Geconsolideerd document. Hier zijn 28 oorspronkelijke pagina’s samengebracht; de onderstaande links openen elk een sectie.
Terugvinden: Wetenschappelijke documenten.
Inhoudsopgave
De Möbiusband met 1/2 draai.
| De Möbiusband met 1/2 draai. .... Eeuwenlang deden mannen en vrouwen hun riem om door er een halve draai aan te geven, maar niemand had tot in de negentiende eeuw het idee om deze uiterst gewone voorwerp een naam te geven. Op een dag, nadat hij zijn broek had dichtgeknoopt, viel dit aan Möbius op. Omdat hij geen naam bij de hand had, besloot hij er zijn eigen naam aan te geven en sindsdien heet het “De Möbiusband”. Tegenwoordig hebben veel wetenschappers faam verworven, of extra faam, door simpelweg woorden te creëren. Sir Archibald Wheeler was een groot woordenschepper (black hole, wormhole, enz.). |
|
De ‘Boy-cube’.
| De “Boy-cube”. ... De eerste impliciete vergelijking van de Boy werd gegeven door de Fransman Apéry, die dit resultaat kon bereiken omdat ik had aangetoond dat dit oppervlak beschreven kon worden met behulp van elliptische meridianen. De Boy wordt uitvoerig beschreven in mijn strip “Le Topologicon” (zie de “cd-Lanturlu”). Ik heb de “Boy-Cube” in 83 uitgevonden. Alle montage-instructies vind je in de Topologicon, pagina 47. Gladde versie |
|
Kleincube
| ... Ik heb deze versie van de “Klein-cube” in 83 gepresenteerd in mijn strip “Le Topologicon”, pagina 46. Gemakkelijk te maken met plexiglas, rhodoïd of multiplex. Gladde versie |
|
Polyedrische versie van de Lactoëder
| Polyedrische versie van de Lactoëder ... Terug naar de gladde versie |
|
Polyedrische versie van de Möbiusband met drie halve draaiingen.
| Polyedrische versie van de Möbiusband met drie halve draaiingen. (J.P.Petit, Imagerie C.Tardy) ... Een leuk klein object, te maken van karton, hout of metaal. ... Gladde versie |
|
Polyedrische versie van de klaverbladknoop J.P.Petit Imagerie C.Tardy.
| Polyedrische versie van de klaverbladknoop J.P.Petit Imagerie C.Tardy. ... Al tien jaar dient dit object als logo voor de vereniging GESTO, waarvan ik voorzitter ben. Als curiositeit: dit is de polyedrische versie van de “klaverbladknoop”. |
|
De Klein-fles (foto)
| De Klein-fles (foto) ... Deze verschijnt niet in haar “gewone” vorm (maar hoe gebruik je een eenzijdig oppervlak als fles?). Het is een acht die rond een as draait en zelf ook een draai maakt. Als dat niet zo was, zou het object een immersie van de torus zijn (artikel in voorbereiding). De vouwen zijn artefacten door de noodzaak het object zuinig weer te geven. In hogere resolutie verdwijnen ze. Soortgelijke problemen zijn er met de Boy en binnenkort zal er een identieke oplossing komen, maar deze objecten zullen iets langer duren om te laden, dat is alles. Polyedrische versie |
|
De paraplu van Whitney
| De paraplu van Whitney Whitney was een wiskundige die zijn tijd verdeelde tussen wiskunde en het beroep van evenwichtskunstenaar in een circus. Op een dag kreeg hij van zijn directeur de opdracht een paraplu te maken met slechts twee stokken, waarop hij dit object ontwierp en in zijn acts begon te gebruiken. Helaas kwam hij enkele jaren later om het leven door te vallen op het publiek. Sommige wiskundigen, enigszins beschaamd dat er een circusartiest in hun midden was, gaven er later de voorkeur aan het woord “cuspunt” (in het Engels “cusp”) te gebruiken. |
|
De Crosscap.
| De Crosscap. ... Dit is een van de verschillende vormen van het projectieve vlak. Zie het artikel. Dit oppervlak heeft twee “cuspunten”, of “paraplu’s van Whitney”. Zie ook het artikel voor beter begrip. De psychoanalyticus Jacques Lacan zag hierin een afbeelding van het “fundamentele fantasme” en plaatste “het object a”, de “linguïstische fallus”, op het centrale cuspunt. Zie “J.P.Petit chez Jacques Lacan”. ... Ga met wat behendigheid naar binnen in de Crosscap om vanuit dat perspectief het centrale cuspunt te bekijken en te zien dat het identiek is aan het andere. Polyedrische versie |
|
Boy-oppervlak:
| Boy-oppervlak: ... Boy was in 1902 een jonge leerling van de grote wiskundige Hilbert. Op een dag bedacht hij dat het “projectieve vlak van dimensie 2” voorgesteld kon worden in de 3D-ruimte als een “immersie”. Dat leverde het hier getoonde object op. Hilbert was zeer geïnteresseerd in deze belangrijke ontdekking. Hij zei tegen zijn leerling “we praten er na de zomer verder over”, waarna hij op vakantie ging. Bij terugkomst wachtte hij tevergeefs op de jonge Boy. Die had zijn huur opgezegd bij zijn hospita en was... verdwenen. Hilbert zocht tevergeefs naar hem. We weten zelfs niet waar hij begraven ligt. Zie op de site “De verschillende vormen van het projectieve vlak”. Polyedrische versie |
|
Eerste afbeelding van de monoëder in virtuele werkelijkheid (J.P.Petit & C.Tardy)
| Eerste afbeelding van de monoëder in virtuele werkelijkheid (J.P.Petit & C.Tardy) ... Ik heb de monoëder uitgevonden, een polyëder bestaande uit één enkel vlak en één enkele rand. Het heeft dus geen hoekpunten. Het ontstaat door de rotatie van een vierkant, dat bovendien zelf draait. Christophe heeft twee posities van dit vierkant getoond, transparant. ... Zie het artikel over de monoëder. |
|
Möbiusband met drie halve draaiingen. Imagerie C.Tardy.
| Möbiusband met drie halve draaiingen. Imagerie C.Tardy. ... Dit object werd als logo gebruikt door het wolwasmiddelmerk “Woolmark”. Christophe en ik verwachtten iets even leesbaars te vinden door een lijn loodrecht op een cirkel langs die cirkel te draaien, met drie halve draaiingen. Maar het resultaat is niet zo mooi als bij de versie met één halve draai. Polyedrische versie |
|
Torecube
| Hoewel de “tore-cube” gemakkelijk voor te stellen is, is de polyedrische versie van de torus zonder inkeping moeilijker. Je moet het object op afstand bekijken. Je ziet alleen groen omdat je er met je neus bovenop zit. Gladde versie |
|
Lactoëder
| Lactoëder ... De eerste beschrijving van de lactoëder werd in 1956 gegeven door Grossman, maar men weet dat Hilbert zijn bestaan al had vermoed, zoals blijkt uit een van zijn brieven aan Klein. Tot nu toe hebben we alleen parametrische weergaven en de zoektocht naar een impliciete vergelijking voor dit oppervlak (van de zesde graad, net als die van de Boy) is in handen van een kleine groep specialisten. De afbeeldingen op deze site zijn het resultaat van recent werk van Iéronimus Holstein en Miroslav Milka. Polyedrische versie |
|
x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 - 2 x y z = 0
| ... Dit is het beroemde Steiner-oppervlak van Romain, zo genoemd omdat hij het in Rome uitvond, na een bezoek aan het Colosseum. Eenzijdig, net als de Boy en de Crosscap, is dit weer een nieuwe vorm van het “projectieve vlak”. Het heeft een driedubbel punt in het midden en zes cuspunten. Men maakt gewoonlijk Steiner-oppervlakken met gerecyclede paraplu’s van Whitney. De vierdegraads vergelijking is verrassend eenvoudig: x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 - 2 x y z = 0 Polyedrische versie |
|
Num Whitney
... Centraal model van het omdraaien van de kubus. (J.P.Petit 1991, imagerie C.TARDY)
| ... Centraal model van het omdraaien van de kubus. (J.P.Petit 1991, imagerie C.TARDY) ... Dit is de polyedrische versie van het centrale model van het omdraaien van de bol volgens B.Morin (zie het artikel in het januarinummer 79 van Pour la Science). ... Waarom “centraal model”? Omdat dit model een kubus voorstelt, bijvoorbeeld groen aan de buitenkant en geel van binnen, die half is omgedraaid. Het heeft dus “vier oren”, afwisselend groen en geel. Als er een reeks transformaties bestaat waarmee de kubus in dit model verandert, is het omdraaien voltooid, want men hoeft het model alleen maar 90° om zijn as te draaien en alle transformaties in omgekeerde volgorde toe te passen. |
|
Steinercube
| Alle uitleg over de Steiner en de “Steiner-cube” vind je in “De verschillende vormen van het projectieve vlak”. Men kan niet zeggen dat het object moeilijk te maken is. Gladde versie |
|
Begin van het omdraaien van de kubus. (J.P.Petit & C.Tardy)
| Begin van het omdraaien van de kubus. (J.P.Petit & C.Tardy) ... Dit is de polyedrische versie van het beginmodel van Morins “tabaksdoos”-omdraaiing, waarvan het centrale model een dubbelbladige bedekking is van het Boy-oppervlak. Op dit moment (april 2000) heb ik alleen dit gevonden, maar Christophe Tardy heeft snel mijn kartonnen model omgezet in een nieuw element van het virtuele dierenrijk. Te volgen dus... |
|
De Torus:
| De Torus: Of liever zijn “standaard immersie”. Zoals ik in een toekomstig artikel zal aantonen, zijn er vier klassen van immersies van de torus, waarvan er één een acht is die rond een as draait zonder zelf te draaien. |
|
Torezero
Klein-fles. Foto Christophe Tardy
Klein-fles. Foto Christophe Tardy
- Tardy zal dit beter doen. Ik heb geen tijd....
| ... Dit is de polyedrische versie van de paraplu van Whitney. Het lijkt alsof dit oppervlak van multiplex is gemaakt, maar dat komt doordat Fred (click and forget), die al deze afbeeldingen in drie uur maakte, nog niet de routine had gevonden die vlakken maakt. Daarom gebruikte hij ultravlakke dingen. - Tardy zal dit beter doen. Ik heb geen tijd.... Gladde versie |
|
Num Whitney
... Centraal model van het omdraaien van de kubus. (J.P.Petit 1991, imagerie C.TARDY)
| ... Centraal model van het omdraaien van de kubus. (J.P.Petit 1991, imagerie C.TARDY) ... Hier laten we zien hoe men dit model kan maken door vier onderdelen te maken van geel en groen karton. Een uitsnede, uitgevonden in 91 samen met het model, zal binnenkort worden gegeven. ... Ter informatie: de andere stappen van dit omdraaien van de kubus moeten nog worden uitgevonden. We zullen binnenkort een andere aanduiden (ik moet het kartonnen model aan Christophe geven zodat hij het omzet in een nieuw object voor het virtuele dierenrijk) |
|
Onopgelost (psychoanalytisch) probleem.
| ... De polyedrische versie is heel eenvoudig. Je kunt er zelfs oneindig veel van bedenken en van karton maken. Door twee gaten te maken voor je ogen in de “vierkante achterkant” kun je controleren dat het centrale cuspunt, gezien vanuit dit perspectief, identiek is aan het andere. Dat deed ik in 85 toen ik het object voorstelde op een congres over Lacaniaanse psychoanalyse in Aix-en-Provence. ... De 400 psychoanalytici gaven het object ernstig door, om deze “identificatie” met eigen ogen te zien (ik toonde bovendien aan dat je de twee punten kon “vader-muteren”). Zo had het voor Lacan zo belangrijke fundamentele fantasme twee linguïstische fallussen in plaats van één. Onopgelost (psychoanalytisch) probleem. Gladde versie |
|
Klein-fles. Foto Christophe Tardy
Klein-fles. Foto Christophe Tardy
De ‘Boy-cube’, 2e versie.
| De “Boy-cube”, 2e versie. Model: Anthony Phillips. Imagerie C.Tardy. ... Dit is een andere polyedrische versie van het Boy-oppervlak, voorgesteld door de Amerikaanse wiskundige Anthony Phillips (uitvinder van de eerste versie van het omdraaien van de bol) zodra hij kennis kreeg van mijn versie. Het is slechts een kwestie van esthetiek. Dit model verschilt van het mijne doordat het “punt” van het object is “ingedrukt”. In de “gladde” versie krijg je dan wat men een “aapje” noemt (authentiek). Gladde versie |
|
Oorspronkelijke pagina’s: moebius_un_demi_t.html, boycube.html, kleincube.html, moebius_cube.htm, noeud_trefle-cube.htm, klein.html, withney.html, crosscap.html, boy.html, mono_transp.htm, moebius_trois_demi.htm, torecube.html, lactoedre.html, steiner.html, num_withney.htm, mod_cent_ret_c_vj.html, steinercube.html, deb_ret_cube.htm, tore.html, klein_photo.htm, withneycube.html, num_withney.htm, mod_cent_ret_c_vj_c.html, crosscapcube.html, klein_photo.htm, boycube2.html