Hoe je een crosscap kunt transformeren in een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze) via het Romeinse oppervlak van Steiner.
27 september 2003
pagina 4
Vervolgens wordt het model onder een andere hoek gepresenteerd:
Plaat 14: Dezelfde bewerking wordt opnieuw uitgevoerd door het derde "oor" van de zelfdoorsnijdingskromme te creëren. In polyedrische vorm heeft deze de vorm van drie vierkanten met een gemeenschappelijk hoekpunt: het drievoudige punt T.
Plaat 15: door het object te draaien vindt u de polyedrische versie terug van het Boy-oppervlak dat ik had bedacht en gepresenteerd in de Topologicon (waarin een uitsnijpatroon te vinden is om het te construeren).
Laatste plaat: ik heb geprobeerd het Steiner-oppervlak (van de vierde graad, terwijl de Boy van de zesde is) af te beelden terwijl het zich verwringt en verandert in een Boy-oppervlak.
Men ziet dat er in "rondborstige" vorm een flinke gewoonte nodig is om het object te begrijpen. Ons oog voelt zich zeer onbehaaglijk bij het begrijpen van een object waarbij, op éénzelfde gezichtslijn, meer dan twee bladen samenvallen. Vandaar het nut van het polyedrische, dat voor Jan en alleman transformaties binnen bereik brengt die in de meetkunde als verfijnd gelden, voor zover mensen de moeite nemen de modellen zelf te construeren. Terloops merkt men op dat men, afhankelijk van de gekozen paren cuspidale punten, een "rechtse" of "linkse" Boy krijgt (volstrekt willekeurige woorden). Het projectieve vlak dompelt zich onder volgens twee "enantiomorfe", spiegelbeeldige representaties. Men ziet dat men van een rechtse Boy naar een linkse Boy kan overgaan via een "centraal" model, namelijk het Romeinse oppervlak van Steiner.
Het zou ongetwijfeld sympathiek zijn als dergelijke tekeningen in Pour la Science of La Recherche werden gepubliceerd. Maar sinds twintig jaar ben ik in die tijdschriften "verboden te publiceren" wegens ovniësisch deviationisme. Dank aan de heren Hervé This en Philippe Boulanger. Ik tel niet meer de artikelen van dit soort die ik naar die tijdschriften heb gestuurd en die mij beleefd zijn terugbezorgd. Uiteindelijk berust men in zijn status van geëxcommuniceerde.
Ter anekdote: in Frankrijk bestaat een "prix d'Alembert" bedoeld om auteurs van populariserende wiskundeboeken te bekronen. Het verhaal werd mij verteld door een lid van de commissie die moest bepalen aan wie de prijs toekwam (er hangt toch enige cent aan vast). Dialoog:
-
Maar zeg, zouden we de prijs niet aan Petit kunnen toekennen? Hij heeft opmerkelijke werken gemaakt zoals de Géométricon, het Zwarte Gat en de Topologicon.
-
Ja, maar hij heeft niet alleen die albums gemaakt.
-
Waar doelt u op?
-
Hij heeft ook De Muur van de Stilte geschreven.
-
Ah, in dat geval....
Inderdaad, De Muur van de Stilte, verschenen in 83, is een album gewijd aan de MHD. En zoals iedereen weet heeft deze zwavelachtige wetenschap de deugd, of de boosaardigheid, vliegende schotels in staat te stellen zich met supersonische snelheid voort te bewegen zonder een knal te veroorzaken.
Verberg deze wetenschap, want ik zou haar niet kunnen zien
Ik heb in mijn paperassen een prachtige versie van het "omkeren van de kubus" met een schitterend centraal model, dat niet de polyedrische versie van de Morin-variant is. Alles van mijn eigen hand. Een dezer dagen.....
22 oktober 2003: Men verdringt zich niet op deze pagina's, als ik de tellerstand mag geloven. Op maandag 13 oktober 2003 heb ik op uitnodiging van Trotman een seminar gegeven aan het CMI (Centre de mathématiques et d'informatique van Château-Gombert-Marseille). Bij die gelegenheid kon ik een verzameling van een dertigtal kartonnen modellen opstellen, waarvan u binnenkort als eerste de primeur krijgt, daar deze door Christophe Tardy zijn gefotografeerd.
Wanneer men een seminar geeft, ontstaat er een sfeer. Op de volgende foto drukt een meetkundige zijn verbijstering uit.
Op de achtergrond een deel van de tentoongestelde modellen. Op een gegeven moment stelde ik de vraag:
- Wie heeft er al eens een Romeins oppervlak van Steiner gezien? Steek uw hand op.
Niemand had er ooit een gezien. Ik achtte het dus nuttig het object, in virtuele realiteit, te presenteren op de laptop die ik had meegebracht, een object verwezenlijkt met medewerking van Christophe Tardy, ingenieur, en van Frédéric Descamp, van het Institut Laue Langevin van Grenoble (ILL). Zichtbaar verbluft deze presentatie het publiek, dat er weinig aan gewend is wiskundige oppervlakken naar believen te zien rondtollen.
Twee kartonnen panelen, zichtbaar op de voorgrond, hadden het mogelijk gemaakt de reeks modellen in hun logische volgorde te presenteren. De "groene en gele" modellen illustreren, in polyedrische vorm, het essentiële werktuig voor het scheppen-vernietigen van een paar cuspidale punten. Het verst verwijderde witte object is een polyedrische versie van de Cross Cap, die eerst verandert in een polyedrische versie van het Romeinse oppervlak van Steiner, een meter verder, en vervolgens, naar keuze, in een "rechtse" of "linkse" Boy.
De analyse van de maquettes ontlokt verschillende opmerkingen in het publiek. Een van de meetkundigen vraagt:
- Als men, door de maquettes in deze richting te volgen, van de Cross Cap naar de Boy kan overgaan, lijkt het erop dat men omgekeerd een Boy in een Cross Cap moet kunnen transformeren.
Ik antwoord bevestigend. Bemoedigd voegt mijn gesprekspartner toe:
- Als men, eenmaal het stadium van het Romeinse oppervlak van Steiner bereikt, stopt, wordt het dan mogelijk om weer naar een spiegelbeeldig Boy-oppervlak te gaan.
Ik bevestig een tweede keer. Maar helaas zal niemand zich aanbieden om opheldering te geven over deze vreemde wereld waarin men inbeddingen van gesloten oppervlakken voorziet van cuspidale punten, die per paar worden gecreëerd of geannihileerd, het geheel een soort uitbreiding van de wereld der inbeddingen vormend. Het woord "submersies" lijkt mij wel passend. Als een lezer opheldering vindt, is die welkom.
Kromming geconcentreerd in een cuspidal punt
Men zal haar berekenen door de hoeken aan de top te sommeren en deze som te vergelijken met de euclidische som: 2 π.
Links boven is een van de talrijke polyedrische voorstellingen van het cuspidale punt weergegeven. Het "demonteren" van het object (rechts) leidt tot een som die de euclidische som 2 π met een waarde 2 α overschrijdt. Daaruit leidt men af dat de hoekkromming geconcentreerd in de omgeving van dit punt C gelijk is aan - 2 α. Als de hoek α gelijk is aan π/2, dan bedraagt de negatieve kromming c (figuur links onder). In feite kan de kromming geconcentreerd in een cuspidal punt een oneindig aantal waarden aannemen. Rechts onder accentueert men de hoeksom en wordt de kromming dan < 2 α. Men accentueert de negatieve kromming.
Door omgekeerd te werk te gaan kan men uitkomen op een nogal verrassende situatie: bewerkstelligen dat de (hoek)kromming geconcentreerd in C ... nul is:
Men kan nu uitgaan van een polyedrische voorstelling van de Crosscap waarin twee cuspidale punten voorkomen die elk overeenkomen met een negatieve kromming gelijk aan - π:
Er zijn acht "posicoins" die overeenkomen met een waarde + π/2. Voeg daar vier andere "posicoins" met kromming + π/4 aan toe en vier "negacoins" met kromming - π/4
Plus de twee cuspidale punten met kromming - π.
Totaal: 2 π
Door deze totale kromming te delen door 2 π vindt men de Euler-Poincaré-karakteristiek terug van alle voorstellingen van het projectieve vlak (zoals het Boy-oppervlak).
Tijdens mijn lezing heb ik de kunst en de wijze besproken om de twee cuspidale punten van een Cross Cap te verwisselen, met gebruik van het omkeren van de bol. Ik weet niet meer of ik dat ergens op mijn site heb gezet. Het is zo'n janboel. Ik zal moeten zoeken, anders zet ik het ergens neer. Het is nogal amusant. Hoe dan ook, deze prestatie beviel een van de aanwezigen tijdens het seminar allerminst.
- Ik zie niet in waarom Petit zo'n tuig gebruikt om de symmetrie aan te tonen die de twee cuspidale punten van een Cross Cap verbindt. Het kan veel eenvoudiger.
En hij tekende op het bord het beeld van een bol die door twee latjes wordt platgedrukt, die men tegen elkaar aan brengt en die inderdaad een zelfdoorsnijdingsverzameling oplevert in de vorm van een segment begrensd door twee cuspidale punten, zoals bij de Cross Cap het geval is. Helaas, en onze man merkte het op, dat is geen Cross Cap.
- Verdraaid, maar wat is het dan? Vroeg iemand.
Het is gewoon een bol, voorzien van twee cuspidale punten. Als men die laat samenvloeien verkrijgt men een zelfdoorsnijdingslijn die dan een gewone cirkel wordt. En links onder (in doorsnede) verkrijgt men een inbedding van de bol die men slechts in haar inbedding hoeft om te zetten. Bovendien kan men overgaan tot een polyedrische voorstelling van dit oppervlak:
Het is tweezijdig en de kromming is 2 π.
Men kan dus aardig wat plezier beleven met deze "submersies". Laten we een inbedding van de torus nemen die erin bestaat het teken "oneindig" of een "acht" rond een as te laten draaien.
De techniek van het samenvloeien van cuspidale punten zal ons zeer snel tot de standaardinbedding van de torus brengen, zoals in de reeks tekeningen wordt aangegeven.
Maar de dingen blijken soms niet zo gemakkelijk en vanzelfsprekend. Ik neem bijvoorbeeld een bol die ik platdruk tussen twee segmenten die ditmaal korter zijn dan de diameter. Men verkrijgt weer twee cuspidale punten.
Aangezien men er een Möbiusband in kan inschrijven, is dit oppervlak eenzijdig. De polyedrische voorstelling ervan is weergegeven, die het mogelijk maakt de totale kromming te berekenen. Men vindt dan nul. Als ik mij niet vergis, zou het dan een Klein-fles zijn. Men kent in het algemeen slechts de meest klassieke inbedding, waarbij de zelfdoorsnijdingslijn een gewone cirkel is. Maar er zijn er andere, zoals deze. Ik geef toe dat ik nog niet heb gevonden hoe het bovenstaande object in een inbedding van de Klein-fles om te zetten. Overigens weet ik niet of de verschillende inbeddingen tot dezelfde homotopiegroep behoren (de bol heeft er slechts één). A priori niet, aangezien de torus op vier verschillende manieren kan worden ingebed, die men niet door een reguliere homotopie met elkaar kan verbinden. Intussen heb ik mij vermaakt door dit oppervlak te transformeren door twee bijkomende cuspidale punten te creëren, en men verkrijgt dan twee Cross Caps verbonden door een buis. Door ze uiteen te nemen vindt men een Euler-Poincaré-karakteristiek gelijk aan nul terug.
Dit "rare oppervlak" zou zich moeten kunnen transformeren in een van de inbeddingen van de Klein-fles. Maar welke? Hoe dan ook, hier is er een verkregen door de "Acht" rond een as te laten draaien en er bovendien een halve slag mee te laten uitvoeren:
Terug naar de inhoudsopgave "Transformatie van een Cross Cap in Boy"
Terug naar Nieuwtjes Terug naar Gids Terug naar Startpagina
Aantal bezoeken sinds 6 oktober 2003: