De quaternionen

De sfeer S3 en de quaternionen

BK

Als de sfeer S3 meer op de cirkel S1 lijkt dan op de sfeer S2, komt dat doordat beide overeenkomen met de groep van eenheden van een getallenlichaam: het lichaam van de complexe getallen voor S1 en het lichaam van de quaternionen voor S3. Maar dit werkt niet met S2, omdat R3 geen getallenlichaam is.

Om deze structuren te begrijpen, zal ik eraan herinneren hoe men van R2 een getallenlichaam maakt door het in te bedden in de algebra van vierkante 2×2-matrices met reële coëfficiënten. Vervolgens zal men zien dat een gelijkaardige constructie toelaat om R4 van een lichaamsstructuur te voorzien (het lichaam van de quaternionen) door het in te bedden in de algebra van vierkante 2×2-matrices met complexe coëfficiënten.

1. Het lichaam van de complexe getallen

Zij M2(R) de ruimte van de 2×2-matrices met reële coëfficiënten. Het is de ruimte van de matrices

ö ÷ ÷ ø | d |
|---|

waarbij a,b,c,d reële getallen zijn. Men weet:

1. twee matrices van M2(R) optellen,

2. een matrix van M2(R) met een reëel getal vermenigvuldigen,

3. twee matrices van M2(R) met elkaar vermenigvuldigen.

Om deze drie eigenschappen samen te vatten, zegt men dat M2(R) een algebra is. Ze is van dimensie 4, want er zijn 4 parameters nodig om ze te beschrijven.

Aan elke vector (x,y) van het vlak R2 kan men de vierkante matrix met reële coëfficiënten toevoegen

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Men merkt dan op dat

1. de som van 2 zulke matrices nog steeds van dezelfde vorm is

(y

1

• y

2

)

ö ÷ ÷ ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

2. het product van een dergelijke matrix z met een reëel getal l nog steeds van dit type is

ö ÷ ÷ ø ,| l | x |
|---|---|

3. het matrixproduct van 2 zulke matrices dat ook is

x

1

x

2

y

1

y

2

y

1

x

2

• x

1

y

2

• (y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x

1

x

2

y

1

y

2

x

1

x

2

y

1

y

2

ö ÷ ÷ ø .

x

1

x

2

y

1

y

2

Men heeft dus een deelruimte van M2(R) geconstrueerd, die we C zullen noemen, stabiel onder optelling, vermenigvuldiging met een scalair en matrixvermenigvuldiging. Men zegt dat C een deelalgebra van M2(R) is. Ze is van dimensie 2. Men kan een belangrijke eigenschap van deze algebra opmerken: ze is commutatief

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

De determinant van een matrix z Î C schrijft men als

ê ê ê ê = x2 + y2 ,| x |
|---|

bijgevolg is elke niet-nulle matrix z in C inverteerbaar en haar inverse

--- ****

æ ç ç è

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

behoort eveneens tot C. Men zegt dat C een lichaam is. Men heeft zojuist alleen maar het lichaam van de complexe getallen herontdekt.

De matrix die overeenkomt met de vector (1,0), is de eenheidsmatrix ****

ö ÷ ÷ ø | 1 |
|---|

De matrix die overeenkomt met de vector (0,1), noteren we i ****

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Ze bezit de opmerkelijke eigenschap

i

2

=

1

i

2

=

1

Met deze notaties ziet men dat elk complex getal op unieke wijze geschreven wordt als

waarbij x en y reële getallen zijn.

Het conjugaat van een element z in C definieert men als de getransponeerde van de matrix z

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

In het lichaam van de complexe getallen zijn er twee opmerkelijke deelruimten. Enerzijds zijn er de veelvouden van de eenheidsmatrix 1, dat wil zeggen de verzameling van de matrices van de vorm

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

die stabiel is onder optelling en vermenigvuldiging. Het is de reële ruimte, identiek aan het lichaam van de reële getallen en die als een deellichaam van C verschijnt. Ze wordt eveneens gedefinieerd door de vergelijking

| z = | - | z |
|---|

Er is ook de deelruimte van de matrices z met spoor nul (het spoor van een matrix is de som van haar diagonaalelementen)

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Men noemt ze de imaginaire ruimte. Ze is stabiel onder optelling maar niet onder vermenigvuldiging. Men merkt op dat het eveneens de ruimte is van de 2×2-matrices die antisymmetrisch zijn.

Met deze definities laat het gewone scalair product van twee vectoren van R2 zich gemakkelijk berekenen. Als z1 de matrix is die overeenkomt met (x1,y1) en z2 de matrix die overeenkomt met (x2,y2), dan is --- ****

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

De norm van een vector (x,y) die overeenkomt met z schrijft men als

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

Men noemt ze eveneens de modulus of de norm van het complexe getal z en men noteert ze | z|. Men heeft uiteraard | z1z2| = | z1|| z2|.

De ondergroep van de eenheden van het lichaam C, die men U(1) noteert, is de verzameling van de elementen z van C die voldoen aan

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

Deze verzameling is stabiel onder vermenigvuldiging. Het element 1 behoort tot U(1). Elk element van U(1) is inverteerbaar en zijn inverse behoort nog tot U(1). Men zegt dat U(1) een groep is. Let op: de som van twee elementen van U(1) behoort in het algemeen niet tot U(1). De vorige constructie heeft dus de cirkel S1 doen verschijnen als een groep, de groep van de eenheidselementen van C. De raaklijn aan de cirkel S1 in het punt 1, wat men de Lie-algebra van de groep U(1) noemt, is de imaginaire rechte gedefinieerd door

2 Het lichaam van de quaternionen

Definitie.

Laten we de vorige constructie hernemen om R4 van een lichaamsstructuur te voorzien. Zij M2(C) de ruimte van de 2×2-matrices met complexe coëfficiënten. Aan elk paar complexe getallen (a,b) kan men de vierkante matrix met complexe coëfficiënten toevoegen

| - | a |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | - | a |
|---|

| - | a |
|---|

Men merkt dan op dat:

1. de som van 2 zulke matrices nog steeds van dezelfde vorm is

(b

1

• b

2

)

a

1

a

2

a

1

a

2

ö ÷ ÷ ÷ ø ,

a

1

a

2

2. het product van een dergelijke matrix q met een reëel getal l nog steeds van dit type is

ö ÷ ÷ ÷ ø ,| l | - | a |
|---|

| l | - | a |
|---|

3. het matrixproduct van 2 zulke matrices dat ook is

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a

1

b

2

• b

1

a

2

• a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö ÷ ÷ ÷ ø .

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

Men heeft dus een deelalgebra van M2(C) geconstrueerd die we K zullen noemen. Maar in tegenstelling tot C is deze algebra niet commutatief. Zo heeft men bijvoorbeeld

| - | i |
|---|

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

terwijl

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

| - | i |
|---|

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

De determinant van een matrix q Î K schrijft men als

| - | a |
|---|

ê ê ê ê ê = | a|2 + | b|2 ,| - | a |
|---|

| - | a |
|---|

bijgevolg is elke niet-nulle matrix q in K inverteerbaar en haar inverse

--- ****

æ ç ç ç è

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

behoort eveneens tot K. Men noemt K het lichaam van de quaternionen. Het is eveneens een reële vectorruimte van dimensie 4. Men kan elk quaternion q schrijven in de vorm

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

waarbij

ö ÷ ÷ ø I = æ ç ç è

| - | i |
|---|

ö ÷ ÷ ø J = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø K = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Men verifieert zonder moeite de volgende relaties:

I2 = J2 = K2 = - 1,

IJ = - JI = K , ** JK** = - KJ = I , KI = - IK = J.

Het gewone scalair product van twee vectoren in R4 voorgesteld door de quaternionen

q

1

= t

1

1

• x

1

I

• y

1

J

• z

1

K

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

en

q

2

= t

2

1

• x

2

I

• y

2

J

• z

2

K

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

schrijft men als

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

De norm van een vector (t,x,y,z) voorgesteld door q schrijft men als

**** --- ****

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

Men noemt ze eveneens de modulus of de norm van het quaternion q en men noteert ze | q|. Men heeft uiteraard | q1q2| = | q1|| q2|.

Reële en imaginaire quaternionen.

Het conjugaat van een element q in K definieert men als de getransponeerde van de geconjugeerde matrix van q

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

Een quaternion q wordt reëel genoemd als het van de vorm is

ö ÷ ÷ ø | t |
|---|

waarbij t een reëel getal is. Dit laat toe R te identificeren met een deellichaam van K. De deelruimte van de reële quaternionen wordt gedefinieerd door de vergelijking

| q = | - | q |
|---|

Men definieert eveneens de ruimte van de imaginaire quaternionen H door de vergelijking

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Het is een ruimte van dimensie 3, voortgebracht door I,J,K. Ze wordt eveneens gedefinieerd als de ruimte van de matrices M van M2(C), antihermitisch

M = t`M = - M*

(M* is de getransponeerde van de matrix van de complex geconjugeerde elementen) met spoor nul

| Tr | (M) =0 |
|---|

Opmerking 1: * In het geval van het lichaam C had men vastgesteld dat de imaginaire ruimte bestond uit de reële antisymmetrische 2×2-matrices. Maar het spoor van een antisymmetrische matrix *

tM = - M * is noodzakelijk nul, wat niet het geval is voor een antihermitische matrix *

M = t`M = - M .*

*De groep van de eenheden. * * *

De ondergroep van de eenheden van het lichaam K, die men SU(2) noteert, is de verzameling van de elementen q van K die voldoen aan

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Het is de verzameling van de punten die tot de sfeer S3 behoren, die dus aldus verschijnt, voorzien van een groepsstructuur, de groep SU(2). De raakruimte (van dimensie 3) aan de sfeer S3, die men de Lie-algebra van de groep SU(2) noemt, is de imaginaire ruimte gedefinieerd door

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Men zal kunnen verifiëren dat de Lie-haak van twee elementen van H, X en Y

| [X,Y] = XY | - | YX |
|---|

nog steeds tot H behoort.

De raakruimte aan de sfeer S3 in een willekeurig punt q verkrijgt men door de elementen van de imaginaire ruimte H langs links met q te vermenigvuldigen

T

q

S

3

= q H.

T

q

S

3

= q H.

Elke geodeet van de sfeer S3 vanuit het punt 1 in de richting X (waarbij X tot H behoort en | X| = 1) wordt gedefinieerd door

| q(s) = exp(sX) = cos(s) | 1 | + sin(s) X |
|---|

Terug naar de startpagina

Aantal bezoeken sinds 14 mei 2004 :