Omzetting van de Crosscap naar de Boyoppervlak, via het Romeinse oppervlak van Steiner
Hoe een crosscap om te zetten in een Boyoppervlak (rechts of links, naar keuze), door middel van het Romeinse oppervlak van Steiner.
27 september 2003
pagina 4
We tonen nu het model vanuit een ander gezichtspunt:
Plank 14: We herhalen dezelfde bewerking door de derde "oor" van de zelfintersectielijn te creëren. In polyhedrale vorm heeft deze drie vierkanten met een gemeenschappelijk hoekpunt: het drievoudige punt T.
Plank 15: Door het object te draaien herkent u de polyhedrale versie van het Boyoppervlak die ik eerder had geïntroduceerd en gepresenteerd in het Topologicon (waar een uitgesneden versie is opgenomen die het bouwen mogelijk maakt).
Laatste plank: ik heb geprobeerd het Steiner-oppervlak (van de vierde graad, terwijl het Boyoppervlak van de zestiende graad is) te illustreren terwijl het zich kronkelt en omzet in een Boyoppervlak.
Men ziet dat men, in een "ronde" vorm, een flinke oefening nodig heeft om het object te begrijpen. Ons oog voelt zich erg ongemakkelijk wanneer het moet begrijpen dat op één en dezelfde bliklijn meer dan twee oppervlakken op elkaar liggen. Daarom is de polyhedrale vorm zo interessant: ze maakt transformaties die in de meetkunde als geavanceerd worden beschouwd, toegankelijk voor iedereen, omdat mensen het zelf moeten bouwen. Tegelijk merken we op dat, afhankelijk van de gekozen paar cuspidele punten, een "rechts" of "links" Boyoppervlak ontstaat (woorden die volkomen willekeurig zijn). Het projectieve vlak wordt geïmmergeerd in twee "enantioomorfe" vormen, spiegelbeeldig. Men ziet dat men van een rechts Boyoppervlak naar een links Boyoppervlak kan gaan via een "centraal" model, namelijk het Romeinse oppervlak van Steiner.
Het zou zeker leuk zijn als dergelijke tekeningen zouden worden gepubliceerd in Pour la Science of La Recherche. Maar sinds twintig jaar ben ik "verboden voor publicatie" in deze tijdschriften vanwege mijn "ovnieske" afwijking. Dank u, heren Hervé This en Philippe Boulanger. Ik tel niet meer hoeveel artikelen ik aan deze tijdschriften heb gestuurd, die me beleefd werden teruggezonden. Uiteindelijk gewend men zich aan zijn status van uitgesloten persoon.
Als anekdote: in Frankrijk bestaat er een "Alembert-prijs" voor auteurs van populair-wetenschappelijke boeken over wiskunde. De geschiedenis werd me verteld door een lid van de commissie die moest bepalen wie de prijs moest krijgen (er zit wel een klein beetje geld bij). Dialoog:
-
Maar kan men Petit niet de prijs geven? Hij heeft opmerkelijke werken gemaakt zoals het Géométricon, het Zwarte Gat en het Topologicon.
-
Ja, maar hij heeft meer gedaan dan alleen die albums.
-
Waar doet u daarmee?
-
Hij heeft ook het Stilte Muur geschreven.
-
Ah, in dat geval...
Ja, het Stilte Muur, uitgegeven in 1983, is een album gewijd aan de MHD. En zoals iedereen weet, heeft deze gevaarlijke wetenschap de eigenschap – of listigheid – om vliegende schotels te laten reizen met supersone snelheid zonder een knal te maken.
Verberg deze wetenschap, ik wil hem niet zien
Ik heb in mijn archief een prachtige versie van het "omdraaien van de kubus", met een centraal model van uitzonderlijke schoonheid, dat niet de polyhedrale versie is van de Morin-variant. Alles van mijn eigen hand. Op een dag...
22 oktober 2003: Er is weinig druk op deze pagina’s, naar ik meen uit het aantal bezoeken. Op 13 oktober 2003 gaf ik een seminarie bij het CMI (Centrum voor wiskunde en informatica van Château-Gombert-Marseille) op uitnodiging van Trotman. Tijdens het seminarie kon ik een collectie van ongeveer dertig kartonnen modellen tonen, die u binnenkort als eerste zult zien, aangezien ze zijn gefotografeerd door Christophe Tardy.
Bij een seminarie ontstaat een bepaalde sfeer. Op de volgende foto ziet men een meetkundige die zijn verwarring uitspreekt.
Op de achtergrond een deel van de tentoonstelling. Op een gegeven moment stelde ik de vraag:
*- Wie heeft hier al een Romeins oppervlak van Steiner gezien? Steek uw hand op. *
Niemand had er ooit een gezien. Ik achtte het daarom nuttig het object, in werkelijkheid virtueel, te tonen op de laptop die ik had meegenomen, een object gemaakt met de hulp van Christophe Tardy, ingenieur, en Frédéric Descamp van het Institut Laue Langevin van Grenoble (ILL). Duidelijk verbaasde deze presentatie het publiek, dat niet gewend is om wiskundige oppervlakken vrijelijk te zien draaien.
Twee kartonnen paneeltjes, zichtbaar in de voorgrond, hadden het logische volgorde van de modellen laten zien. De "groene en gele" modellen illustreren, in polyhedrale vorm, het essentiële hulpmiddel voor het creëren of vernietigen van een paar cuspidele punten. Het meest afgelegen witte object is een polyhedrale versie van de Crosscap, die eerst omzet wordt in een polyhedrale versie van het Romeinse oppervlak van Steiner, een meter verderop, en daarna, naar keuze, in een "rechts" of "links" Boyoppervlak.
Bij het analyseren van de modellen kwamen verschillende opmerkingen bij het publiek naar voren. Een van de meetkundigen vroeg:
*- Als we de modellen in deze richting volgen, kunnen we van de Crosscap naar het Boyoppervlak gaan. Dan lijkt het alsof we, in omgekeerde richting, van het Boyoppervlak naar de Crosscap kunnen gaan. *
Ik bevestigde dit. Met moed voegde mijn gesprekspartner eraan toe:
*- Als we bij het stadium van het Romeinse oppervlak van Steiner stoppen, kunnen we dan, naar wens, terugkeren naar een spiegelbeeld van het Boyoppervlak. *
Ik bevestigde opnieuw. Maar helaas zal niemand zich aanbieden om verduidelijkingen te geven over deze vreemde wereld waarin gesloten oppervlakken worden uitgerust met cuspidele punten, die paarsgewijs worden gecreëerd of vernietigd, waarbij het geheel een soort uitbreiding vormt van de wereld van de immersies. Het woord "submersies" lijkt me daarbij gepast. Als een lezer hier verduidelijkingen over vindt, zijn die zeer welkom.
Gecentreerde kromming in een cuspideel punt
Deze wordt berekend door de hoeken bij het punt op te tellen en te vergelijken met de Euclidische som: 2π.
Bovenaan links is een van de vele polyhedrale representaties van een cuspideel punt getoond. Het "ontleden" van het object (rechts) leidt tot een som die groter is dan de Euclidische som 2π met een waarde 2α. Hieruit volgt dat de geconcentreerde hoekkromming in de buurt van dit punt C gelijk is aan -2α. Als de hoek α gelijk is aan π/2, dan is de negatieve kromming gelijk aan c (figuur onderaan links). In feite kan de geconcentreerde kromming in een cuspideel punt oneindig veel waarden aannemen. Onderaan rechts versterken we de hoekensom, zodat de kromming dan < 2α wordt. De negatieve kromming wordt hierdoor versterkt.
Door het omgekeerde te doen, kunnen we een vrij verbazingwekkende situatie verkrijgen: zorgen dat de geconcentreerde (hoek)kromming in C ... nul is:
We kunnen nu beginnen met een polyhedrale representatie van de Crosscap met twee cuspidele punten, elk met een negatieve kromming van -π:
Er zijn acht "posicoins" met een waarde +π/2. Voeg er vier "posicoins" met kromming +π/4 en vier "negacoins" met kromming -π/4 aan toe.
Plus de twee cuspidele punten met kromming -π.
Totaal: 2π
Als we deze totale kromming delen door 2π, krijgen we de Euler-Poincaré-karakteristiek van alle representaties van het projectieve vlak (zoals het Boyoppervlak).
Tijdens mijn voordracht heb ik het over de kunst en manier van het verwisselen van de twee cuspidele punten van een Crosscap, gebruikmakend van het omkeren van de bol. Ik weet niet meer of ik dit ergens op mijn website heb gezet. Het is zo’n rommel. Ik zal moeten zoeken, anders zet ik het ergens neer. Het is best amusant. Hoe dan ook, deze presentatie beviel niet aan een van de aanwezigen tijdens het seminarie.
- Ik zie niet waarom Petit zulke ingewikkelde middelen gebruikt om de symmetrie tussen de twee cuspidele punten van een Crosscap te tonen. Er is veel eenvoudiger.
En hij tekende op het bord een bol die werd samengedrukt door twee staven die aan elkaar werden verbonden, wat inderdaad een zelfintersectielijn vormt in de vorm van een segment met twee cuspidele punten, zoals bij de Crosscap. Helaas, en hij merkte het zelf, is dit geen Crosscap.
- Heel erg, maar wat is het dan? vroeg iemand.
Het is simpelweg een bol met twee cuspidele punten. Als we die punten samenvoegen, krijgen we een zelfintersectielijn die dan een gewone cirkel wordt. En we krijgen onderaan links (in doorsnede) een immersie van de bol die we dan maar hoeven te transformeren naar een inbedding. We kunnen ook overgaan naar een polyhedrale representatie van dit oppervlak:
Het is tweezijdig en de kromming is 2π.
We kunnen dus veel plezier hebben met deze "submersies". Neem een immersie van een torus die bestaat uit het draaien van het "oneindig"-teken of een "acht" rond een as.
De techniek van het samenvloeien van cuspidele punten stelt ons in staat om zeer snel over te gaan naar de standaard inbedding van de torus, zoals aangegeven in de volgende afbeeldingen.
Maar het blijkt soms niet zo eenvoudig en duidelijk. Neem bijvoorbeeld een bol die ik tussen twee segmenten samendruk, die deze keer een lengte hebben die kleiner is dan de diameter. We krijgen nog steeds twee cuspidele punten.
Aangezien er een Möbiusband in kan worden ingesloten, is dit oppervlak eenzijdig. We hebben de polyhedrale representatie getoond, die het mogelijk maakt de totale kromming te berekenen. We vinden dan nul. Als ik me niet vergis, zou dit dan een Klein-fles zijn. Men kent meestal alleen de meest klassieke immersie waarbij de zelfintersectielijn een gewone cirkel is. Maar er zijn andere, zoals deze. Ik geef toe dat ik nog niet heb gevonden hoe dit object om te zetten in een immersie van de Klein-fles. Ik weet trouwens niet of de verschillende immersies tot dezelfde homotopiegroep behoren (de bol heeft er maar één). A priori niet, omdat de torus op vier verschillende manieren kan worden geïmmergeerd, die niet door een gladde homotopie met elkaar kunnen worden verbonden. Totdat ik me heb vermaakt met het omzetten van dit oppervlak door twee extra cuspidele punten te creëren, waardoor we twee Crosscaps krijgen die verbonden zijn door een buis. Als we ze doorsnijden, krijgen we een Euler-Poincaré-karakteristiek van nul.
Deze "vreemde oppervlak" zou moeten kunnen worden omgezet in een van de immersies van de Klein-fles. Maar welke? In elk geval hier een die ontstaat door het "acht"-teken om een as te draaien en er daarna nog een halve draai aan toe te voegen:
Terug naar inhoud "Omzetting van een Crosscap naar Boy"
Terug naar Gids Terug naar Startpagina
Aantal bezoeken sinds 6 oktober 2003: