Omzetting van de Crosscap naar de Boyoppervlak, via het Romeinse Steineroppervlak
Hoe een crosscap om te zetten in een Boyoppervlak (links of rechts, naar keuze), via het Romeinse Steineroppervlak.
27 september - 25 oktober 2003
pagina 2
Hier is een crosscap (zoals u die hebt ontdekt in de beelden van virtuele realiteit). Deze heeft twee spitspunten die een lijn van zelfintersectie omsluiten. U kunt deze maken door een ballon te knijpen met een krulijzer. Maar u kunt ook polyhedrale representaties ervan bouwen. Die onderaan zal ons met name interesseren.
Op deze plaat 4 bevindt zich het moeilijkste moment om te begrijpen. Het lijkt mij vrijwel onmogelijk dat een willekeurige persoon deze figuren begrijpt door alleen naar de tekeningen te kijken. Bouw deze modellen zelf. Duidelijk trekken we het spitspunt C2 naar "binnen het oppervlak" (wat overigens geen zin heeft, omdat u wellicht al direct hebt opgemerkt dat de crosscap eenzijdig is. Door het doorzetten gaat het oppervlak zichzelf doorsnijden en wordt het zelfintersectiepatroon afgerond met een figuur-achtige kromme. Tijdens dit proces ontstaat een drievoudig punt T.
Het oppervlak is beter te begrijpen in zijn polyhedrale vorm, en onderaan hebben we bepaalde elementen vergroot om aan te tonen waarom we dit object willen omzetten in het Romeinse Steineroppervlak (zie virtuele realiteit), waarvan de eenvoudigste polyhedrale vorm bestaat uit het samenvoegen van vier kubussen (hier zien we er maar drie).
Plaat 5: het polyhedrale object links, het figuur-achtige rechts. De pijl neemt een pad dat we gaan "knijpen". Onderaan begint het knijpen.
Plaat 6: het knijpen is uitgevoerd door een singulier punt B te creëren. In werkelijkheid knijpen we aan beide zijden, om tijd te besparen; hierdoor ontstaan twee singuliere punten S1 en S1, gevolgd door twee paren spitspunten. Nu zit u in de problemen zonder karton, schaar en plakband.
Plaat 7: we hebben simpelweg de verschillende spitspunten verplaatst. Als punt C2 "duidelijk" is, dan is het wat moeilijker om punten C3 en C4 als spitspunten te herkennen. Ze zijn echter wel aanwezig aan het einde van een lijn van zelfintersectie. Boven punt C3 bevindt zich simpelweg wat ik een "posicoon" noem, een punt van concentratie van positieve kromming (een punt van concentratie van negatieve kromming is een "negacoon"). Door dit object een beetje te vervormen komt men tot een polyhedrale vorm van het Romeinse Steineroppervlak (een oppervlak van de vierde graad, bedacht door Steiner in Rome. Zie de presentatie in virtuele realiteit).
Dus, het is gebeurd. Er bestaan verschillende soorten oppervlakken, afhankelijk van de regels die we ons opleggen. Oppervlakken die zichzelf niet doorsnijden, heten inbeddingen (van de bol, van de torus in R3). Wanneer ze zich wel doorsnijden, maar waarbij het raakvlak continu verandert, noemen we ze immersies. Voorbeeld: de Klein-fles in haar klassieke representatie. In R3 bestaat er geen representatie van de Klein-fles als inbedding. Ze moet zichzelf noodzakelijkerwijs doorsnijden. Immersies hebben zelfintersectieverzamelingen die zonder spitspunten zijn. Deze krommen zijn continu, maar kunnen elkaar snijden of punten met dubbele of drievoudige intersectie bevatten. Opmerking: een bol kan ook als een immersive voorkomen, door simpelweg de bol zichzelf te laten doorsnijden. Precies op deze manier bereikte men de omkeerbaarheid van de bol (A. Phillips, 1967, met als centrale stap het dubbelbladige omslaan van een Boyoppervlak; B. Morin en J.P. Petit, 1979, met als centraal model het vierorenmodel van Morin, dat hieronder een polyhedrale representatie is die ik ongeveer tien jaar geleden zelf bedacht.
Plaats voor montage van dit object met een snijden
Als we het spelregel uitbreiden door aan te nemen dat deze objecten spitspunten hebben, krijgen we submersies (de crosscap, het Romeinse Steineroppervlak). Ik weet niet of het juiste woord is, maar omdat ik geen wiskundige kon vinden die me kon verhelderen, vond ik het leuk om er een te bedenken, tijdelijk, totdat een expert in meetkunde zich meldt. Zo zijn de crosscap en het Romeinse Steineroppervlak dus submersies van het "projectieve vlak".
Om eerlijk te zijn, na mijn tegenslagen met MHD gedurende vijfentwintig jaar had ik deze werkzaamheden begonnen omdat ik vond dat ze zo ver mogelijk van elke militaire toepassing verwijderd waren. Maar zoals mijn oude vriend Mihn opmerkte, kan het woord submersie verkeerd worden geïnterpreteerd en de Marine Nationale kunnen laten denken dat ik met deze onderzoeken een doorbraak op het gebied van onderzeeërpropulsie probeer te verbergen.
De regel van "creatie-decreatie" van paren spitspunten stelt ons in staat om van een submersie van een object naar een andere te gaan, en dat hebben we zojuist gedaan door te tonen dat de crosscap en het Romeinse Steineroppervlak twee submersies zijn van hetzelfde object, het projectieve vlak. Zoek niet uit hoe een "projectief vlak" eruitziet. Dit object kan alleen worden begrepen via zijn verschillende representaties. En het woord "projectief vlak" is slechts één van de duizenden woorden die wiskundigen hebben bedacht om mensen die willen doordringen tot hun gesloten kring te verwarren. Larousse is in de wiskunde totaal nutteloos.
We gaan nu over naar het Boyoppervlak, dat een immersive representatie van het projectieve vlak is
Terug naar samenvatting "Omzetting van een crosscap naar Boy"
Terug naar Gids Terug naar Startpagina
Aantal bezoeken sinds 25 oktober 2003:
Afbeeldingen
