Hoe een crosscap om te vormen tot een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze) via het Romeinse oppervlak van Steiner.
27 september - 25 oktober 2003
pagina 2
Hier is een Cross Cap (zoals u die zult hebben ontdekt in de beelden van virtuele realiteit).
Ze bevat twee cuspidale punten die een lijn van zelfdoorsnijding begrenzen.
Men kan ze maken door een ballon samen te knijpen met een krultang.
Maar u kunt er ook polyedrische voorstellingen van construeren.
Die van onderen zal ons bijzonder interesseren.
In deze plaat 4 bevindt zich het moeilijkst te bevatten moment. Het lijkt mij ongeveer onmogelijk dat de eerste de beste deze figuren begrijpt door alleen naar de tekeningen te kijken. Bouw deze maquettes. Duidelijk gezegd: men trekt het cuspidale punt C2 naar "het inwendige van het oppervlak" (wat overigens geen enkele betekenis heeft, aangezien de Cross Cap, zoals u ongetwijfeld onmiddellijk zult hebben opgemerkt, eenzijdig is. Door aan te houden doorkruist het oppervlak zichzelf en de verzameling van zelfdoorsnijding vult zich, "rondborstig", aan met een kromme in de vorm van een 8. Daarbij ontstaat een drievoudig punt T.
Het oppervlak is begrijpelijker in zijn polyedrische vorm en, onderaan, hebben we bepaalde elementen vergroot om te tonen wat ons ertoe brengt dit object om te vormen tot het Romeinse oppervlak van Steinder (zie de virtuele realiteit), waarvan de eenvoudigste polyedrische vorm erin bestaat vier kubussen samen te voegen (hier ziet men er slechts drie).
Plaat 5: het polyedrische links, het rondborstige rechts. De pijl volgt een doorgang die men gaat "samenknijpen". Onderaan het begin van het samenknijpen.
Plaat 6: het samenknijpen wordt uitgevoerd door een singulier punt B te creëren. In feite, aangezien men aan beide zijden knijpt, om tijd te winnen, vormen zich twee singuliere punten S1 en S1 en vervolgens twee paren cuspidale punten. Daar, zonder karton, schaar en plakband, bent u er slecht aan toe.
Plaat 7: men heeft eenvoudigweg de verschillende cuspidale punten laten migreren. Als het punt C2 "vanzelfsprekend" is, zult u wat meer moeite hebben om de punten C3 en C4 als cuspidale punten te identificeren. Ze zijn echter aanwezig aan het uiteinde van een lijn van zelfdoorsnijding. Boven het punt C3 bevindt zich eenvoudigweg wat ik een "posicoin" heb genoemd, een concentratiepunt van positieve kromming (een concentratiepunt van negatieve kromming is een "negacoin"). Door dit object een klein beetje te vervormen, komt men uit op een polyedrische vorm van het Romeinse oppervlak van Steiner (oppervlak van de 4e graad, door Steiner in Rome uitgevonden. Zie de presentatie ervan in virtuele realiteit).
Dus, de kunstgreep is gelukt. Er bestaan verschillende soorten oppervlakken, naargelang de regels die men zich oplegt. Oppervlakken die zichzelf niet doorsnijden, worden inbeddingen genoemd (van de sfeer, van de torus in R3). Wanneer ze zich doorsnijden maar het raakvlak continu varieert, noemt men ze immersies. Voorbeeld: de fles van Klein in haar klassieke voorstelling. Er bestaat in R3 geen voorstelling van de fles van Klein in de vorm van een inbedding. Ze doorsnijdt zich noodzakelijkerwijs zelf. Immersies bezitten verzamelingen van zelfdoorsnijding vrij van cuspidale punten. Deze krommen zijn continu maar kunnen elkaar kruisen waar zich dubbele of drievoudige punten bevinden. Opmerking: de sfeer kan zich voordoen in de vorm van een immersie, door haar eenvoudigweg zichzelf te laten doorsnijden. Zo slaagt men er overigens in haar binnenstebuiten te keren (A. Phillips, 1967, met als centrale stap de tweebladige bedekking van een Boy-oppervlak; B. Morin en J.P. Petit, 1979 met als centraal model het model met vier oren van Morin, waarvan hierna een polyedrische voorstelling die ik een tiental jaar geleden heb uitgevonden.
Plan voor de montage van dit object met behulp van een uitsnijding
Als men de spelregel uitbreidt door te veronderstellen dat deze objecten cuspidale punten bezitten, verkrijgt men submersies (de Cross Cap, het Romeinse oppervlak van Steiner). Ik weet niet of dat het juiste woord is, maar aangezien ik geen enkele wiskundige heb gevonden die mij kon verhelderen, vond ik het leuk er voorlopig een te bedenken, totdat een deskundige meetkundige zich aandient. Zo zouden de Cross Cap en het Romeinse oppervlak van Steiner submersies van het "projectieve vlak" zijn.
Om u alles te zeggen: na mijn tegenslagen op het gebied van MHD gedurende vijfentwintig jaar was ik aan dit werk begonnen omdat het mij zo ver mogelijk van elke militaire toepassing leek te liggen. Maar, zoals mijn oude vriend Mihn opmerkte, zou de term submersie verwarring kunnen scheppen en de Marine Nationale kunnen laten vermoeden dat ik via dit onderzoek probeer een of andere doorbraak op het gebied van onderzeese voortstuwing te verbergen.
De regel van "creatie-decreatie" van paren cuspidale punten maakt het mogelijk van de ene submersie van een object naar een andere over te gaan, en dat is precies wat we zojuist hebben gedaan door aan te tonen dat de Cross Cap en het Romeinse oppervlak van Steiner twee submersies waren van eenzelfde object, het projectieve vlak genaamd. Zoek niet hoe een "projectief vlak" eruitziet. Dit object kan men alleen vatten via zijn verschillende voorstellingen. Wat het woord projectief vlak betreft: dat is slechts een van de duizend andere door wiskundigen uitgevonden om hen die hun gesloten kring willen binnendringen, op een dwaalspoor te brengen. De Larousse zal u in de wiskunde van geen enkel nut zijn.
Dan rest ons nog over te gaan tot het Boy-oppervlak, dat een immersie van het projectieve vlak is
Terug naar de inhoudsopgave "Omvorming van een Cross Cap tot Boy"
Terug naar Nieuwigheden Terug naar Gids Terug naar Startpagina
Aantal bezoeken sinds 25 oktober 2003: