We hebben
"opgeschoond" de figuur hier om hem iets leesbaarder te maken. Een oppervlak is
een 2D-object, hier "gedompeld" in een anderszins Euclidische 3D-ruimte in R3. We kunnen
het "zien" van bovenaf. Het gebeurt dat dit oppervlak op een "isometrische manier" in de ruimte
R3 gedompeld kan worden. Dat wil zeggen dat als we er wat tape op plakken,
dit zich effectief inschrijft op een geodetische lijn die twee punten van het
oppervlak A en B verbindt. De lengte gemeten langs de geodetische boog is ook correct.
Het is iso-metrisch, etymologisch "dezelfde lengte". Hieronder is een 2D-representatie
die niet isometrisch is ... de lengte van de boog A'B' is niet gelijk aan die van
boog AB. Construeer het volgende object met behulp van een vel papier, een potlood
en een schaar :
Deze
tekening is niet isometrisch. Allereerst is de getoonde curve geen geodetische
van het vlak. Ten tweede is de breedte van de boog AB niet de "echte lengte" die
gemeten zou kunnen worden op het "echte oppervlak", dat "geen gat heeft". Het vel papier
met een gat is slechts een nuttige representatie, niets meer. Hetzelfde geldt voor
de techniek van tekenen aan de ene kant van het vel en dan aan de andere kant, waarbij
de hele curve alleen in transparantie verschijnt.
In de
volgende figuur hebben we de geodetische lijnen van het oppervlak getoond, berekend door computer
(welke in het artikel voorkomt).
De
stippellijnen van de curves corresponderen met de takken aan "de andere kant" (alsof
we het oppervlak "van bovenaf" bekijken).
Nu
een vraag : kunnen we een vlakke en isometrische representatie van deze geodetische lijnen
bouwen? Het antwoord is ja. We hebben gezien dat we de variabele r kunnen veranderen in variabele
r. Dus de geodetische lijnen kunnen worden afgebeeld in een vlak van
"polaire coördinaten" ( r ,
j ). De geodetische lijnen (hier een niet-radiale geodetische lijn) zien er als volgt uit
:
Dit
is een isometrische representatie. Dat wil zeggen drie punten A, B en C die behoren tot
het oppervlak, gelegen op dezelfde geodetische lijn. A', B' en C' zijn homologe punten
in deze representatie [ r , j ]. De punten A en
B liggen op dezelfde hemi-laag en de geodetische boog die hen verbindt kruist
niet de keelcirkel. Gemeten in dit vlak, langs het beeld van de geodetische lijn
(welke duidelijk geen geodetische lijn van dit vlak is), is de lengte van de boog A'B'
gelijk aan die van de boog AB, gemeten op het oppervlak.
De boog BC kruist de
bol van de keel. Hetzelfde.
Maar
deze isometrie geldt niet voor alle geodetische lijnen van het oppervlak. Er bestaat één,
uniek in zijn soort : de keelcirkel, hier gereduceerd tot een punt. Het is het enige
oppervlak dat zich op zichzelf sluit.
Geodetische
lijnen zijn de enige dingen die we hebben om een oppervlak of, algemener, een niet-vlak,
niet-Euclidische ruimte te begrijpen. Ze zijn nuttige markeringen (zelfs als we een vervormd beeld
hebben in onze 2D- en 3D-representatiesystemen (in perspectief)). We weten dat deze
geodetische lijnen bestaan, dat ze intrinsiek zijn. Die van een bol, bijvoorbeeld, zijn
grote cirkels. In het geval van ruimtetijd, zijn ze gevuld met een oneindigheid van
ruimtelijke-temporele geodetische lijnen. De geodetische lijnen bestaan intrinsiek en om
ze te begrijpen (etymologisch : vasthouden, in de armen nemen) proberen we ze te
"voelen" zoals blinde mensen. Echter, ruimtelijke en temporele coördinaatlijnen hebben geen intrinsieke realiteit,
noch zijn de twee meridiaan- en parallel-ensembles een integraal onderdeel van een bol.
Ze zijn niet "van binnenuit meegeleverd". Schwarzschilds geometrie, een oplossing voor Einsteins
veldvergelijking, is een 4D-hypersurface. Theoretici hebben hele families van
curves erop geplakt, "constante t", "constante r" etc.
Vergeet nooit dat deze gebaren volledig arbitrair zijn, hoewel zelfs specialisten
in theoretische kosmologie dit punt vaak uit het oog verliezen en, van tijd tot tijd,
moeten worden teruggeroepen tot de orde door geometrie-wiskundigen. Het was dus perfect
legitiem om ruimtetijd-coördinaten te veranderen.
Op dit
punt zult u zeggen : wat zegt ons dat een keuze van coördinaten beter is dan een andere ?
Wat is redelijk en onredelijk ? Het is een kwestie van smaak. Het kiezen van ruimtetijd-coördinaten betekent
een fysieke visie plaatsen op een wiskundig object. In het geval van de Aarde, hebben we
polen gegeven toen het draait. De Noordpool is simpelweg de normaal van het oppervlak "Aarde"
die naar de Poolster wijst, een ster die vast blijft in de hemel.
In de
kwestie van isometrie en niet-isometrie, illustreert cartografie de moeilijkheden
in het proberen te representeren van een bol op een vlak. Mercators projectie (projectie
van de Aardbol op een cilinder raak aan de Evenaar) is zeer mooi voor
diegenen die dicht bij de Evenaar wonen. Echter, iemand die op een van de polen
woont, krijgt een onaangename verrassing : zijn puntige domein verandert in een rechte lijn...
Er
zijn honderden manieren om een bol op een vlak te projecteren. Laten we dit
verbeelden :
Verbeeld
ons dat we kaarten maken van dit model en we ze verkopen. Een instant succes onder
diegenen die op de twee polen wonen : de projecties zijn quasi-isometrisch in deze
regio's. Nuttig voor het krijgen van een idee van afstanden in die gebieden. Als de Aarde
bewoonbaar was geweest op de polen en relatief onherbergzaam elders, zouden kaarten
ongetwijfeld zo zijn gemaakt. Echter, we zouden zien dat de grenscirkel
van de projectie op een vlak niet langer correspondeert met de Evenaar maar met een parallel
(hier in het noordelijk halfrond). Dicht bij deze regio zal de kaart ver af
van isometrie zijn. Daarnaast zal op deze vreemde kaart, een deel van het landmassa
moeten worden getoond met een normale, volle lijn en een deel met een gebroken, stippellijn omdat
het gelegen is voorbij de parallel waar het object, vreemd genoeg, lijkt te "vouw terug
op zichzelf". Misschien zouden we kaarten kunnen leveren op een papieren schijf met de rest van het
landmassa verschijnend aan de andere kant van het vel.
Laten
we proberen "dat alles in 3D te verbeelden". We hebben Lanturlu zijn linkerarm
in de keelbol laten dompelen via twee aparte tekeningen, wat zou kunnen impliceren dat
de tweede 3D-ruimte "elders" is. Om correct te zijn, zouden de twee perspectieftekeningen
moeten worden over elkaar gelegd met de opkomende (rechter) hand vertegenwoordigd door een
stippellijn.
Ik
probeerde het te doen, hoewel het niet makkelijk was. Ik had twee verschillende kleuren kunnen gebruiken,
rood voor de delen in de eerste 3D-zijde van onze niet-simply connected 3D-ruimte en
groen voor de andere. Een rode Lanturlu zou dan een rode
"linker" hand zien die hij in de bol had gestoken, uitkomen als een groene
"rechter" hand.
Obviously
"inside" the gorge sphere there is nothing. The appearance of an interior, a
volumetric content, is just due to our choice of this 3D representation space.
Just as in the hole cut in the sheet of paper there is no paper either. It was
just an accident linked to the choice of this planar representation space. If
someone insisted on using a planar representation without removing the disc
cut in the paper and who repeatedly asked "what's inside" they would be completely
"off the field" (or rather ... in it). The field doesn't exist.
Laten
we terugkeren naar 3D. Wanneer Lanturlu zijn arm in de keelbol dompelt, heeft deze
geen binnenkant. De verschijning van een binnenkant is simpelweg te wijten aan onze
keuze van representatieruimte. We zouden kunnen overwegen dat Lanturlu en zijn opkomende
hand zijn getekend op een vel papier dat drie dimensies heeft en waarvan
we ... een bol hebben verwijderd (de 3D-equivalent van de schijf van het vel papier).
Wiskundig, een schijf is een "b2 bal" en een "bolvolume" is een "b3 bal. Door
"bal" bedoelen we een contractiele cel (zie de Topologicon op de "CD-Lanturlu")
dat wil zeggen een object dat kan contracteren ten opzichte van een punt door
over zichzelf te gaan. De 2D- en 3D-voorbeelden zijn er om het strijdplan van het artikel
te illustreren : de Schwarzschild-bol heeft geen "binnenkant", geen "centrum". Wanneer we
het kruisen (hypertorische passage), vinden we onszelf aan de "andere kant van ruimtetijd".
Wat
is de rechtvaardiging voor deze nieuwe interpretatie van "Schwarzschild-geometrie"
?
Antwoord
: de eliminatie van singulariteiten. Kruskal, met zijn "analytische verlenging",
heeft alles gedaan om deze "verwoeste bol" te penetreren. Hij slaagde er alleen
in om de singulariteit (een rol die oorspronkelijk werd gespeeld door de Schwarzschild-bol)
in een punt te verpakken gelegen "in het centrum van dit object". Mensen tevreden
zich met deze truc. Echter, we denken dat het beter is zonder singulariteit.
De
Natuur protesteert, wanneer we het vanuit de verkeerde kant bekijken, door singulariteiten
te secreteren. Dat is hoe we dingen zien. Het is een vooropgesteld beeld van wat "echt"
is. We geloven dat deze singulariteiten niet bestaan in de natuur. We denken ook
dat oneindigheid niet bestaat. Maar zoals Kipling zei, dat is een ander verhaal. Ik had
levendige discussies met Souriau over de vraag een jaar geleden.
- Wat
bewijst dat oneindigheid bestaat ? ....
- Maar,
zonder oneindigheid is er geen wiskunde ! ....
- Heb
je ooit oneindigheid ontmoet ? Gezien, in je hand gehouden ?
- Het is
een .... conveniënt.
- We
genereren oneindig grote getallen door te veronderstellen dat we 1 aan een getal
onbeperkt kunnen toevoegen. We gebruiken een sequentiële oneindigheid om een numerieke
oneindigheid te genereren. Het eet zijn eigen staart, jouw ding.
- OK,
laten we zeggen dat het een conveniënt is. De mens heeft twee dingen van belang
uitgevonden tijdens zijn geschiedenis : oneindigheid en toiletten ...
Ook
geloven I niet dat het oneindig kleine bestaat, noch fysiek noch wiskundig.
Maar dat zal het onderwerp zijn van andere papers. Laten we deze vragen terzijde
laten voor het moment. Een eenvoudige uitstap.
Terzijde,
zie "Scale Invariant Cosmology"
door P. Midy en J.P. Petit, International Journal of Modern Physics D, juni 1999,
pagina's 271-280 waar we "de initiële singulariteit van het universum" hebben laten
verdwijnen. Het is een meer wiskundig geconstrueerde herformulering van een idee
die ik publiceerde in 88-89 in Modern Physics Letters A (papers
op de site).
Zoals Archimedes
zei, geloof ik, bij de ingang van een heiligdom van wetenschap, "no one enters here
who is not a geometrician". Deze tensoren en spulletjes, een veld dat Midy liefheeft,
zijn zo indigestibel als Engelse pudding.
We kunnen
dus zien, door deze discussie, dat onze fysieke visie van deze fenomenen
komt van de manier waarop we besluiten om ze te representeren. Door ruimtelijke coördinaten
te modificeren hebben we "lokale topologie" veranderd, een term die een wiskundige verduidelijking
vereist volgens Souriau. In feite is de frase een zachte eufemisme : hij begon
simpweg te raven toen ik het zei en zijn kat Pioum en ik hadden de grootste
moeite om hem te kalmeren. Souriau is Professor Tournesol van de wiskunde. Hij is een
willige beoefenaar van hoge wiskundige verontwaardiging. Echter, deze verontwaardiging
moet niet worden verward met woede in de triviale zin van het woord. Eerder, dat ik
Molière's "Monsieur Jourdain" speel, is dit gebied. Fysici gebruiken vaak
wiskunde zonder het te weten (en vice-versa in feite).
Door,
voorlopig, het gebruik van "niet gespecificeerde" woorden toe te laten, gebeurt alles
alsof we alleen die "lokale topologie" van Schwarzschild-geometrie hebben beschouwd als
"hypersferisch" (dat de Schwarzschild-bol een "B3 bal" "bevat"). We hebben het
"hypertorisch" gemaakt. Daarom heb ik de term "hypertorische geometrieën" voorgesteld.
We hebben
eerder de inversie van ruimte vermeld. Het wordt onderhandeld met de groepen. Kunnen we
dat anders begrijpen ? We zagen dat Lanturlu zijn linkerhand in de keelbol
dompelde en een rechterhand zag uitkomen. In feits volgde elk atoom van zijn hand
een "radiale" geodetische lijn, loodrecht op het oppervlak.
Laten
we niet vergeten terzijde te vermelden dat dit representatiesysteem niet
isometrisch is. Net als het papier met een gat. Als we de afstand gemeten
in de twee halfruimten door een testatoom behorend tot Lanturlu's hand (Archibald
Higgin's in Engelse edities) zou niet samenvallen met de echte afstand gemeten
met een stuk touw.
Laten
we terugkeren naar de figuur getoond eerder.
Hier
hebben we een geodetische boog AB getoond die de keelcirkel kruist en zijn beeld
in de vlakke representatieruimte hieronder. Het niet-isometrische karakter van de
representatie wordt nog duidelijker. De lengtes van de bogen AB en A'B'
zijn zeer verschillend.
Obviously
it is fairly difficult to imagine that we can thread a string into the gorge
sphere of a hypertoric passage. In tightening the string we would obtain a geodesic
(line of the shortest path). After all, if we measured the length of the string
in the 3d representation space (Lanturlu pushing in his arm) and we decided
to measure the length of the string in this space, we would find a shorter length
A'B'. The real length, measured in the 3d hypersurface, would be longer, as
shown in the 2d drawing. The 3d representation with Lanturlu is therefore non-isometric,
as is the planar representation above.
Met
de hulp van een paar tekeningen worden deze subtiele concepten, ontwikkeld uit
groeptheorie, minder hermisch mits men "in de ruimte kijkt". Dat is wat ik probeer
je te leren hoe te doen, in een 3D-gebogen ruimte kijken.
Laten
we terugkeren naar de vraag van enantiomorfie, de inversie van objecten wanneer
ze de 2D- of 3D-keelstructuur kruisen. Laten we radiale geodetische lijnen in 2D verbeelden. Het
woord is incorrect geworden omdat in principe een radius een rechte lijn is die
van een punt af gaat. In feite is het een kwestie van constante j geodetische lijnen. Zie
de eerdere tekening die deze azimutale coördinaat toonde. Echter, voor meer
concisheid, zullen we het woord "radiaal" blijven gebruiken met inverted commas. Mark you, het
woord "radiaal" is al een resultaat van de keuze van representatieruimte. Verbeeld
ons dat een letter R (welke niet identiek is aan zijn spiegelbeeld, zijn enantiomorfe
beeld) glijdt als een slecht bevestigde transfer langs onze torische passage, elk van
zijn punten bewegende volgens een geodetische lijn. De letter zal zich "aan de andere
kant" bevinden. Het is interessant om het resultaat van de operatie op een
vlakke projectie in de representatieruimte te bekijken.
We hebben
een soort lint getoond wiens randen zijn gemaakt van twee geodetische lijnen. Wat
merken we op ? In de representatieruimte is de letter R omgekeerd om een Russische
"ia" te worden, een omgekeerde R, enantiomorf. We beginnen te begrijpen waarom Lanturlu's hand
lijkt omgekeerd te zijn wanneer het uitkomt in de "3D-representatieruimte", het wordt
enantiomorf.
