Isometrisch oppervlak en geodeten

We hebben deze afbeelding hier “opgeschoond” om hem iets leesbaarder te maken. Een oppervlak is een tweedimensionaal object, hier “ingebed” in een anders Euclidische driedimensionale ruimte, R³. We kunnen het “van bovenaf” zien. Het blijkt dat dit oppervlak “op isometrische wijze” in de ruimte R³ kan worden ingebed. Dat wil zeggen dat als we er plakband op plakken, dit effectief een geodetische lijn zal vormen die twee punten A en B op het oppervlak met elkaar verbindt. De lengte gemeten langs de geodetische boog is ook correct. Het is isometrisch, etymologisch “dezelfde lengte”. Hieronder staat een tweedimensionale representatie die niet isometrisch is… de lengte van de boog A'B' is niet gelijk aan die van de boog AB. Construeer het volgende object met behulp van een vel papier, een potlood en een schaar:

Deze afbeelding is niet isometrisch. Ten eerste is de getoonde kromme geen geodetische van het vlak. Ten tweede is de breedte van de boog AB niet de “ware lengte” die gemeten zou kunnen worden op het “ware oppervlak”, dat “geen gat” heeft. Het vel papier met een gat is slechts een nuttige representatie, niets meer. Hetzelfde geldt voor de techniek om aan de ene kant van het vel te tekenen en dan aan de andere kant, waarbij de volledige kromme alleen zichtbaar is door transparantie.

In de volgende afbeelding hebben we de geodetische lijnen van het oppervlak getoond, berekend door een computer (zoals vermeld in het artikel).

De stippellijnen van de krommen corresponderen met de takken aan “de andere kant” (alsof we naar het oppervlak “van bovenaf” kijken).

Nu een vraag: kunnen we een vlakke en isometrische representatie van deze geodetische lijnen construeren? Het antwoord is ja. We hebben gezien dat we de variabele r kunnen veranderen in de variabele r. Zo kunnen de geodetische lijnen worden afgebeeld in een vlak van “poolcoördinaten” (r, j). De geodetische lijnen (hier een niet-radiale geodetische) zien er als volgt uit:

Dit is een isometrische representatie. Drie punten A, B en C behoren tot het oppervlak en liggen op dezelfde geodetische. A', B' en C' zijn de homologe punten in deze representatie [r, j]. De punten A en B liggen op hetzelfde halflaag en de geodetische boog die hen verbindt, snijdt de keelcirkel niet. Gemeten in dit vlak, langs het beeld van de geodetische (die uiteraard geen geodetische van dit vlak is), is de lengte van de boog A'B' gelijk aan die van de boog AB, gemeten op het oppervlak.

De boog BC doorkruist de keelsfeer. Zelfde verhaal.

Maar deze isometrie is niet van toepassing op alle geodetische lijnen van het oppervlak. Er bestaat er één, uniek in zijn soort: de keelcirkel, hier gereduceerd tot een punt. Het is het enige oppervlak dat op zichzelf terugsluit.

Geodetische lijnen zijn het enige wat we hebben om een oppervlak of, meer algemeen, een niet-vlakke, niet-Euclidische ruimte te begrijpen. Ze zijn nuttige oriëntatiepunten (ook al hebben we een vervormd beeld in onze tweedimensionale en driedimensionale representatiesystemen – in perspectief). We weten dat deze geodetische lijnen bestaan, dat ze intrinsiek zijn. Die van een bol zijn bijvoorbeeld grote cirkels. In het geval van ruimtetijd zijn ze gevuld met een oneindigheid aan ruimtetijd-geodetische lijnen. De geodetische lijnen bestaan intrinsiek en om ze te begrijpen (etymologisch: vasthouden, in de armen nemen) proberen we ze te “voelen” als blinde mensen. Echter, de coördinatenlijnen van ruimte en tijd hebben geen intrinsieke realiteit, noch vormen de twee verzamelingen van meridianen en parallellen een integraal onderdeel van een bol. Ze worden niet “van binnenuit meegeleverd”. De geometrie van Schwarzschild, een oplossing van de veldvergelijking van Einstein, is een vierdimensionale hypersurface. Theoretici hebben er hele families krommen op geplakt, “constante t”, “constante r”, enz.

Vergeet nooit dat deze handelingen volkomen willekeurig zijn, hoewel zelfs specialisten in de theoretische kosmologie dit punt vaak uit het oog verliezen en van tijd tot tijd door wiskundig-geometrische specialisten op de vingers moeten worden getikt. Het was dus volkomen legitiem om de ruimtetijdcoördinaten te veranderen.

Op dit punt zult u zeggen: wat zegt ons dan dat de ene keuze van coördinaten beter is dan de andere? Wat is redelijk en onredelijk? Het is een kwestie van smaak. Het kiezen van ruimtetijdcoördinaten betekent het opleggen van een fysieke visie aan een wiskundig object. In het geval van de Aarde hebben we er polen aan toegekend terwijl deze draait. De Noordpool is simpelweg de normaal op het oppervlak “Aarde” die naar de Poolster wijst, een ster die vaststaat aan de hemel.

Wat betreft isometrie en niet-isometrie, illustreert cartografie de moeilijkheden bij het proberen een bol op een vlak weer te geven. De projectie van Mercator (projectie van de aardbol op een cilinder die raakt aan de evenaar) is erg prettig voor degenen die in de buurt van de evenaar wonen. Echter, iemand die aan een van de polen woont, krijgt een onaangename verrassing: zijn puntgebied verandert in een rechte lijn…

Er zijn honderden manieren om een bol op een vlak te projecteren. Stel je dit voor:

Stel je voor dat we kaarten maken op basis van dit model en ze verkopen. Een onmiddellijk succes bij degenen die aan de twee polen wonen: de projecties zijn quasi-isometrisch in deze gebieden. Nuttig om een idee te krijgen van afstanden in die zones. Als de Aarde aan de polen bewoonbaar was geweest en elders relatief onherbergzaam, zouden kaarten waarschijnlijk zo zijn gemaakt. Echter, we zouden zien dat de grenscirkel van de projectie op een vlak niet langer overeenkomt met de evenaar, maar met een parallel (hier op het noordelijk halfrond). In de buurt van deze regio zou de kaart ver afwijken van isometrie. Bovendien zou op deze vreemde kaart een deel van het landmassa moeten worden weergegeven met een normale, volle lijn en een ander deel met een gebroken, stippellijn, omdat het zich bevindt voorbij de parallel waar het object, vreemd genoeg, lijkt “op zichzelf terug te vouwen”. Misschien zouden we kaarten kunnen leveren op een schijf van papier, waarbij de rest van het landmassa aan de andere kant van het vel verschijnt.

Laten we nu proberen “dit alles in 3D voor te stellen”. We hebben laten zien hoe Lanturlu zijn linkerarm in de keelsfeer steekt via twee aparte tekeningen, wat zou kunnen suggereren dat de tweede driedimensionale ruimte “elders” is. Om correct te zijn, zouden de twee perspectieftekeningen over elkaar gelegd moeten worden, waarbij de opkomende (rechter)hand wordt weergegeven door een stippellijn.

Ik heb geprobeerd dit te doen, hoewel het niet makkelijk was. Ik had twee verschillende kleuren kunnen gebruiken, rood voor de delen aan de eerste driedimensionale kant van onze niet-eenvoudig samenhangende driedimensionale ruimte en groen voor de andere. Een rode Lanturlu zou dan zijn linkerhand, die hij in de sfeer had gestoken, zien terugkomen als een groene rechterhand.

Uiteraard is er “binnen” de keelsfeer niets. Het uiterlijk van een binnenkant, een volumetrische inhoud, is simpelweg te wijten aan onze keuze van deze driedimensionale representatieruimte. Net zoals er in het gat dat in het vel papier is gesneden geen papier is. Het was slechts een toeval verbonden aan de keuze van deze vlakke representatieruimte. Als iemand erop stond een vlakke representatie te gebruiken zonder de uit het papier gesneden schijf te verwijderen en steeds de vraag stelde “wat zit erin?”, zou hij volledig “buiten het veld” zijn (of eerder… erin). Het veld bestaat niet.

Laten we teruggaan naar 3D. Wanneer Lanturlu zijn arm in de keelsfeer steekt, heeft deze ook geen binnenkant. Het uiterlijk van een binnenkant is simpelweg te wijten aan onze keuze van representatieruimte. We zouden kunnen overwegen dat Lanturlu en zijn opkomende hand zijn getekend op een vel papier met drie dimensies, waaruit we… een bol hebben verwijderd (het driedimensionale equivalent van de schijf van het vel papier). Wiskundig gezien is een schijf een “b²-bol” en een “bolvolume” een “b³-bol”. Met “bol” bedoelen we een samentrekbare cel (zie het Topologicon op de “CD-Lanturlu”), dat wil zeggen een object dat ten opzichte van een punt kan samentrekken door over zichzelf heen te gaan. De tweedimensionale en driedimensionale voorbeelden zijn er om het strijdplan van het artikel te illustreren: de Schwarzschild-bol heeft geen “binnenkant”, geen “middelpunt”. Wanneer we er doorheen gaan (hypertorische doorgang) bevinden we ons aan de “andere kant van de ruimtetijd”.

Wat is de rechtvaardiging voor deze nieuwe interpretatie van de “Schwarzschild-geometrie”?

Antwoord: de eliminatie van singulariteiten. Kruskal heeft met zijn “analytische voortzetting” alles in het werk gesteld om deze “verduivelde sfeer” binnen te dringen. Hij slaagde er alleen in om de singulariteit (een rol die aanvankelijk werd vervuld door de Schwarzschild-bol) op te sluiten in een punt gelegen “in het midden van dit object”. Mensen tevreden stelden zich met deze goocheltruc. Echter, wij denken dat het beter is zonder singulariteit.

De natuur protesteert, wanneer we ernaar kijken van de verkeerde kant, door singulariteiten te produceren. Zo zien wij de dingen. Het is een vooropgezet beeld van wat “werkelijk” is. Wij geloven dat deze singulariteiten niet bestaan in de natuur. Wij denken ook dat oneindigheid niet bestaat. Maar zoals Kipling zei, dat is een ander verhaal. Ik had levendige discussies met Souriau over deze vraag vorig jaar.

• Wat bewijst dat oneindigheid bestaat? …

• Maar zonder oneindigheid is er geen wiskunde!

• Heb je ooit oneindigheid ontmoet? Heb je het gezien, in je hand gehouden?

• Het is een… gemak.

• We genereren oneindig grote getallen door aan te nemen dat we onbeperkt 1 kunnen optellen bij een getal. We gebruiken een sequentiële oneindigheid om een numerieke oneindigheid te genereren. Het bijt in zijn eigen staart, jouw ding.

• Oké, laten we zeggen dat het een gemak is. De mens heeft twee belangrijke dingen uitgevonden in zijn geschiedenis: oneindigheid en toiletten…

Ik geloof ook niet dat het oneindig kleine bestaat, noch fysiek, noch wiskundig. Maar dat zal het onderwerp zijn van andere artikelen. Laten we deze vragen voorlopig terzijde leggen. Een eenvoudige uitstap.

op de site](/fr/article/f300-f301html)).

Zoals Archimedes, geloof ik, zei bij de ingang van een heiligdom van de wetenschappen: “Niemand betreedt dit heiligdom die geen meetkundige is.” Deze tensoren en ander gedoe, een terrein waar Midy van houdt, zijn net zo onverteerbaar als Engels pudding.

We zien dus, door deze discussie, dat onze fysieke visie op deze fenomenen voortkomt uit de manier waarop we besluiten ze weer te geven. Door de ruimtelijke coördinaten te wijzigen, hebben we de “lokale topologie” veranderd, een term die volgens Souriau een wiskundige verduidelijking behoeft. In feite is de uitdrukking een zachte eufemisme: hij begon gewoon te razen toen ik het zei, en zijn kat Pioum en ik hadden de grootste moeite om hem te kalmeren. Souriau is de Professor Zonnebloem van de wiskunde. Hij is een vrijwillig beoefenaar van hoge wiskundige verontwaardiging. Deze verontwaardiging mag echter niet worden verward met boosheid in de triviale betekenis van het woord. Eerder speel ik hier de rol van Molière in “Monsieur Jourdain”. Fysici gebruiken vaak wiskunde zonder het te weten (en omgekeerd, trouwens).

Door voorlopig het gebruik van “niet-gespecificeerde” woorden toe te staan, lijkt het alsof we alleen de “lokale topologie” van de Schwarzschild-geometrie als “hypersferisch” hebben beschouwd (dat de Schwarzschild-bol een “b³-bol” “bevat”). We hebben het “hypertorisch” gemaakt. Daarom heb ik de term “hypertorische geometrieën” voorgesteld.

We hebben eerder de inversie van de ruimte genoemd. Deze wordt onderhandeld met de groepen. Kunnen we dit anders begrijpen? We zagen dat Lanturlu zijn linkerhand in de keelsfeer stak en een rechterhand zag opkomen. In werkelijkheid volgde elk atoom van zijn hand een “radiale” geodetische, loodrecht op het oppervlak.

Laten we niet vergeten om terloops te vermelden dat dit representatiesysteem niet isometrisch is. Net als bij het papier met een gat. Als we de afstand meten die is afgelegd in de twee halfruimten door een testatoom dat deel uitmaakt van Lanturlu’s hand (Archibald Higgin in de Engelse edities), zou deze niet samenvallen met de werkelijke afstand gemeten met een stuk touw.

Laten we teruggaan naar de eerder getoonde afbeelding.

Hier hebben we een geodetische boog AB getoond die de keelcirkel doorkruist en zijn beeld in de onderstaande vlakke representatieruimte. Het niet-isometrische karakter van de representatie wordt nog duidelijker. De lengtes van de bogen AB en A'B' zijn zeer verschillend.

Uiteraard is het vrij moeilijk voor te stellen dat je een touw door de keelsfeer van een hypertorische doorgang kunt halen. Door het touw strak te trekken, zou je een geodetische (lijn van de kortste weg) verkrijgen. Als we tenslotte de lengte van het touw meten in de driedimensionale representatieruimte (Lanturlu die zijn arm duwt) en besluiten de lengte van het touw in deze ruimte te meten, zouden we een kortere lengte A'B' vinden. De werkelijke lengte, gemeten in de driedimensionale hypersurface, zou langer zijn, zoals getoond in de tweedimensionale tekening. De driedimensionale representatie met Lanturlu is dus niet-isometrisch, net als de bovenstaande vlakke representatie.

Met de hulp van een paar tekeningen worden deze subtiele concepten, afkomstig uit de groeptheorie, minder ontoegankelijk, mits je “in de ruimte kunt kijken”. Dat is wat ik je probeer aan te leren: kijken in een driedimensionale gekromde ruimte.

Laten we terugkeren naar de vraag van enantiomorfie, de inversie van objecten wanneer ze de tweedimensionale of driedimensionale keelstructuur doorkruisen. Stel je radiale geodetische lijnen in 2D voor. Het woord is onjuist geworden, want in principe is een straal een rechte lijn die van een punt uitgaat. In werkelijkheid gaat het om geodetische lijnen met constante j. Zie de eerdere tekening die deze azimutale coördinaat toonde. Echter, voor meer beknoptheid zullen we het woord “radiaal” blijven gebruiken, tussen aanhalingstekens. Merk op dat het woord “radiaal” al het resultaat is van de keuze van de representatieruimte. Stel je voor dat een letter R (die niet identiek is aan haar spiegelbeeld, haar enantiomorfe beeld) als een slecht bevestigde transfer langs onze torische doorgang glijdt, waarbij elk punt zich beweegt volgens een geodetische. De letter zal zich “aan de andere kant” bevinden. Het is interessant om het resultaat van de operatie te bekijken op een vlakke projectie in de representatieruimte.

We hebben een soort lint getoond waarvan de randen bestaan uit twee geodetische lijnen. Wat merken we op? In de representatieruimte is de letter R omgekeerd tot een Russische “ia”, een omgekeerde R, enantiomorf. We beginnen te begrijpen waarom Lanturlu’s hand lijkt omgekeerd wanneer deze opkomt in de driedimensionale representatieruimte; deze wordt enantiomorf.