Omzetting van de Crosscap naar de Boyoppervlak, via het Romeinse oppervlak van Steiner
Hoe een crosscap om te zetten in een Boyoppervlak (rechts of links, naar keuze), via het Romeinse oppervlak van Steiner.
27 september 2003
pagina 4
We tonen het model nu vanuit een andere hoek:
Plaat 14: We herhalen dezelfde bewerking door de derde "oor" van de zelfintersectielijn te creëren. In polyhedrale vorm heeft deze drie vierkanten met een gemeenschappelijk hoekpunt: het drievoudige punt T.
Plaat 15: Door het object te draaien herkent u de polyhedrale vorm van het Boyoppervlak dat ik eerder had geïntroduceerd en gepresenteerd in het Topologicon (waar een uitgeknipte versie is opgenomen die het mogelijk maakt het te bouwen).
Laatste plaat: ik heb geprobeerd het Steineroppervlak (van graad 4, terwijl het Boyoppervlak van graad 6 is) te illustreren terwijl het zich wringt en omzet in een Boyoppervlak.
Men ziet dat men, in een "ronde" vorm, een flinke ervaring nodig heeft om het object te begrijpen. Ons oog voelt zich erg ongemakkelijk bij het begrijpen van een object waarop op een en dezelfde bliklijn meer dan twee oppervlakken overlappend zijn. Daarom is de polyhedrale vorm zo interessant: ze maakt transformaties die in de meetkunde als geavanceerd worden beschouwd, toegankelijk voor iedereen, omdat mensen het zelf moeten bouwen. Tegelijk merken we op dat afhankelijk van de gekozen paren cuspidele punten een rechts of links Boyoppervlak ontstaat (woorden die volkomen arbitrair zijn). Het projectieve vlak wordt geïmmergeerd in twee "enantioomorfe" vormen, spiegelbeeldig. Men ziet dat men van een rechts Boyoppervlak naar een links Boyoppervlak kan gaan via een centraal model: het Romeinse oppervlak van Steiner.
Het zou zeker leuk zijn als dergelijke tekeningen zouden worden gepubliceerd in Pour la Science of La Recherche. Maar sinds twintig jaar ben ik "verboden voor publicatie" in deze tijdschriften vanwege mijn "ovni-deviatie". Dank u, heren Hervé This en Philippe Boulanger. Ik tel niet meer hoeveel artikelen van dit soort ik naar deze tijdschriften heb gestuurd, die me beleefd zijn teruggestuurd. Uiteindelijk gewend men zich aan zijn status als uitgesloten.
Als anekdote: in Frankrijk bestaat er een "Alembert-prijs" voor auteurs van populair-wetenschappelijke boeken op het gebied van wiskunde. De geschiedenis werd mij verteld door een lid van de commissie die bepaalde wie de prijs moest krijgen (er zit wel wat geld bij). Dialoog:
-
Maar kan men Petit de prijs niet geven? Hij heeft opmerkelijke werken gemaakt zoals het Géométricon, het Zwarte Gat en het Topologicon.
-
Ja, maar hij heeft meer gedaan dan alleen die albums.
-
Waar doet u op aan?
-
Hij heeft ook het Muur van Stilte geschreven.
-
Ah, in dat geval....
Ja, het Muur van Stilte, uit 1983, is een album gewijd aan de MHD. En zoals iedereen weet, heeft deze gevaarlijke wetenschap de eigenschap – of listigheid – om vliegende schotels met supersone snelheid te laten bewegen zonder een knal te maken.
Verberg deze wetenschap, dat ik haar niet zie
Ik heb in mijn archieven een prachtige versie van het "omkering van de kubus" met een centraal model van ongekende schoonheid, dat niet de polyhedrale versie is van de Morin-variant. Alles van mijn eigen hand. Op een dag, misschien...
22 oktober 2003: Er is weinig druk op deze pagina’s, naar ik kan afleiden uit het tellertje. Op maandag 13 oktober 2003 hield ik een seminarie bij het CMI (Centrum voor Wiskunde en Informatica van Château-Gombert-Marseille) op uitnodiging van Trotman. Tijdens het seminarie kon ik een collectie van ongeveer dertig kartonnen modellen tonen, die u binnenkort als eerste zult zien, aangezien ze zijn gefotografeerd door Christophe Tardy.
Bij een seminarie ontstaat een bepaalde sfeer. Op de volgende foto ziet men een meetkundige die zijn verwarring uitspreekt.
Op de achtergrond een deel van de tentoonstelling. Op een gegeven moment stelde ik de vraag:
*- Wie heeft hier al een Romeins oppervlak van Steiner gezien? Hef uw hand op. *
Niemand had er ooit een gezien. Ik achtte het dan ook nuttig het object, in werkelijkheid virtueel, te tonen op de laptop die ik had meegenomen, een object gemaakt in samenwerking met Christophe Tardy, ingenieur, en Frédéric Descamp van het Institut Laue Langevin van Grenoble (ILL). Duidelijk verbaasde deze presentatie het publiek, dat niet gewend is aan wiskundige oppervlakken die vrijelijk kunnen draaien.
Twee kartonnen bordjes, zichtbaar in de voorgrond, hadden de volgorde van de modellen logisch geordend. De "groene en gele" modellen illustreren in polyhedrale vorm het essentiële hulpmiddel voor het creëren of vernietigen van een paar cuspidele punten. Het witte object verderop is een polyhedrale versie van de Crosscap, die eerst omgezet wordt in een polyhedrale versie van het Romeinse oppervlak van Steiner, een meter verderop, en vervolgens naar keuze in een rechts of links Boyoppervlak.
De analyse van de modellen leidde tot verschillende opmerkingen van het publiek. Een van de meetkundigen vroeg:
*- Als we de modellen in deze richting volgen, kunnen we van de Crosscap naar het Boyoppervlak gaan, lijkt het alsof we in omgekeerde richting van het Boyoppervlak naar de Crosscap kunnen gaan. *
Ik bevestigde dit. Met moed voegde mijn gesprekspartner eraan toe:
*- Als we bij het stadium van het Romeinse oppervlak van Steiner stoppen, kunnen we dan terugkeren naar een spiegelbeeld van het Boyoppervlak. *
Ik bevestigde opnieuw. Maar helaas bood niemand zich aan om verduidelijkingen te geven over deze vreemde wereld waarin gesloten oppervlakken worden uitgerust met cuspidele punten, die paarsgewijs worden gecreëerd of vernietigd, waarbij het geheel een soort uitbreiding vormt van het domein van immersies. Het woord "submersies" lijkt mij daarbij gepast. Als een lezer verduidelijkingen vindt, zijn die welkom.
Gecentreerde kromming in een cuspidaal punt
Deze wordt berekend door de hoeken bij het hoekpunt op te tellen en deze som te vergelijken met de euclidische som: 2π.
Bovenaan links is een van de veelvoudige polyhedrale representaties van een cuspidaal punt weergegeven. Het "ontleden" van het object (rechts) leidt tot een som die groter is dan de euclidische som 2π met een waarde 2α. Hieruit volgt dat de geconcentreerde hoekkromming in de buurt van dit punt C gelijk is aan -2α. Als de hoek α gelijk is aan π/2, dan is de negatieve kromming c (figuur onderaan links). In feite kan de geconcentreerde kromming in een cuspidaal punt oneindig veel waarden aannemen. Onderaan rechts versterken we de hoekensom en de kromming wordt dan < 2α. De negatieve kromming wordt versterkt.
Door dit omgekeerd te doen, kunnen we een vrij verbazingwekkende situatie verkrijgen: zorgen dat de (hoek)kromming in C precies ... nul is:
We beginnen nu met een polyhedrale representatie van de Crosscap met twee cuspidaal punten, elk met een negatieve kromming van -π:
Er zijn acht "posicoins" met een waarde +π/2. Voeg er vier "posicoins" met kromming +π/4 en vier "negacoins" met kromming -π/4 aan toe.
Plus de twee cuspidaal punten met kromming -π.
Totaal: 2π
Door deze totale kromming te delen door 2π verkrijgen we de Euler-Poincaré-karakteristiek van alle representaties van het projectieve vlak (zoals het Boyoppervlak).
Tijdens mijn voordracht heb ik het over de kunst en manier van het omwisselen van de twee cuspidaal punten van een Crosscap, gebruikmakend van de omkering van de bol. Ik weet niet meer of ik dit ergens op mijn website heb gezet. Het is zo’n wirwar. Ik moet het zoeken, anders plaats ik het ergens. Het is best grappig. Hoe dan ook, deze presentatie beviel niet aan een van de aanwezigen tijdens het seminarie.
- Ik zie niet waarom Petit zulke ingewikkelde middelen gebruikt om de symmetrie tussen de twee cuspidaal punten van een Crosscap te bewijzen. Er is veel eenvoudiger.
En hij tekende op het bord een platte bol, geperst door twee staven die aan elkaar worden vastgemaakt, wat inderdaad een zelfintersectie oplevert in de vorm van een segment met twee cuspidaal punten aan de uiteinden, zoals bij de Crosscap. Helaas, en hij besefte het, is dit geen Crosscap.
- Drommels, maar wat is het dan? vroeg iemand.
Het is simpelweg een bol, uitgerust met twee cuspidaal punten. Als we ze samenvoegen, krijgen we een zelfintersectielijn die dan een eenvoudige cirkel wordt. En we krijgen onderaan links (in doorsnede) een immersive vorm van de bol, die we dan maar hoeven te transformeren naar een inbedding. We kunnen ook overgaan naar een polyhedrale representatie van dit oppervlak:
Het is tweezijdig en de kromming is 2π.
We kunnen dus veel plezier maken met deze "submersies". Neem een immersive vorm van een torus die bestaat uit het draaien van het "oneindig"-teken of een "acht" rond een as.
De techniek van het samenvloeien van cuspidaal punten stelt ons in staat om snel over te gaan naar de standaard inbedding van de torus, zoals aangegeven in de volgende afbeeldingen.
Maar soms zijn dingen niet zo eenvoudig en duidelijk. Neem bijvoorbeeld een bol die ik tussen twee segmenten pers, die nu een kleinere lengte hebben dan de diameter. We krijgen nog steeds twee cuspidaal punten.
Aangezien er een Möbiusband in kan worden ingesloten, is dit oppervlak eenzijdig. We hebben de polyhedrale representatie getoond, die het mogelijk maakt de totale kromming te berekenen. We vinden dan nul. Als ik me niet vergis zou dit dan een Klein-fles zijn. In het algemeen kennen we alleen de meest klassieke immersive vorm waarbij de zelfintersectielijn een eenvoudige cirkel is. Maar er zijn andere, zoals deze. Ik geef toe dat ik nog niet heb gevonden hoe dit object om te zetten in een immersive vorm van een Klein-fles. Ik weet trouwens niet of de verschillende immersies behoren tot dezelfde homotopiegroep (de bol heeft er maar één). A priori niet, omdat de torus op vier verschillende manieren kan worden geïmmergeerd, die niet door een reguliere homotopie met elkaar kunnen worden verbonden. Totdat ik me heb vermaakt met het transformeren van dit oppervlak door er twee extra cuspidaal punten aan toe te voegen, waardoor we twee Crosscaps krijgen die verbonden zijn door een buis. Als we ze doorsnijden, krijgen we een Euler-Poincaré-karakteristiek gelijk aan nul.
Deze "vreemde oppervlak" zou moeten kunnen worden omgezet in een van de immersies van de Klein-fles. Maar welke? In elk geval hier een die ontstaat door het "acht"-teken rond een as te draaien en er daarna een halve draai aan te geven:
Terug naar inhoud "Omzetting van een Crosscap naar Boy"
Terug naar Gids Terug naar Startpagina
Aantal bezoeken sinds 6 oktober 2003: