Wiskundige natuurkunde en meetkunde

Natuurkunde en Meetkunde

2 november 2004

De wiskundige natuurkunde, waarvan een van de pioniers de wiskundige Jean-Marie Souriau was, gaat via de meetkunde. In deze aanpak worden grootheden uit de natuurkunde, zoals energie, massa, impuls, spin en elektrische lading, tot zuiver meetkundige grootheden, dankzij een instrument: de theorie van groepen. Wat is er nodig om je in dit universum, of deze manier van het universum ervaren, te begeven? Niet veel: gewoon kunnen rekenen met matrices. Als je die nog niet kent, doe dan de moeite je ermee vertrouwd te maken; het loont de moeite. Als je dit vroeger hebt gezien, veeg dan je kennis even af: ze kunnen je verder helpen en antwoorden geven op vragen zoals:

• Wat is de echte aard van de spin van deeltjes?

• Wat is antimaterie?

Om het pdf-bestand "Natuurkunde en Meetkunde" te downloaden

Coadjoevende actie van de Poincaré-groep op haar momentenruimte

Let op: alleen voor lezers sterk "gericht op wetenschap". Dit is geen popularisering van de wetenschap.

24 oktober 2004

De natuurkunde heeft altijd veel met meetkunde te maken gehad. De wiskundige Jean-Marie Souriau is een van de grondleggers van de wiskundige natuurkunde. Deze gaat via een meetkundige formalisering van de natuurkunde, zeer elegant. Alles is gebaseerd op groepen met reële coëfficiënten, zoals de Lorentz-groep en de Poincaré-groep, die hier worden weergegeven door matrices met reële getallen. In het vervolg gaat alles uit van één enkele matrix G, die verbonden is met de metriek van de Minkowski-ruimte, de ruimte van de speciale relativiteitstheorie. Met behulp van deze matrix definiëren we een eerste groep L, weergegeven door 4x4-matrices. Deze groep werkt op de ruimtetijd, die bestaat uit gebeurtenispunten. Vanaf deze matrices en een "ruimtetijdtranslatievector" C bouwen we een tweede groep, weergegeven door 5x5-matrices, die ook op de ruimtetijd werkt. In deze ruimtetijd beschouwen we "bewegingen". Het concept van baan is armzalig. De beweging van een deeltje moet gekoppeld worden aan grootheden zoals zijn energie E, zijn impuls p. Voor een theoretisch natuurkundige zou een deeltje dat een "materiepunt" is ook een spin moeten hebben. Maar wat is zo’n object? Kan een materiepunt "om zichzelf draaien"?

Souriau introduceerde deze grootheden meetkundig, uitgaande alleen van groepen. Alles is, ik geef het toe, behoorlijk moeilijk. Een groep "werkt". Het begint dus met het concept actie. De groep werkt op bewegingen in de zin dat een element van de Poincaré-groep een beweging omzet in een andere beweging, die zich afspeelt in de ruimte van bewegingen, de ruimtetijd. Een groep "verplaatst". De Euclidische groep bevat bijvoorbeeld translaties en rotaties in een driedimensionale ruimte. Hij laat punten of verzamelingen van punten verplaatsen. Deze gedachte is vrij intuïtief. Wanneer het gaat om de ruimtetijd, "verplaatsen" we "bewegingen". Denk aan twee identieke asbakken op verschillende plaatsen in een driedimensionale ruimte. Er is altijd een element van de Euclidische groep dat, na een translatie en een rotatie, de eerste asbak op de tweede brengt. Dankzij de groep, als je één asbak beschrijft ergens in de ruimte, kun je "alle mogelijke asbakken" construeren, op alle plaatsen in de ruimte en in alle mogelijke oriëntaties.

In de ruimtetijd is het object een "beweging". De bewegingen die worden behandeld door de Poincaré-groep komen overeen met die van een "relativistisch materiepunt". Op dezelfde manier, dankzij de groep, als je één van deze bewegingen kent, ken je ze allemaal. Een deeltje is immers een specifieke beweging van het materiepunt. We kunnen deze manier van het zien van dingen samenvatten met de uitdrukking:

Zeg me hoe je beweegt, dan vertel ik je wie je bent.

Souriau toonde aan dat de ruimte van bewegingen moest worden gekoppeld aan een tweede ruimte, die hij "ruimte van momenten" noemde. Met "moment" bedoelde Souriau de parameters die gekoppeld zijn aan een bepaald deeltje. Wanneer dit deeltje op een bepaalde manier wordt "waargenomen", dat wil zeggen beschreven in een geschikt coördinatenstelsel, komen drie grootheden naar voren:

E, p, s

De energie E, de impuls p en dit mysterieuze object: de spin s. Deze grootheden verschijnen dan als zuiver meetkundige grootheden via de coadjoevende actie van de groep op haar momentenruimte.

Op dit moment spelen astrofysici met een object dat ze "donkere energie" noemen, het enige nieuwe kosmologische ingrediënt dat hen lijkt te kunnen verklaren voor het fenomeen van de herversnelling van het heelal, afgeleid uit waarnemingen van verre supernova’s.

Deze "donkere energie" is ... negatief. We zullen zien dat de hier gepresenteerde aanpak ook leidt tot het bestaan van materiepuntjes met negatieve energie, als een eenvoudige gevolgtrekking uit de eigenschappen van de Poincaré-groep, die in staat is om dergelijke bewegingen te genereren. Voordat we daarop ingaan, zou het noodzakelijk zijn dat de wetenschappelijke lezer dit document leest en er zich in verdiept. Technisch gezien vereist deze lezing niets anders dan kunnen rekenen met matrices. Vijftien jaar geleden was dit niveau van een VWO-5 leerling, maar het lijkt erop dat matrices tegenwoordig niet meer onderwezen worden op dat niveau. Jammer, want het is een essentieel hulpmiddel, maar deze afschaffing komt waarschijnlijk overeen met een "modernisering van het curriculum".

Download dit document in pdf-formaat

Deeltjes met negatieve energie

25 oktober 2004

In de huidige astrofysica richten theoretici hun aandacht op wat zij een "donkere energie" noemen, negatief, en die verantwoordelijk is voor de herversnelling van het heelal, zoals afgeleid uit waarnemingen van verre supernova’s.

De theorie van dynamische groepen in de natuurkunde (de Poincaré-groep) biedt verheldering over dit lastige onderwerp. Nogmaals: hier zijn alleen elementen die toegankelijk zijn voor wetenschappers of lezers sterk "gericht op wetenschap".

Download dit document in pdf-formaat

De elektrische lading: een meetkundig object

9 november 2004

Door gebruik te maken van een uitvinding van de wiskundige Jean-Marie Souriau: de coadjoevende actie van een groep op haar momentenruimte, hebben we herinnerd hoe hij energie, impuls en spin als zuiver meetkundige objecten heeft doen ontstaan. In het vervolg herhalen we de manier waarop hij te werk ging om ook de elektrische lading te laten ontstaan, eveneens als zuiver meetkundig object. Hij voegt een vijfde dimensie toe aan de vierdimensionale ruimtetijd. Deze vijfdimensionale verzameling wordt dan beheerd door een nieuwe dynamische groep met elf dimensies, een niet-triviale uitbreiding van de Poincaré-groep. De toename van het aantal dimensies van de groep gaat gepaard met een toename van het aantal componenten van het moment; deze elfde dimensie wordt dan geïdentificeerd met de elektrische lading q.

Download dit document in pdf-formaat

Terug naar Gids Terug naar de startpagina

Aantal keer dat deze pagina is bekeken sinds 24 oktober 2004: