Maar er bestaan oppervlakken die intrinsiek singulier zijn, met singulariteiten die niet het gevolg zijn van een keuze van coördinaten. Voorbeeld hieronder: de hoekige singulariteit.
Gruis, zoals geformuleerd in 1917 door Schwarzschild in coördinaten t, r, q, j (de tijd, een radiale afstand en twee hoeken, equivalent aan azimut en hoogte: "sferische" coördinaten), is de Schwarzschild-sfeer singulier. Voor een bepaalde waarde Rs van de "radiale coördinaat" r (verondersteld gemeten vanaf een "geometrisch centrum") speelt deze metriek ons de slechtste streken. Op deze sfeer heeft één term een nul in de noemer. Kortom, ze is singulier op deze sfeer. Was dit een intrinsieke singulariteit of een artefact veroorzaakt door een slechte keuze van coördinaten? Dat was de vraag die we ons stelden.
Merk terloops op dat de "Schwarzschild-geometrie" een vierdimensionale hypervlak is, wat de zaak nog lastiger maakt.
Kruskal richtte zich op dit punt. Hij construeerde een coördinatentransformatie die onder andere een constante lichtsnelheid langs een radiale baan oplevert. Hierdoor concentreert hij het singuliere aspect "in het midden van het object", in een "centrale singulariteit". Psychologisch lijkt dit een voordeel. De oplossing wordt "bijna overal regulier", een uitdrukking die wiskundigen gebruiken om te zeggen dat de oplossing regulier is, vrij van pathologie, behalve op één enkel punt.
- U gaat toch niet fijntjes zijn, me erop af gaan, voor een simpel punt...
Helaas heeft deze formulering van Kruskal een ernstige fout: hij hergeeft niet de ruimte van de speciale relativiteitstheorie in het oneindige. Technisch gezien is het niet Lorentz-invariant in het oneindige, "asymptotisch Lorentz-invariant".
Dit is een essentiële vraag in de natuurkunde: bestaan singulariteiten? Tolereert de natuur singulariteiten? Het antwoord wordt geformuleerd in termen van geloof (zoals bij het bestaan of niet-bestaan van het oneindige).
We hebben gezocht naar een nieuwe interpretatie van dezelfde Schwarzschild-geometrie door alle singulariteiten te elimineren, en dat is ons gelukt. Ons antwoord is dus:
- Het singuliere karakter van de Schwarzschild-oplossing is simpelweg het gevolg van een slechte keuze van coördinaten.
Technisch gezien berust alles op de verandering van variabele:
r = Rs + Log ch r
wat leest als "r gelijk aan Rs plus logaritme van de hyperbolische cosinus van de variabele r". Eenvoudig voor wetenschapper, specialist of gewone student. Voor wie deze formule beheerst, kan de grootheid r niet langer kleiner worden dan Rs, zelfs als r alle mogelijke waarden aanneemt van min oneindig tot plus oneindig.
Overweeg een oppervlak dat ontstaat door een parabool te roteren rond een rechte, zoals hier:
Deze figuur is afkomstig uit het artikel. Het oppervlak is oneindig, in feite, net als de meridiaanparabool die het oplevert door om de z-as te draaien. Als je er absoluut op staat om het met coördinaten (r,z,j) te beschouwen, kun je verwachten dat er problemen ontstaan als je je afvraagt "hoe ziet dit oppervlak eruit voor r < Rs?"
Je vindt een antwoord... imaginaire, met wortels van negatieve grootheden. Eenvoudigweg omdat je dan "buiten het oppervlak" bent.
In de wiskunde wordt dit oppervlak "niet-eenvoudig samenhangend" genoemd, een barbaarse term die simpelweg aangeeft dat op zo'n oppervlak geen gesloten kromme haar omtrek kan laten afnemen door deze in het oppervlak te schuiven tot de waarde nul.
Dat is mogelijk op een bol, die "eenvoudig samenhangend" is. Maar op dit oppervlak zie je duidelijk dat elke gesloten kromme die "één keer rond deze soort put heen draait" haar omtrek niet naar nul kan laten gaan; de limiet is de omtrek van de "kegeling". Hetzelfde geldt voor een torus, die ook "niet-eenvoudig samenhangend" is.
We hebben zo'n oppervlak gedefinieerd op basis van zijn metriek, wat het idee zeer goed illustreert. Met behoud van de coördinaat r lijkt het oppervlak singulier. Met gebruik van de bovenstaande variabeleverandering is het dat niet meer. Wat komt deze coördinaat r overeen? Ze loopt simpelweg langs de meridiaanparabool zoals aangegeven in de figuur, en neemt de waarde nul aan op de kegeling. De helft van het oppervlak komt overeen met positieve r, de andere helft met negatieve r. In het coördinatenstelsel [r, j] is er geen singulariteit meer.
We besloten dit type object een "torische brug" te noemen, in analogie met de torus.
Maar men kan gemakkelijk aantonen, altijd uitgaande van metrieken, dat men kan overschakelen naar een object, een driedimensionale hypervlak, dat een "hypertorische brug" bevat. Dan is er niet meer één kegeling, maar een "sferische kegeling". Zoals bij het bovenstaande oppervlak leek de cirkelvormige kegeling twee tweedimensionale bladen met elkaar te verbinden, zo verbindt de sferische kegeling nu twee "halve driedimensionale ruimten". Als je in één van die halve ruimten bent en in de sferische kegeling duikt, kom je uit in de andere halve ruimte.
Laten we teruggaan naar het bovenstaande tweedimensionale oppervlak. De volgende afbeelding laat zien dat wanneer je "cirkels tekent die je denkt concentrisch te zijn", hun omtrek afneemt, een minimum bereikt en vervolgens weer groeit.
In drie dimensies moet je je een bol voorstellen die de sferische kegeling volledig omgeeft. Dan een andere, binnen deze eerste (je zou moeten zeggen "buiten" in een bepaalde richting, richting deze sferische kegeling). Je stelt je voor dat het oppervlak van deze bol kleiner kan zijn. Maar wanneer je de sferische kegeling bereikt, gaat de oppervlakte door een minimum en begint weer te groeien... tot oneindig, als je de bewerking voortzet.
We hebben de "metrieken" van deze tweedimensionale en driedimensionale oppervlakken met een "torische passage" en een "hypertorische passage" opgebouwd, en in het laatste geval werden we getroffen door de overeenkomst met de Schwarzschild-metriek, waarop we dus deze coördinatentransformatie toepasten, waardoor het karakter "niet-eenvoudig samenhangend" zichtbaar werd, en "het binnenste" van het object simpelweg "de andere kant van zijn sferische kegeling" werd.
Zo was het mogelijk om elke singulariteit te elimineren.
Op dit punt hebben we simpelweg het zwart gat-model uitgebreid tot een tandem "zwart gat - witte dwerg". Maar voor een "buitenstaander" bleef de doorgangstijd door deze hypertorische brug nog steeds oneindig. Het leek alsof we het zwart gat-model alleen maar hadden verbeterd door uit te leggen waar het op uitliep.
We zeiden dat de keuze van variabelen in een geometrische oplossing volledig willekeurig is. Maar wat geldt voor de ruimte geldt ook voor de tijd. Dus gingen we op zoek naar een tijdscoördinatentransformatie die Eddington in 1924 had bedacht:
We vermelden dit nogmaals voor de wetenschapper of gewone student.
t is de oude "kosmische tijd", de oorspronkelijke "tijdvariabele" in de initiële Schwarzschild-oplossing uit 1917.
t' is deze nieuwe "Eddington-tijd". Rs is de "Schwarzschild-straal" (men zou dan moeten spreken van de Schwarzschild-omtrek, gedeeld door 2π).
c is de lichtsnelheid (hier constant).
Wat vreemd kan lijken: we mengen tijd en ruimte, maar in deze materie hebben we alle rechten. De keuze van de tijdcoördinaat, de chronologische referentie (time-marker), is volledig willekeurig. We eisen alleen:
-
dat de metriek asymptotisch Lorentz-invariant is, dat wil zeggen dat in het oneindige de ruimtetijd overgaat in de Minkowski-ruimtetijd van de speciale relativiteitstheorie. In ons geval werkt dit (niet bij Kruskal).
-
dat deze nieuwe tijd t' zich, altijd in het oneindige, identificeert met de "eigen tijd van een veronderstelde stilstaande waarnemer". Dat is ook het geval (niet bij Kruskal).
Hierdoor wordt de vrije valtijd van een testdeeltje, dat stil staat in het oneindige en valt naar de Schwarzschild-sfeer, oneindig, ten opzichte van de tijd die "de externe waarnemer" ervaart, die ver weg en stilstaand is.
Het deeltje daarentegen zou uit dit "kanaal" ontsnappen in een oneindige tijd. Net als bij een zwart gat kun je dus in dit soort driedimensionale kanaal binnenkomen, maar niet eruit, tenzij in een oneindige tijd.
De andere kant is een "heropstanding". Maar met deze keuze van tijd (t') zou het deeltje uit deze heropstanding ontsnappen in een oneindige tijd, terwijl het er in een eindige tijd in kan gaan. Dat hield ergens vast. De oplossing bestond erin, wat we volledig mogen doen, een dubbele variabeleverandering uit te voeren. Voor het stuk ruimtetijd dat we als ons eigen beschouwen:
In het "tweelinguniversum":
Het kosmische mechanisme werkt dan perfect.
-
Geen singulariteit.
-
Je kunt in het "kanaal" komen, maar niet eruit (zwart gat).
-
Je kunt uit de heropstanding komen, maar niet erin gaan (witte dwerg).
Goed, zult u zeggen, we gaan vooruit...
Ja en nee. De doorreisduur van materie door deze hypertorische brug is enkele tienduizendsten van een seconde, en dit Moloch kan alles opvreten, tien zonnemassa's bijvoorbeeld, in minder tijd dan nodig is voor een bal om een kaartje te doorkruisen.
De conclusie is dat, door deze rationelere herinterpretatie van de geometrische oplossing, zwarte gaten niet kunnen bestaan. Ze zijn... wiskundige ficties. Ze konden alleen bestaan onder de "stilstand van de tijd". Maar met deze "Eddington-tijd", die aan alle eisen van de natuurkunde voldoet, wordt de doorreistijd eindig.
Conclusie: volgens ons is deze Schwarzschild-geometrie slechts een momentopname van een niet-stationaire overdrachtsproces in hyperspatie. Het is een beetje alsof je een foto ziet van een anvil die iemand in de lucht heeft gegooid en daaruit concludeert dat anvils in de lucht kunnen zweven. De Schwarzschild-oplossing is ook oplossing van een vergelijking die vereist dat het universum volkomen leeg is, dat de materie-energie-dichtheid overal nul is. Dan is het een beetje alsof je een foto ziet van een voetbalveld, genomen op het moment dat de spelers even rusten tijdens de korte pauze, en daaruit concludeert dat voetbal wordt gespeeld op een leeg veld.
Maar wat zou er dan gebeuren?
We hebben aangetoond dat bij het passeren van de sferische kegeling de tijdcoördinaat omkeert. Als we t' de tijd (van Eddington) noemen die overeenkomt met ons "ruimtetijd-voorvlak" en t'* de "tijdsmarker" van het tweelinguniversum, dan geldt:
t'* = - t'
Let op dat Andrei Sakharov in 1967 als eerste suggereerde dat bij de "Big Bang" twee tweelinguniversa zijn ontstaan met tegengestelde tijden.
Er restte nog te bepalen wat het betekenis van deze "tijdsomkering" was. Betekende dit dat je jonger zou worden als je in het tweelinguniversum dook? We hebben aangetoond dat dit niet zo is. Je neemt je eigen tijd mee, en als je op een symmetrische structuur iets verder uitkomt, kom je niet jonger uit dan toen je het tweelinguniversum binnenkwam. Het is onmogelijk om "je eigen vader te vermoorden", zoals in het thema van Barjavel's "De onvoorzichtige reiziger".
Groepentheorie heeft ons ook geholpen de "ontologische" betekenis van deze omkering van de tijdcoördinaat te begrijpen. Wanneer een deeltje in het tweelinguniversum duikt, blijft zijn gravitationele invloed altijd merkbaar, maar zijn bijdrage aan het gravitatieveld wordt dan negatief. Zijn "gravitationele massa" keert om.
Terzijde: dit volledig rechtvaardigt het model dat is ontwikkeld op de website en in het boek "We hebben de helft van het universum verloren" (Albin Michel). Massa's die in het tweelinguniversum ronddwalen gedragen zich ten opzichte van massa's in ons universum als repulsieve massa's. De volledige dynamica is:
-
In ons universum trekken massa's elkaar aan volgens Newton.
-
In het tweelinguniversum trekken massa's elkaar ook aan volgens Newton.
-
Wanneer massa's in twee "aangrenzende" delen van de ruimtetijd interageren, stoten ze elkaar af.
Dit is een eenvoudige gevolg van deze omkering van de tijdsvariabele (maar niet van de eigen tijd).
Groepentheorie laat ook zien dat de dualiteit materie-antimaterie in beide universa bestaat, zoals vermoed door Andrei Sakharov.
Wanneer een materiedeeltje erin slaagt om in het tweelinguniversum te passeren (we zullen straks uitleggen hoe), blijft het materie, maar "CPT-symmetrisch". Dat is de betekenis van het beroemde "CPT-theorema" van de natuurkunde (nooit bewezen. Wat Souriau een "fysicus-theorema" noemt). Klassiek zeggen fysici: "De CPT-symmetrische van materie is identiek aan materie". Met CPT-symmetrie bedoelen we:
-
Het deeltje beweegt in dit nieuwe referentiestelsel "terug in de tijd": T-symmetrie.
-
Het is enantiomorf, links-rechts omgekeerd, "in de spiegel": P-symmetrie.
-
Alle zijn "ladingen" zijn omgekeerd, inclusief elektrische lading als die aanwezig is. Dat is C-symmetrie.
Voor ons is de CPT-symmetrische van een deeltje een deeltje uit het tweelinguniversum (of dat in het tweelinguniversum is gegaan). Het is een tweelingdeeltje. Omdat er T-symmetrie is, is zijn massa automatisch omgekeerd (resultaat oorspronkelijk verkregen door J.M. Souriau in 1974).
De C-symmetrische van een deeltje is zijn antideeltje.
Feynman had gevonden dat de PT-symmetrische van een deeltje zich gedroeg als een antideeltje. Klopt, maar het gaat om... de antimaterie van het tweelinguniversum, met negatieve massa (aangezien er ook T-symmetrie is). Alles komt voort uit groepentheorie. Dit werk maakt de verbinding met alles wat tot nu toe is gepubliceerd (op de website, zie Geometrische Fysica B onder het gedeelte "geometrisering van antimaterie"). We kunnen dit idee van omkering van ruimte overtuigend illustreren. In het artikel wordt veel nadruk gelegd op het begrip "representatieruimte". Dat is de ruimte waarin we mentaal geometrische objecten voorstellen. We hebben hierboven een afbeelding gebruikt waarin Lanturlu zijn hand in deze sferische kegeling stopt, die leek te ontstaan in een ander driedimensionaal universum. Voor gemak van tekenen hebben we de twee figuren gescheiden. Maar er is iets wat u waarschijnlijk niet meteen opviel: Lanturlu steekt een linker hand in deze sfeer, en er komt een rechter hand uit. Dat was niet toevallig.
Waar is dat tweede universum?
Het is ingebed in het onze, wat moeilijk te begrijpen is. Maar dit wordt eenvoudiger als we terugkeren naar het tweedimensionale oppervlak, het "Flatland".