Italiaans
: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome
Klik hier om de tekening van het model op schaal 1:1 te laten verschijnen, om af te drukken en uit te knippen.
Als u er vier exemplaren van fotokopieert op bristol karton van twee verschillende kleuren, kunt u het model zelf bouwen,
door de aanwijzingen voor de montage te volgen
U hebt ongetwijfeld een bizar voorwerp eindeloos zien ronddraaien
aan de linkerkant van de startpagina van deze site. Waar gaat het om?
Op een dag, wanneer ik de tijd vind, zal ik
op deze site een beschrijving installeren van het binnenstebuiten keren van de bol, zoals
ik die had geïllustreerd in het nummer van Pour la Science van januari 1979, dat wil zeggen...
22 jaar geleden! Dat alles zal veel details en een inleiding vereisen.
Wat betekent "een bol binnenstebuiten keren"? Een bol heeft niet dezelfde
betekenis voor de gewone man en voor de wiskundige-geometer. Voor de gewone man
is het niets anders dan de verzameling punten in de ruimte op een afstand
R van een vast punt O. Een geometer zal echter ook een voorwerp
"bol" blijven noemen dat overeenkomt met een "vervormde bol",
zoals bijvoorbeeld een aardappel. Om deze begrippen nauwkeuriger te begrijpen,
schaf u de cd van Lanturlu aan met het stripverhaal "Topologicon".
Maar de wiskundige gaat ook wat verder. Een oppervlak wordt
"regelmatig" genoemd wanneer in elk van zijn punten een raakvlak
kan worden gedefinieerd. Dat laat al toe om te denken aan een oneindigheid
aan mogelijke regelmatige vervormingen van de bol, in de oneindige mogelijke vormen
van een aardappel, waarbij bovendien de oppervlakte van dat oppervlak willekeurig kan variëren.
Dat gezegd zijnde, zal in ons fysieke universum iemand die probeert de
bol binnenstebuiten te keren (dat wil zeggen het inwendige oppervlak naar buiten te brengen) stuiten
op de onmogelijkheid om zijn oppervlak zichzelf te laten doorkruisen. Wanneer men deze hypothese aanneemt, dat wil zeggen verbiedt dat het oppervlak
zichzelf doorkruist of zelfs maar "raakt", spreekt de wiskundige
van een embedding van de bol S2. Maar een wiskundige permitteert zich altijd alles. Een
bol is voor hem een "virtueel" en niet materieel object, waarin
het doorkruisen van een vel als mogelijk wordt beschouwd. De opeenvolging
van tekeningen hieronder toont een bol die zichzelf doorkruist. Een dergelijke voorstelling,
die dus zelfdoorkruisingen toelaat, wordt
een immersie genoemd.
Een immersie bezit dus een verzameling van zelfdoorsnijding
(hier gaat het om een eenvoudige cirkelvormige kromme). Het raakvlak moet echter
continu variëren. Dat vooropgesteld, ziet men bij het bekijken van de tekening
hierboven goed dat de operatie een deel van het inwendige oppervlak
(weergegeven in groen) naar buiten brengt. Om het binnenstebuiten keren te voltooien, zou men
deze soort equatoriale darm moeten platdrukken. Hier lijkt er een probleem te zijn:
dit platdrukken zou de continuïteit van het raakvlak vernietigen,
en die transformatie zou dus een stap bevatten die geen immersie is.
Op een dag toonde een Amerikaanse wiskundige, Stephen Smale, aan
dat "de bol S2 slechts één klasse van immersies bezit". Deze sibillijnse
zin had als gevolg dat men, via een transformatie die alleen echte immersies bevat, zou moeten kunnen overgaan
van de "standaard" bol naar zijn "antipodale" voorstelling, dat wil zeggen waarin elk punt
met zijn antipode wordt verwisseld: in gewone woorden... een binnenstebuiten gekeerde bol.
Raoul Bott was de baas van Smale. Hoe correct het formele bewijs van dit feit
ook leek, niemand leek in staat om deze operatie van het binnenstebuiten keren concreet te verwezenlijken. Bott bleef maar aan Smale vragen "laat
me zien hoe u zou denken te werk te gaan"; waarop Smale, notoir
zonder blad voor de mond, antwoordde "ik heb er geen flauw idee van".
Smale kreeg later de Fields-medaille, het equivalent van de Nobelprijs voor de wiskunde.
Terloops zult u zich misschien afvragen waarom er geen Nobelprijs voor
de wiskunde bestaat. Het antwoord is eenvoudig: zijn vrouw is ervandoor gegaan met
een wiskundige.
De dingen bleven zo een hele tijd,
totdat een Amerikaanse wiskundige genaamd Anthony Phillips in 1967, in Scientific American, een eerste versie van dit binnenstebuiten keren publiceerde,
buitengewoon ingewikkeld. De tweede werd begin jaren zeventig uitgevonden
door de Franse (blinde) wiskundige Bernard Morin. Ik was de eerste die de
opeenvolging van transformaties tekende, die, zoals ik u heb aangekondigd, het onderwerp zal zijn
van een volgend artikel op deze site, die overigens zeer overvloedig is. Hoe dan ook, dit alles
brengt ons tot een beschouwing. Oppervlakken kunnen worden voorgesteld
in veelvlakkige vorm. Een kubus of een tetraëder kunnen worden beschouwd als
veelvlakkige voorstellingen van de bol, in de zin dat deze voorwerpen
dezelfde topologie hebben. Raadpleeg op dit punt mijn Topologicon. Bovendien
begrijpt men dat, als het mogelijk is de bol binnenstebuiten te keren, het eveneens
mogelijk zal zijn een kubus binnenstebuiten te keren. De transformatie uitgevonden door Bernard Morin (die
ik heb geïllustreerd in het artikel van januari 1979 in Pour la Science) loopt via een
centraal model. Er bestaat een symmetrie in deze opeenvolging. Het is die welke
ik het "centrale model met 4 oren" noem. Ik loop op de zaken vooruit.
Hoe dan ook, zoals de bol zich leent voor veelvlakkige voorstellingen, geldt dat evenzeer
voor de opeenvolgende stappen van deze transformatie. Wat u ziet ronddraaien
op mijn startpagina is de veelvlakkige versie van het centrale model
van het binnenstebuiten keren van de bol, die ik een jaar of tien geleden heb uitgevonden. Het belang
van zulke veelvlakkige modellen ligt in het feit dat ze met platte
oppervlakken kunnen worden gebouwd. Ze kunnen ook met papier en schaar worden gebouwd. Werp een blik
op de tekening hieronder (tussen haakjes dank ik mijn vriend Christophe Tardy,
die de elementen op de juiste maat heeft gemaakt).
Het is een montageplan waarvan u hier een overzicht
hebt. Maar om het af te drukken kunt u beter naar de pagina découpage gaan.
Druk die af. Maak daarna, voorzien van dit exemplaar dat op het gebruikelijke
papier van uw printer is afgedrukt, 4 identieke kopieën, twee op groen bristol karton
en twee op geel. Met behulp van deze uit te knippen bladen zult u
het centrale model van het binnenstebuiten keren van de kubus kunnen bouwen.
Op de uit te knippen elementen staan paren van letters
: a , b c , d , e , f enz.... Het volstaat het blad te vouwen door dezelfde letters
te laten samenvallen, en vervolgens de vlakken met transparant plakband
vast te zetten. De tekeningen die volgen tonen hoe een van de vier
stukken moet worden gemonteerd. Eerst en vooral ziet u hier hoe men een van de vier elementen moet beginnen te vouwen
:
Hier zijn twee van de vier elementen, vanuit verschillende hoeken gezien.
Ze worden vervolgens zo geschikt dat ze een voorwerp
met een symmetrie van orde vier opleveren, waarin groene en gele elementen elkaar afwisselen.
Om het in 3d te zien, werp een blik op de realisatie van Tardy, in de sectie
"virtuele realiteit". Het centrale model is gemonteerd en ook
in "vrml" uitgevoerd in die sectie. Hier is het weergegeven vanuit verschillende
gezichtspunten :
Men kan niet zeggen dat het ene gezichtspunt overeenkomt
met "boven" en het andere met "onder", aangezien deze
benamingen volstrekt willekeurig zijn. In de linkerafbeelding komt het
"centrale" punt overeen met het "dubbele punt" (waarin twee vellen
elkaar kruisen) van het centrale model van Morin, terwijl het centrale punt van de afbeelding
rechts overeenkomt met het "viervoudige punt" van hetzelfde model (waarin
vier vellen elkaar kruisen). Ik heb het voorwerp zeer zorgvuldig moeten oriënteren,
opdat de linkerfiguur niet aan een hakenkruis doet denken. Afgezien daarvan
zou deze veelvlakkige voorstelling van het centrale model van Morin, vanuit architecturaal oogpunt,
een mooi ontwerp hebben kunnen vormen voor een Huis van de Nationaal-Socialistische
Cultuur.
Een laatste opmerking: er bestaat geen goede veelvlakkige voorstelling
van het binnenstebuiten keren van de bol (of van de kubus). Met "goed"
bedoel ik een opeenvolging van tamelijk expliciete modellen die kunnen worden beschreven
in de vorm van betrekkelijk gemakkelijk uit te knippen bladen, zoals het model
hierboven. Er zou een studie in die richting moeten worden gedaan, binnen ieders bereik,
ook van een niet-wiskundige, bijvoorbeeld een beeldhouwer. Meer dan twintig jaar geleden
was ik leraar beeldhouwkunst aan de Ecole des Beaux-Arts van Aix en Provence, in
de tijd dat mijn dierbare vriend Jacques Boullier er directeur was. In die lokalen
ontstond de eerste meridionale voorstelling van het oppervlak van Boy met behulp van
ellipsen, de sleutel tot de constructie van de eerste impliciete vergelijking gegeven door Apéry.
Ik moet zeggen dat ik al in die tijd verbaasd was over de geometrische verbeelding
van de kunststudenten, die dikwijls die van de... geometers overtrof.
Teller geïnstalleerd op 31 december 2001. Aantal
verbindingen :