een tweede keer toe. Maar helaas zal niemand zich aandienen om enige opheldering te geven over deze vreemde wereld waarin men de immersies van gesloten oppervlakken cuspidale punten toestaat, die per paar worden gecreëerd of opgelost, en waarvan het geheel een soort uitbreiding van de wereld van de immersies vormt. De term "summersie" lijkt mij gepast. Als een lezer enige opheldering kan geven, is hij welkom.
Kromming geconcentreerd in een cuspidal punt.
We zullen ze berekenen door de hoeken aan het hoekpunt op te tellen en deze som te vergelijken met het resultaat dat men in het geval van het Euclidische vlak verkrijgt: 2 p.
Linksboven kunt u een van de vele mogelijke polyedrische voorstellingen van een cuspidal punt zien. Door het oppervlak te "demonteren" komt men tot een som van hoeken die de waarde 2p met 2a overschrijdt. Daaruit leidt men af dat de hoekkromming geconcentreerd rond dit punt C gelijk is aan - 2a. Als de hoek a gelijk is aan p/2, dan bedraagt de negatieve kromming -p (figuur linksonder). In feite kan de kromming van een cuspidal punt oneindig veel waarden aannemen. Rechtsonder accentueren we de hoeksom en de kromming wordt dan < -p (we hebben de negatieve kromming verhoogd).
Door omgekeerd te werk te gaan, kunnen we tot een vrij verrassende situatie komen: we kunnen ervoor zorgen dat de (hoek)kromming geconcentreerd in C ... nul is:
We vertrekken nu van een polyedrische voorstelling van het Cross Cap-oppervlak waarin twee cuspidale punten voorkomen, elk met een kromming gelijk aan -p:
In deze figuur zijn er acht "posiconen" met overeenkomstige waarde + p/2. We voegen vier andere "posiconen" met kromming + p/4 toe en vier "negaconen" met kromming - p/4.
Plus de twee cuspidale punten met kromming - p.
Totaal: 2 p
Door de waarde van deze "totale kromming" te delen door 2p vinden we de waarde terug van de Euler-Poincaré-karakteristiek van om het even welke voorstelling van het projectieve vlak (of van het Boy-oppervlak).
In de loop van de conferentie heb ik de kunst en de manier opgeroepen om de twee cuspidale punten van een Cross Cap-oppervlak te verwisselen met behulp van het omkeren van de bol. Ik weet niet meer of ik dit ergens op mijn site heb gezet. Het is zo'n wirwar. Ik zal moeten zoeken, anders voeg ik het toe. Het is plezierig. Feit is dat deze bewerking helemaal niet beviel aan een van de aanwezigen op het seminarie:
- Ik zie niet in waarom Petit zoveel geschut gebruikt om de symmetrie aan te tonen die de twee cuspidale punten van een Cross Cap verbindt. Dat kan veel eenvoudiger.
En hij tekende op het bord een bol die tussen twee elkaar rakende latten wordt platgedrukt en die inderdaad een zelfdoorsnijdingsverzameling geeft in de vorm van een segment met aan de uiteinden twee cuspidale punten, zoals het Cross Cap-oppervlak. Helaas, en de heer in kwestie merkte het op, dit is niet het Cross Cap-oppervlak.
- Verdorie, wat is het dan wel? Vroeg iemand.
Het is eenvoudigweg de immersie van een bol, met twee cuspidale punten. Als men ze naar een enkel punt laat samenvloeien, verkrijgt men een zelfdoorsnijdingslijn die een cirkel wordt. En men verkrijgt (rechtsonder) een immersie van de bol die we alleen nog moeten omzetten in zijn standaard embedding. We kunnen ook een polyedrische voorstelling van dit oppervlak geven:
Het gaat om een tweezijdig oppervlak waarvan de totale kromming 2p bedraagt.
Kortom, men kan zich heel wat plezier maken met deze "summersies". Laten we een immersie van een torus beschouwen die wordt verkregen door het "oneindig"-symbool rond een as te laten draaien:
De techniek om cuspidale punten in een enkel punt te laten samenvloeien, stelt ons in staat snel tot de standaard embedding van de torus te komen, zoals hierboven in de opeenvolgende tekeningen uitgelegd.
Maar de dingen zijn niet altijd zo gemakkelijk en evident. Nemen we bijvoorbeeld een bol die tussen twee segmenten wordt platgedrukt die ditmaal korter zijn dan de diameter. We verkrijgen opnieuw twee cuspidale punten.
Aangezien dit oppervlak een Möbiusband bevat, is het eenzijdig. We hebben ernaast een polyedrische voorstelling geplaatst die het mogelijk maakt de totale kromming te berekenen. We vinden dan nul. Als ik mij niet vergis, zou het dan een Klein-fles moeten zijn. Daarvan kent men gewoonlijk alleen de klassieke immersie, waarin de zelfdoorsnijdingslijn een eenvoudige cirkel is. Maar er zijn er andere, zoals deze hier. Ik beken dat ik nog niet de manier heb gevonden om ze in een gebruikelijke Klein-fles om te zetten. Anderzijds weet ik zelfs niet of deze "immersie" en de klassieke in dezelfde homotopieklasse liggen (voor de bol bijvoorbeeld is er slechts één). A priori is dat niet gezegd: de torus kan immers op vier verschillende manieren in de driedimensionale ruimte worden geïmmerseerd, die niet via een reguliere homotopie in elkaar kunnen worden omgezet. In afwachting van de ontdekking of dat in dit geval al dan niet mogelijk is, heb ik mij vermaakt door ze om te zetten en twee extra cuspidale punten te creëren, en zo twee Cross Caps te verkrijgen die door een buis verbonden zijn. Door ze te ontbinden, vindt men terug dat de Euler-Poincaré-karakteristiek nul is.
Dit vreemde oppervlak zou moeten veranderen in een van de 4 mogelijke immersies van de Klein-fles, maar welke? In elk geval, hier is er een verkregen door een 8 rond een as te laten draaien, terwijl hijzelf ondertussen een halve draai om zichzelf uitvoert:
Terug naar de inhoudstafel "Transformatie van een Cross Cap in Boy"
Terug naar de sectie Nieuwigheden Terug naar de sectie Gids Terug naar de Hoofdpagina
Aantal bezoeken sinds 25 nov 2004: