Het centrale model van het omkeren van de kubus
31 dec 2001
Jullie hebben allemaal onvermoeibaar een vreemd object zien draaien aan de linkerkant van de startpagina van de site. Waar gaat het over?
Op een dag, wanneer ik tijd heb, zal ik op de site een beschrijving installeren van het omkeren van de sfeer, zoals ik dat had geïllustreerd in het januarinummer van 1979 van Pour la science, dat wil zeggen ... 22 jaar geleden. Dat alles zou natuurlijk veel details en inleiding vereisen. Een sfeer omkeren, wat betekent dat? Een sfeer heeft niet dezelfde betekenis voor de man in de straat en de wiskundige-geometer. Voor de man in de straat wordt die gedefinieerd als, in een driedimensionale ruimte, de meetkundige plaats van de punten op een afstand R van een vast punt O daarvan. Een geometer zal een object dat overeenkomt met een "vervormde sfeer", een soort "aardappel", blijven aanduiden als "sfeer". Om al deze concepten met meer precisie te vatten, schaf u de cd Lanturlu aan met het stripverhaal "Le Topologicon". Maar de wiskundige gaat zelfs verder. Wanneer een oppervlak "regelmatig" wordt genoemd, kan men in elk van zijn punten een raakvlak definiëren. Dat maakt het al mogelijk om een oneindigheid aan vervormingen van de "uitgangssfeer" in een oneindigheid aan aardappelen te overwegen, waarbij bovendien de oppervlakte van het genoemde oppervlak willekeurig kan zijn. Dit gezegd zijnde, zal in een "fysisch universum" de persoon die deze sfeer vervormt, stuiten op de onmogelijkheid om haar zichzelf te laten doorkruisen. Als deze doorkruisingen of zelfs deze contacten verboden zijn, zal men spreken van inbeddingen van de sfeer S2. Maar een wiskundige geeft zichzelf alle rechten. Een sfeer is voor hem een "virtueel" object waarbij doorkruisingen van bladen mogelijk worden. De reeks tekeningen hierna toont een sfeer die zichzelf heeft "doorkruist". Men noemt deze voorstelling van de sfeer dan een immersie.
Een immersie bezit een verzameling van zelfdoorsnijding of self-intersection (hier een eenvoudige cirkelvormige kromme). Het raakvlak moet continu variëren. Dit gezegd zijnde, wanneer men de tekeningen hierboven bekijkt, ziet men dat de bewerking wel degelijk een deel (voorgesteld door de groene kleur) van het inwendige van de sfeer naar het uitwendige draait. Om een dergelijke omkering te voltooien, zou men deze soort evenaarsrol moeten platdrukken. Dat lijkt a priori problematisch. Deze platdrukking zou de continuïteit van het raakvlak verbreken. De bewerking zou dus een stap omvatten die geen immersie zou zijn.
Op een dag toonde een Amerikaanse wiskundige, Stephen Smale, aan dat "de sfeer S2 slechts één enkele klasse van immersie bezat". Het gevolg van deze sibillijnse zin was dat men een opeenvolging van immersies van de sfeer moest kunnen aaneenschakelen om van de "standaardsfeer" naar haar "antipodale" voorstelling te gaan, dat wil zeggen waarvan alle punten door hun antipode zouden zijn vervangen. Kortom ... een omgekeerde sfeer, voor- en achterkant. Raoul Bott was de baas van Smale. Hoezeer de demonstratie van laatstgenoemde, puur formeel, ook onfeilbaar leek, niemand zag hoe men de bewerking moest uitvoeren. Bott zei voortdurend tegen Smale "toon me hoe u van plan bent te werk te gaan", waarop Smale, met zijn beroemde tong op de lip, antwoordde "ik heb er geen flauw idee van". Smale kreeg later de Fields-medaille, het equivalent van de Nobelprijs, maar dan voor wiskunde. Terloops zult u zich misschien afvragen waarom Nobel nooit een Nobelprijs voor wiskunde had willen instellen. Het antwoord is eenvoudig: zijn vrouw is met een wiskundige ervandoor gegaan.
De zaken bleven zo'n hele tijd onveranderd, totdat een Amerikaanse wiskundige genaamd Anthony Phillips in 1967 in Scientific American een eerste versie van deze omkering publiceerde, afschuwelijk ingewikkeld. De tweede werd begin jaren zeventig uitgevonden door de Franse (blinde) wiskundige Bernard Morin. Ik was de eerste om deze reeks transformaties te tekenen, die, zoals ik al zei, het onderwerp zal vormen van een volgend, overigens vrij omvangrijk, artikel op de site. Hoe dan ook, dit brengt ons tot een bijkomende conclusie. Oppervlakken kunnen het voorwerp zijn van polyedrische voorstellingen. Een kubus of een tetraëder kunnen worden beschouwd als polyedrische voorstellingen van de sfeer, voor zover deze objecten dezelfde topologie hebben. Raadpleeg hierover mijn strip Le Topologicon. Bovendien zal men begrijpen dat als het mogelijk is een sfeer om te keren, het eveneens mogelijk is een kubus om te keren. De door Bernard Morin uitgevonden transformatie (die ik heb geïllustreerd in het artikel van januari 1979 van Pour la Science) verloopt via een centraal model. Er bestaat een symmetrie in deze sequentie. Dat is wat men "het centrale model met vier oren" noemt. Ook hier loop ik vooruit. Maar zoals de sfeer zich leent tot polyedrische voorstellingen, geldt hetzelfde voor de opeenvolgende stappen van deze transformaties. Het object dat u op mijn startpagina ziet draaien, is aldus de polyedrische versie van het centrale model van het omkeren van de sfeer, een model dat ik een tiental jaar geleden heb uitgevonden. Het belang van deze polyedrische modellen is dat men ze met vlakke oppervlakken kan bouwen. Men kan ze zelfs volgens uitsneden schikken. Werp een blik op de tekening hierna (ik dank terloops mijn vriend Christophe Tardy, die de elementen ervan correct bemaat heeft geproduceerd).
Dit is een tekening die in klein formaat uit uw printer zou komen, onbruikbaar.
Om deze figuur op een A4-blad af te drukken
Men moet er dan vier fotokopieën van maken op stevig A4-papier, twee vellen van de ene kleur, twee vellen van een andere
Dit is een uitsnede waarvan u hier een algemeen overzicht hebt. Maar om ze af te drukken, kunt u beter naar de pagina uitsnede gaan. Druk die af. Ga vervolgens, gewapend met dit op het normale papier van uw printer afgedrukte exemplaar, naar een kopieerapparaat en maak vier identieke kopieën van deze tekening, twee op twee vellen groen bristol en twee op gele. U zult in staat zijn om met behulp van deze uitsnede het centrale model van het omkeren van de kubus te bouwen.
U hebt op deze uitgeknipte elementen paren van letters: a , b c , d , e , f enz.... U hoeft alleen de vouwen uit te voeren door dezelfde letters samen te brengen, en vervolgens deze facetten met transparant plakband aan elkaar te zetten. De volgende tekeningen tonen hoe men een van de vier elementen monteert. Hier is eerst hoe men het vouwen van een van de vier elementen moet beginnen:
Hier zijn twee van deze vier elementen, onder verschillende hoeken gezien.
Deze worden vervolgens geschikt om een object te geven met een symmetrie van orde vier, waarbij groene en gele elementen elkaar afwisselen. Om dit in 3d te zien, werp een blik op de realisaties van de heer Tardy, in "virtual reality". Het volledig gemonteerde centrale model wordt in deze sectie ook in "vrml" geproduceerd. Hier is dit object, onder verschillende hoeken gezien:
Men kan niet zeggen dat het ene zicht overeenkomt met de "bovenkant" en het andere met de "onderkant", aangezien deze benamingen volkomen willekeurig zouden zijn. Op het linkerzicht komt het "centrale" punt overeen met het "dubbele punt" (waar twee bladen elkaar kruisen) van het centrale model van Morin, terwijl het centrale punt rechts gelijkstaat aan het "viervoudige punt" van datzelfde model (waar vier bladen elkaar kruisen). Ik heb het object zorgvuldig moeten oriënteren, opdat de linkerfiguur niet aan een hakenkruis zou doen denken. Anders had deze polyedrische voorstelling van het centrale model van Morin, architecturaal gesproken, een zeer goed ontwerp kunnen vormen voor een huis van de Nationaal-Socialistische cultuur.
Laatste zicht:
Een laatste opmerking: er bestaat geen goede polyedrische voorstelling van het omkeren van de sfeer (alias het omkeren van de kubus). Onder "goed" moet men een voldoende expliciete reeks modellen verstaan die relatief gemakkelijk als uitsneden kunnen worden gemonteerd, zoals het bovenstaande model. Een onderzoek in die zin zou moeten worden gevoerd, wat binnen ieders bereik ligt, eventueel van een niet-wiskundige, van een beeldend kunstenaar bijvoorbeeld. Meer dan twintig jaar geleden was ik leraar beeldhouwkunst aan de Ecole des Beaux-Arts van Aix en Provence, in de tijd dat die nog werd geleid door mijn uitstekende vriend Jacques Boullier. In die lokalen ontstond de eerste meridionale voorstelling van het oppervlak van Boy met behulp van ellipsen, de sleutel tot de constructie van de eerste impliciete vergelijking door Apéry. Ik moet zeggen dat ik in die tijd altijd verrast was door de geometrische verbeelding van de kunststudenten, die zeer vaak die ... van de geometers overtrof.
Teller geïnitialiseerd op 31 december 2001. Aantal verbindingen:
Terug naar de inhoudstafel wiskunde Virtuele realiteit Terug naar Nieuwigheden