Omzetting van de Crosscap naar de Boyoppervlak, via het Romeinse oppervlak van Steiner
Hoe een crosscap om te zetten in een Boyoppervlak (links of rechts, naar keuze), via het Romeinse oppervlak van Steiner.
27 september - 25 oktober 2003
pagina 2
Hier is een crosscap (zoals u die hebt ontdekt in de beelden van virtuele realiteit). Deze heeft twee spitspunten die een lijn van zelfintersectie omsluiten. U kunt deze maken door een bal met een krulijzer te pinnen. Maar u kunt ook polyhedrale representaties ervan bouwen. Die onderaan zal ons vooral interesseren.
In deze plaat 4 bevindt zich het moeilijkste moment om te begrijpen. Het lijkt mij vrijwel onmogelijk dat een willekeurige persoon deze figuren begrijpt door alleen naar de tekeningen te kijken. Bouw deze modellen zelf. Duidelijk trekken we het spitspunt C2 naar "binnen de oppervlak" (wat overigens geen zin heeft, omdat u wellicht direct hebt opgemerkt dat de crosscap eenzijdig is. Door door te drukken gaat het oppervlak zichzelf doorsnijden en vormt de zelfintersectie zich aanvullend in een "rondouillard" met een figuur 8-vormige kromme. Tijdens dit proces ontstaat een drievoudig punt T.
Het oppervlak is beter te begrijpen in zijn polyhedrale vorm, en onderaan hebben we bepaalde elementen vergroot om aan te tonen waarom we dit object willen omzetten in het Romeinse oppervlak van Steiner (zie de virtuele realiteit), waarvan de eenvoudigste polyhedrale vorm bestaat uit het samenvoegen van vier kubussen (hier zien we er maar drie).
Plaat 5: links het polyhedrale, rechts het rondouillard. De pijl neemt een pad dat we gaan "pinnen". Onderaan het begin van het pinnen.
Plaat 6: het pinnen is uitgevoerd door een singulier punt B te creëren. In feite pinnen we aan beide kanten, om tijd te besparen; hierdoor ontstaan twee singuliere punten S1 en S1, gevolgd door twee paren spitspunten. Nu heb je het moeilijk zonder karton, schaar en plakband.
Plaat 7: we hebben simpelweg de verschillende spitspunten verplaatst. Als punt C2 "duidelijk" is, zal het iets moeilijker zijn om de punten C3 en C4 als spitspunten te herkennen. Ze zijn echter wel aanwezig aan het eind van een lijn van zelfintersectie. Boven punt C3 bevindt zich simpelweg wat ik een "posicoin" noem, een punt van concentratie van positieve kromming (een punt van concentratie van negatieve kromming is een "négacoin"). Door dit object een beetje te vervormen krijg je een polyhedrale vorm van het Romeinse oppervlak van Steiner (een oppervlak van de vierde graad, bedacht door Steiner in Rome. Zie de presentatie in virtuele realiteit).
Dus, het is gebeurd. Er bestaan verschillende soorten oppervlakken, afhankelijk van de regels die we stellen. Oppervlakken die zichzelf niet doorsnijden heten "inbeddingen" (van de bol, de torus in R3). Wanneer ze zichzelf wel doorsnijden, maar waarbij het raakvlak continu varieert, noemen we ze immersionen. Voorbeeld: de Klein-fles in haar klassieke representatie. In R3 bestaat er geen representatie van de Klein-fles als inbedding. Ze moet zichzelf noodzakelijkerwijs doorsnijden. Immersionen hebben zelfintersectieverzamelingen zonder spitspunten. Deze krommen zijn continu, maar kunnen elkaar snijden, waar punten dubbel of drievoudig zijn. Opmerking: de bol kan ook als een immersie worden voorgesteld, door hem simpelweg zelf te laten doorsnijden. Precies op deze manier slaagt men erin de bol om te keren (A. Phillips, 1967, met als centrale stap de dubbele omslag van een Boyoppervlak; B. Morin en J.P. Petit, 1979, met als centraal model het vierorenmodel van Morin, dat hieronder een polyhedrale representatie is die ik ongeveer tien jaar geleden heb uitgevonden.
Plaats voor montage van dit object met snijden
Als we het spelregel uitbreiden door te veronderstellen dat deze objecten spitspunten hebben, krijgen we submersies (de crosscap, het Romeinse oppervlak van Steiner). Ik weet niet of dit het juiste woord is, maar omdat ik geen wiskundige heb gevonden die me kan verhelderen, vond ik het leuk om er een te bedenken, tijdelijk, tot een expert in meetkunde zich meldt. Zo zijn de crosscap en het Romeinse oppervlak van Steiner dus submersies van het "projectieve vlak".
Om eerlijk te zijn, na mijn tegenslagen met MHD gedurende vijfentwintig jaar had ik deze werkzaamheden aangevat omdat ik vond dat ze zo ver mogelijk van elke militaire toepassing verwijderd waren. Maar zoals mijn oude vriend Mihn opmerkte, kan het woord submersie verwarrend zijn en de Marine Nationale kunnen doen denken dat ik via deze onderzoeken een doorbraak in onderzeese aandrijving probeer te verbergen.
De regel van "creatie-decreatie" van paren spitspunten stelt ons in staat om van een submersie van een object naar een andere te gaan, en dat is precies wat we zojuist hebben gedaan door te tonen dat de crosscap en het Romeinse oppervlak van Steiner twee submersies zijn van eenzelfde object, het projectieve vlak. Zoek niet uit hoe een "projectief vlak" eruitziet. Dit object kan alleen worden begrepen via zijn verschillende representaties. En het woord "projectief vlak" is slechts één van de duizenden woorden die wiskundigen hebben bedacht om mensen af te schrikken die willen doordringen tot hun gesloten kring. Larousse is in de wiskunde voor niets nuttig.
We moeten nu overgaan naar het Boyoppervlak, dat een immersie van het projectieve vlak is
Terug naar samenvatting "Omzetting van een crosscap naar Boy"
Terug naar Gids Terug naar Startpagina
Aantal bezoeken sinds 25 oktober 2003:
Afbeeldingen
