Maar er bestaan oppervlakken die intrinsiek singulier zijn, met singulariteiten die niet het gevolg zijn van een coördinatenkeuze. Hier is een voorbeeld: de conische singulariteit.
Ruwweg, zoals geformuleerd door Schwarzschild in 1917, vertonen de coördinaten t, r, q, j (tijd, radiale afstand en twee hoeken, equivalent aan azimuth en latitude: 'sferische' coördinaten) een singulariteit op de Schwarzschild-sfeer. Voor een bepaalde waarde Rs van de 'radiale coördinaat' r (verondersteld gemeten vanaf een 'geometrisch centrum') speelt deze metriek ons alle soorten streken. Een van de termen op de sferische coördinaten heeft een niet-nul noemer. Kortom, de metriek is singulier op deze sferische coördinaten. Is dit een intrinsieke singulariteit of een artefact veroorzaakt door een slechte coördinatenkeuze? Dat is de vraag die we onszelf stelden.
Laten we terzijde opmerken dat de 'Schwarzschild-geometrie' een vierdimensionale hypersurface is, wat de zaak nog verdachter maakt.
Kruskal richtte zich op dit punt. Hij construeerde een coördinatentransformatie die, onder andere, een constante waarde voor de lichtsnelheid langs een radiale baan oplevert. Door dit te doen, concentreert hij het singuliere aspect 'in het centrum van het object' in een 'centrale singulariteit'. Psychologisch hebben we het gevoel dat we iets gewonnen hebben. De oplossing wordt dan 'bijna overal regelmatig', een uitdrukking die wiskundigen gebruiken om aan te geven dat een oplossing regelmatig is, vrij van pathologie, behalve in één enkel punt.
— U zult toch niet moeilijk doen vanwege één klein punt, nietwaar...?
Helaas heeft de formulering van Kruskal een ernstige zwakke plek: ze geeft het ruimte van de speciale relativiteitstheorie niet terug als oneindig. Technisch is ze niet 'Lorentz-invariant op oneindig' ('asymptotisch Lorentz-invariant').
Dit is een essentiële vraag in de natuurkunde: bestaan singulariteiten? Verdraagt de Natuur singulariteit? Het antwoord wordt geformuleerd in termen van geloof (net als voor het bestaan of niet-bestaan van oneindigheid, trouwens).
We zochten een nieuwe interpretatie van deze zelfde Schwarzschild-geometrie door te proberen alle singulariteit te elimineren, en we slaagden daarin. Ons antwoord is dus:
— Het singuliere karakter van de Schwarzschild-oplossing is simpelweg het gevolg van een slechte coördinatenkeuze.
Technisch draait alles om de volgende variabele-transformatie:
r = Rs + Log chr
die gelezen wordt als: 'r is gelijk aan Rs plus de logaritme van de hyperbolische cosinus van de variabele r'. Eenvoudig, behalve voor wetenschappers, specialisten of studenten in de hogere wiskunde. Voor degenen die in staat zijn de formule te manipuleren, kan de waarde r niet lager worden dan Rs, zelfs wanneer r alle mogelijke waarden aanneemt van min oneindig tot plus oneindig.
Beschouw een oppervlak dat verkregen wordt door een parabool rond een rechte lijn te draaien, zoals dit:
Deze figuur komt uit het artikel. Het oppervlak is oneindig, net als de parabolische meridiaan die het heeft gegenereerd door rond de aangegeven z-as te draaien. Als we het absoluut moeten voorstellen met zijn coördinaten (r, z, j), kunnen we problemen verwachten wanneer we ons afvragen: 'Hoe is dit oppervlak wanneer r < Rs?'
Een antwoord zal gevonden worden... imaginair, met wortels van negatieve grootheden. Simpelweg omdat we ons dan 'buiten het oppervlak' bevinden.
In de wiskunde wordt dit oppervlak 'niet-simply connected' genoemd, een barbaarse term die simpelweg oppervlakken aanduidt waarop geen gesloten kromme zijn omtrek kan verminderen door langs het oppervlak te glijden tot deze een waarde van nul bereikt.
Dit is mogelijk op een sferische coördinaten, die 'simply connected' is. Maar op het betreffende oppervlak zien we duidelijk dat een gesloten kromme die 'rond de centrale put' loopt, zijn omtrek niet naar nul kan laten tenderen; de limiet is de omtrek van de 'golf-cirkel'. Hetzelfde geldt voor een torus, die ook 'niet-simply connected' is.
We hebben een dergelijk oppervlak gedefinieerd vanuit zijn metriek, wat een uitstekende illustratie van ons onderwerp is. Door de coördinaat r te behouden, lijkt het oppervlak singulier. Door de hierboven beschreven variabele-transformatie te gebruiken, is het niet meer singulier. Wat komt de coördinaat r dan voor? Ze 'doorloopt' simpelweg de parabolische meridiaan, zoals op de figuur getoond, en neemt de waarde nul aan op de golf-cirkel. De helft van het oppervlak correspondeert met positieve r, de andere helft met negatieve r. In het systeem voor het markeren van punten [r, j] is er geen singulariteit meer.
We hebben besloten dit type object een 'torische brug' te noemen, door analogie met de torus.
Het is echter eenvoudig aan te tonen, nog steeds vanuit de metrieken, dat we een object kunnen geven met een 3D-hypersurface die een 'hypertorische brug' heeft. In dat geval is er geen golf-cirkel meer, maar een golf-sfeer. Hetzelfde geldt voor het bovenstaande oppervlak: een golf-cirkel lijkt twee lagen van 2D te verbinden, zodat de golf-sfeer twee '3D-halfruimten' verbindt. Als we in een van deze 3D-halfruimten zijn en we duiken de golf-sfeer in, komen we in de andere halfruimte uit.
Laten we terugkeren naar het 2D-oppervlak dat hierboven getoond is. De volgende figuur laat zien hoe, wanneer we 'cirkels die we geloven concentrisch te zijn' trekken, hun omtrek vermindert, een minimum bereikt, en dan weer toeneemt.
In 3D moeten we ons een sferische coördinaten voorstellen die de golf-sfeer volledig omsluit, en dan een andere binnen deze (we zouden 'voorbij' moeten zeggen wanneer we een bepaalde richting volgen, richting de golf-sfeer). We veronderstellen dat het oppervlak van deze tweede sferische coördinaten kleiner is. Echter, wanneer we de golf-sfeer bereiken, gaat het oppervlak door een minimum en begint dan te groeien... tot oneindig als we de operatie voortzetten.
We hebben 'metrieken' gebouwd van 2D- en 3D-oppervlakken die respectievelijk een 'torische passage' en een 'hypertorische passage' bevatten, en in het tweede geval waren we getroffen door de gelijkenis met de Schwarzschild-metriek, waar we de coördinatentransformatie uitvoerden en het 'niet-simply connected' karakter benadrukten; het 'interieur' van het object werd simpelweg 'voorbij de golf-sfeer'.
Het was dus mogelijk om alle singulariteit te elimineren.
Op dit punt hadden we simpelweg het zwarte gat model uitgebreid tot een tandem 'zwart gat – witte fontein'. Echter, voor de 'externe waarnemer' blijft de tijd nodig om de hypertorische passage te doorlopen oneindig. Het lijkt erop dat we het zwarte gat model simpelweg hebben verbeterd door uit te leggen wat eruit ontstond.
We hebben eerder gezegd dat de keuze van variabelen in een geometrische oplossing volledig arbitrair is. Wat geldt voor de ruimte, geldt ook voor de tijd. We zochten dus een transformatie van de tijdsvariabele, zoals uitgevonden door Eddington in 1924:
Nogmaals, we vermelden dit alleen voor eenvoudige wetenschappers en studenten in de hogere wiskunde.
t is de oude 'kosmische tijd', de oude 'chronologische variabele' gepresenteerd in de oorspronkelijke Schwarzschild-oplossing van 1917.
t' is de nieuwe 'Eddington-tijd'. Rs is de 'Schwarzschild-straal' (in dit geval zouden we 'Schwarzschild-omtrek' moeten zeggen, gedeeld door 2p).
c is de lichtsnelheid (hier constant).
Iets wat vreemd kan lijken: we mengen tijd en ruimte, maar met materie is alles mogelijk. De keuze van het tijdsreferentiekader is volledig arbitrair. We eisen alleen dat:
— de metriek asymptotisch Lorentz-invariant is, dat wil zeggen dat op oneindig de ruimtetijd de Minkowski-ruimtetijd wordt, die van de speciale relativiteitstheorie. In ons geval werkt dit (in tegenstelling tot Kruskal).
— de nieuwe tijd t' zich, opnieuw op oneindig, identificeert met 'de tijd van een verondersteld stilstaande waarnemer'. Wat ook het geval is (in tegenstelling tot Kruskal).
Door dit te doen, wordt de valtijd van een testdeeltje, verondersteld stilstaand op oneindig en vallend naar de Schwarzschild-sfeer, oneindig in relatie tot 'de verstreken tijd voor de externe waarnemer', die ver weg en stilstaand is.
Echter, het deeltje komt na een oneindige tijd uit het 'swallowhole' (zwart gat). Net als in het zwarte gat kunnen we dit soort 3D-swallowhole binnengaan, maar we kunnen er niet uitkomen behalve na een oneindige tijd.
De andere kant is een 'resurgence' (witte fontein). Maar met een dergelijke keuze van tijd (t') komt het deeltje na een oneindige tijd uit de resurgence, terwijl het er in een eindige tijd kan binnengaan. Dit was een kritiek punt. De oplossing bestaat uit het uitvoeren van een soort dubbele variabele-transformatie, wat we volkomen het recht hebben te doen, voor het deel van de ruimtetijd dat verondersteld van ons te zijn:
In het 'tweelinguniversum':
Het kosmische mechanisme werkt dus perfect.
— Geen singulariteit.
— We kunnen het 'swallowhole' binnengaan, maar niet uitkomen (zwart gat).
— We kunnen uit de resurgence komen, maar niet erin gaan (witte fontein).
Goed, zegt u, we maken vooruitgang...
Ja en nee. Het probleem is dat de transit-tijd in de hypertorische passage slechts enkele honderdsten van een seconde is. En deze Moloch is in staat alles op te slokken, tien zonnemassa's bijvoorbeeld, in minder tijd dan het kost voor een kogel om een speelkaart te doorboren.
De conclusie is dat, dankzij deze rationelere representatie van de geometrische oplossing, zwarte gaten niet kunnen bestaan. Ze zijn... een wiskundige fictie. Ze kunnen alleen bestaan dankzij dit 'tijdsvries'. Echter, met de 'Eddington-tijd', die alle eisen van de natuurkunde vervult, wordt de transit-tijd eindig.
Conclusie: deze Schwarzschild-geometrie is, naar onze mening, simpelweg een foto, een momentopname, van een niet-stationair proces van hyperspatiale overdracht. Het is alsof, wanneer u iemand een foto van een aambeeld dat in de lucht is geworpen, concludeert dat alle aambeeld in de lucht zweven. De Schwarzschild-oplossing is ook de oplossing van een vergelijking die impliceert dat het universum perfect leeg is, dat de dichtheid van materie-energie nul is op elk punt. Een beetje alsof, wanneer u iemand een foto van een voetbalstadion toont genomen nadat de spelers het veld hebben verlaten voor de rust, concludeert dat voetbal gespeeld wordt op lege velden.
Wat zou er dan gebeuren?
We hebben aangetoond dat tijdens de passage door de golf-sfeer, de tijdscoördinaat omgekeerd was. Als we t' de (Eddington-)tijd noemen die correspondeert met onze 'kant van de ruimtetijd' en t'* het 'tijdsreferentiekader' van het tweelinguniversum, hebben we:
t'* = - t'
Merk op dat in 1967 Andrei Sakharov de eerste was die suggereerde dat twee universa met omgekeerde tijd werden gecreëerd op het moment van de 'Big Bang'.
Het blijft om te begrijpen wat 'omkering van de tijd' betekent. Betekent dit dat, wanneer we het tweelinguniversum binnengaan, we jonger worden? We hebben aangetoond dat dit niet het geval is. We 'volgen onze eigen tijd', en als we er iets verder uitkomen via een symmetrische structuur, zouden we niet jonger zijn dan toen we erin gingen. Het is dus onmogelijk om 'je eigen vader te doden', zoals in Barjavel's 'De Onvoorzichtige reiziger' ('Le Voyageur Imprudent').
Groepen hebben opnieuw het 'ontologische' betekenis van de omkering van de tijdscoördinaat verduidelicht. Wanneer een deeltje het tweelinguniversum instort, wordt zijn gravitationele actie gevoeld, maar zijn bijdrage aan het gravitationele veld wordt dan negatief. Zijn 'gravific massa' keert om.
Dit rechtvaardigt volledig het model dat is ontwikkeld op de site en in het boek 'We hebben de helft van het universum verloren' ('On a perdu la moitié de l'univers') (Albin Michel). De massa's die rondlopen in tweelinguniversa gedragen zich als afstotende massa's in relatie tot de massa's aanwezig in ons universum.
— Volgens Newton trekken massa's elkaar aan in ons universum.
— Volgens Newton trekken massa's elkaar aan in het tweelinguniversum.
— Wanneer massa's gelegen in twee 'aangrenzende' delen van de ruimtetijd interageren, stoten ze elkaar af.
Dit is een simpel gevolg van de omkering van de tijdsvariabele (maar niet van de tijd zelf).
De groepen tonen ook hoe de dualiteit materie-antimaterie in beide universa bestaat, zoals Andrei Sakharov had verbeeld.
Wanneer een deeltje van materie slaagt in het tweelinguniversum te gaan (we zullen later zien hoe), blijft het materie, maar 'CPT-symmetrisch'. Dit is de betekenis van de beroemde 'CPT-stelling' van de natuurkunde (nooit bewezen. Wat Souriau een 'natuurkundige stelling' noemt). Klassiek zeggen natuurkundigen: 'de CPT-symmetrie van materie is identiek aan materie'. CPT-symmetrie betekent:
— Het deeltje, in zijn nieuwe verblijfplaats, evolueert in 'omgekeerde tijd': T-symmetrie.
— Het is enantiomorf, rechts en links omgekeerd, in 'spiegel': P-symmetrie.
— Al zijn 'ladingen' zijn omgekeerd, inclusief zijn elektrische lading, indien aanwezig. Dit is C-symmetrie.
Voor ons is de CPT-symmetrie van een deeltje een deeltje van het tweeling (of dat het tweeling is binnengegaan). Het is een 'gemellary' deeltje. Omdat het T-symmetrie heeft, is zijn massa automatisch omgekeerd (resultaat oorspronkelijk verkregen door J. M. Souriau in 1974).
De C-symmetrie van een deeltje is zijn antideeltje.
Feynman merkte op dat de PT-symmetrie van een deeltje zich gedroeg als een antideeltje. Correct, maar het gaat om... de antimaterie van het tweeling, met negatieve massa (omdat het ook T-symmetrie heeft). Dit alles vloeit voort uit de geschiedenis van de groepen. Dit werk legt de link tussen alles wat tot nu toe is gepubliceerd (op de site, zie Geometrische Natuurkunde B in de sectie 'geometriseren van antimaterie').
Een goede illustratie van deze zaak van ruimte-omkering kan verkregen worden. In het artikel benadrukken we vaak het idee van een representatieruimte. Dit is de ruimte waarin we geometrische objecten mentaal voorstellen. Eerder hebben we een beeld gebruikt waarin Lanturlu zijn hand in de golf-sfeer steekt en het lijkt te emergereen in een andere 3D-universum. Voor de behoeften van de illustratie is de tekening gescheiden in twee figuren. Maar er is iets dat u waarschijnlijk niet op het eerste gezicht heeft opgemerkt: Lanturlu steekt zijn linkerhand in de sferische coördinaten, maar het is zijn rechterhand die emergeert. Dit is geen toeval.
Waar bevindt zich het tweede universum?
Het is geïntegreerd in het onze, wat een beetje moeilijk te begrijpen is. Het zal eenvoudiger zijn als we terugkeren naar het 2D-oppervlak, het 'platland'.