Hier hebben we de figuur een beetje "ontvet" om hem leesbaarder te maken. Een oppervlak is een 2D-voorwerp, hier "ondergedompeld" in een 3D-euclidisch ruimte, anders gezegd in R3. Boven kunnen we het "zien". Het blijkt dat dit oppervlak in deze ruimte R3 "isometrisch" kan worden ingebed. Dat wil zeggen dat als we er een stuk plakband opplakken, dit daadwerkelijk op een geodeetische lijn komt die twee punten A en B op het oppervlak verbindt. Bovendien is de lengte gemeten langs deze geodeetische boog ook correct. Het is isometrisch, etymologisch "dezelfde lengte". Onderaan staat een 2D-representatie-ruimte die niet isometrisch is. De lengte van de boog A'B' is niet gelijk aan die van de boog AB. Maak het volgende object aan met een vel papier, een potlood en een paar scharen:
Deze tekening is niet isometrisch. Ten eerste is de aangegeven curve duidelijk geen geodeetische van het vlak. Ten tweede is de lengte van de boog AB niet "de echte lengte", zoals die gemeten zou worden op "het echte oppervlak", dat "niet gatig" is. Dit gatige papier is slechts een handige representatie, meer niet. Net zoals deze techniek waarbij je één deel van de curve aan de voorzijde tekent en het andere aan de achterzijde, waarbij de gehele curve pas door transparantie zichtbaar wordt.
Op de volgende tekening zijn de geodeetische lijnen van dit oppervlak weergegeven, berekend door een computer (die staat in het artikel).
De stippellijnen van de curves komen overeen met de takken die "aan de andere kant" liggen (zoals wanneer je het oppervlak "van bovenaf" bekijkt).
Nu een vraag: kan ik een vlakke en isometrische representatie maken van deze geodeetische lijnen? Het antwoord is ja. We hebben gezien dat we de variabele r konden vervangen door de variabele r. De geodeetische lijnen kunnen dus perfect worden weergegeven in een vlak met "poolcoördinaten" (r, j). De geodeetische lijnen (hier een niet-radiale) hebben er dan zo uit:
Deze representatie is isometrisch. Stel dat drie punten A, B en C op het oppervlak liggen, op dezelfde geodeetische. A', B' en C' zijn de overeenkomstige punten in deze representatie [r, j]. De punten A en B liggen op hetzelfde halve oppervlak en de geodeetische boog die ze verbindt gaat niet door de keelcirkel heen. Gemeten in dit vlak, langs de afbeelding van deze geodeetische (die uiteraard geen geodeetische van dit vlak is), is de lengte van de boog A'B' gelijk aan die van de boog AB, gemeten op het oppervlak.
De boog BC gaat door de keelcirkel heen. Hetzelfde geldt daarvoor.
Maar deze isometrie geldt niet voor alle geodeetische lijnen van het oppervlak. Er is er één, uniek: de keelcirkel, hier teruggebracht tot een punt. Dit is de enige geodeetische van dit oppervlak die zichzelf sluit.
Geodeetische zijn onze enige manier om een oppervlak of algemener een niet-vlakke, niet-euclidische ruimte te begrijpen. Ze zijn betrouwbare referentiepunten (hoewel we ze vaak vervormd zien door onze 2D- of 3D-representatiesystemen, in perspectief). Deze geodeetische lijnen bestaan echt, zij zijn intrinsiek. De geodeetische van een bol zijn bijvoorbeeld grote cirkels. Bij ruimtetijd zijn er oneindig veel ruimtetijd-geodeetische lijnen. Deze bestaan intrinsiek en om ze te begrijpen (etymologisch: omsluiten, in je armen nemen) zoeken we, zoals blinde mensen, naar hen door ze "aan te raken". Maar de coördinaatlijnen van tijd en ruimte hebben geen intrinsieke werkelijkheid, net zoals meridianen en parallellen geen integraal onderdeel vormen van een bol. Ze zijn niet "bijgeleverd". De Schwarzschild-geometrie, oplossing van de Einstein-veldvergelijking, is een 4D-hypersurface. Daar hebben theoretici families van krommen "met t constant", "met r constant", enzovoort, op aangeplakt.
Graveer dit in je hoofd: deze keuzes zijn volledig willekeurig. Maar zelfs theoretische kosmologen verliezen vaak het oog voor dit punt, dat ze af en toe moeten worden herinnerd door wiskundigen-geometers. Het was dus volkomen legitiem om de ruimte- en tijdscoördinaten te veranderen.
Op dit moment zult u misschien zeggen: maar dan is het toch moeilijk te zeggen welke coördinatenset beter is dan een andere? Waar liggen het redelijke en het irrationele? Dat is een kwestie van smaak. Coördinaten kiezen voor ruimte en tijd is het aanbrengen van een fysieke visie op een wiskundig object. Bij de Aarde gaven we polen omdat ze draait. Het noordpoolpunt is simpelweg het punt op het aardoppervlak waar de normaal wijst naar de Poolster, het hemellichaam dat in de sterrenhemel vast staat.
Over isometrie en niet-isometrie illustreert de cartografie de problemen die ontstaan bij het proberen een bol op een vlak te projecteren. De Mercator-projectie (projectie van de aardbol op een cilinder die langs de evenaar raakt) is erg handig voor mensen die dicht bij de evenaar wonen. Voor iemand in een pool is er echter een vervelende verrassing: zijn domein, puntvormig, verandert in een rechte lijn...
Er zijn drieënzeventig manieren om een bol op een vlak te projecteren. Stel dat we deze gebruiken:
Stel dat we kaarten maken op deze manier en ze verkopen. Onmiddellijk succes onder bewoners van de twee polen: deze projecties zijn dan in die gebieden bijna isometrisch. Ze zijn erg handig om een idee te krijgen van afstanden in die uithoeken. Als de aarde alleen op haar polen bewoonbaar was en elders vrij onherbergzaam, zouden kaarten waarschijnlijk op deze manier zijn gemaakt. Men zou merken dat de randcirkel van de vlakke projectie dan niet meer overeenkomt met de evenaar, maar met een parallel (hier in het noordelijk halfrond). In de buurt van dit gebied zal de kaart ver af staan van isometrie. Bovendien moet op deze vreemde kaart een deel van het grondgebied in volle lijn en een ander deel in stippellijnen worden weergegeven, omdat het zich bevindt aan de andere kant van die parallel waar het object vreemd genoeg "terugklapt". Tenzij we kaarten maken in de vorm van schijven, waarop het volgende terrein op de achterkant van het vel wordt afgebeeld.
Laten we proberen dit alles "in 3D te denken". We hebben Lanturlu getekend die zijn linkerarm in de keelcirkel duwt en de twee tekeningen gescheiden, wat lijkt te suggereren dat deze tweede 3D-ruimte "ergens anders" zou kunnen zijn. Om correcter te zijn, had men de twee tekeningen in perspectief moeten overlappen, met de uitkomende hand (rechterhand) als stippellijn weergegeven.
Ik heb het geprobeerd, hoewel het niet eenvoudig was. Men kon ook twee verschillende kleuren gebruiken, bijvoorbeeld rood voor wat zich bevindt in het eerste 3D-oppervlak van onze niet-eenvoudig samenhangende ruimte en groen voor wat zich in het andere oppervlak bevindt. Een rode Lanturlu zou dan bijvoorbeeld de linker, rode hand zien die hij in de keelcirkel duwde, terugkomen als een groene rechterhand.
Jammer dat Raymond Devos niet geïnteresseerd is in wiskunde. Alhoewel...
Natuurlijk is er niets "in" de keelcirkel. Deze indruk van binnenruimte of volumineuze inhoud komt alleen voort uit de keuze van deze 3D-representatie. Net zoals er geen papier was in het gat in het papier. Het was slechts een gevolg van de keuze van deze vlakke representatie. Iemand die vasthoudt aan deze vlakke representatie zonder het uitgesneden cirkelvormige stuk papier te verwijderen en steeds blijft vragen "wat zit er binnenin?" is "naast de zaak" (of liever... binnenin). Deze plaat bestaat niet.
Laten we terugkeren naar 3D. Wanneer Lanturlu zijn arm in de keelcirkel duwt, heeft die ook geen binnenruimte. Deze indruk van binnenruimte komt alleen voort uit de keuze van de representatie. Men kan zich voorstellen dat Lanturlu en zijn uitkomende hand zijn getekend op een driedimensionaal papier waar een bol (3D-equivalent van het cirkelvormige gat in het papier) is verwijderd. Wiskundig is een cirkel een "bol b2" en een "volumebol" een "bol b3". We noemen een "bol" een samenhangende cel (zie het Topologicon, in de "CD-Lanturlu"), dus een object dat zichzelf kan samendrukken tot een punt. Deze 2D- en 3D-voorbeelden illustreren het aanpakplan van het artikel: de Schwarzschild-bol heeft geen "binnenkant" en geen "centrum". Wanneer je hem overstijgt (hypertorische overgang) bevind je je op een "andere zijde van ruimtetijd".
Wat is de rechtvaardiging voor deze nieuwe interpretatie van de "Schwarzschild-geometrie"?
Antwoord: het verwijderen van singulariteiten. Kruskal, met zijn "analytische vervolg", probeerde met alle geweld "binnen" die vervloekte bol te dringen. Hij slaagde er alleen in om de singulariteit (die oorspronkelijk werd ingenomen door de Schwarzschild-bol) naar een punt in het "midden van dit object" te verplaatsen. We hebben ons tevreden gesteld met deze truc. Maar wij denken dat het beter is zonder singulariteit.
De natuur protesteert, wanneer je haar onder een verkeerde hoek bekijkt, door singulariteiten te produceren. Zo zien wij de dingen. Het is een a priori standpunt over het "werkelijke". Wij denken dat singulariteiten niet bestaan in de natuur. Wij denken ook dat oneindigheid niet bestaat. Maar zoals Kipling zou zeggen, dat is een ander verhaal. Ik had vorig jaar heftige discussies hierover met Souriau.
-
Wat bewijst mij dat oneindigheid bestaat?
-
Maar zonder oneindigheid is er geen wiskunde meer!
-
Heeft je oneindigheid al ontmoet? Heb je het ooit gezien, in je hand gehouden?
-
Het is een... gemak.
-
Je genereert oneindig grote getallen door te veronderstellen dat je een 1 kan optellen bij een getal, oneindig vaak. Dus gebruik je een sequentiële oneindigheid om een numerieke oneindigheid te genereren. Dat is een cirkel.
-
Goed, laten we zeggen dat het een gemak is. De mens heeft twee belangrijke dingen uitgevonden tijdens zijn geschiedenis: oneindigheid en de wc...
Ik geloof ook niet dat oneindig klein fysiek of wiskundig bestaat. Maar dat zal onderwerp van andere artikelen zijn. Laat we deze vragen nu even opzij zetten. Alleen een zijdelingse opmerking.
Terloops: zie "Scale Invariant Cosmology" van P. Midy en J.P. Petit, International Journal of Modern Physics D, juni 1999, bladzijden 271-280, waarin we de "initiële singulariteit van het universum" hebben doen verdwijnen. Het is een betere wiskundige formulering van de gedachte die ik in 88-89 publiceerde in Modern Physics Letters A (artikelen op de website).
Ik hoop dat wanneer u deze regels leest, we met hulp van de heren Lecot of Boland tijd hebben gehad om dit nieuwe artikel op de site te plaatsen. Maar ongeacht of het daar staat, durf er niet in te duiken. Zoals ik meen Archimedes heeft geplaatst aan de ingang van een heiligdom-wetenschap: "Niemand mag hier binnenkomen die geen meetkundige is". Het zijn tensoren en zulke dingen, een domein waar Midy zich graag in begeeft, maar het is net zo onverteerbaar als Engels pudding.
Zo zien we dus uit dit gesprek dat onze fysieke visie op fenomenen afkomstig is uit de manier waarop wij ze ons voorstellen. Door de ruimtelijke coördinaten te veranderen, hebben we de "lokale topologie" gewijzigd, een term die volgens Souriau wiskundig zou moeten worden nader toegelicht. In feite is deze zin een zachte omstandigheid: hij begon plotseling te schreeuwen toen ik dat woord uitsprak. Zijn kat Pioum en ik hadden het moeilijk om hem te kalmeren. Souriau is de Tournesol van de wiskunde. Hij oefent graag de matige wiskundige verontwaardiging tot het uiterste uit. Maar deze uitbarstingen zijn niet te verwarren met gewone woede. Ik zou in dit domein eerder "Monsieur Jourdain" zijn. Fysici doen vaak wiskunde zonder het te weten (en omgekeerd natuurlijk).
Stel dat we tijdelijk het gebruik van "niet-gedefinieerde" termen aanvaarden, dan lijkt het alsof tot nu toe is aangenomen dat de "lokale topologie" van de Schwarzschild-geometrie "hypersferisch" was (dat de Schwarzschild-bol een "bol b3" bevatte). We hebben die "hypertorisch" gemaakt. Daarom stelde ik de term (niet gecontroleerde) "hypertorische geometrieën" voor.
We hebben eerder gesproken over ruimte-inversie. Dat kan worden behandeld met groepen. Kan men dit op een andere manier begrijpen? We zagen dat Lanturlu, die zijn linkerarm in de keelcirkel duwde, zag dat er een rechterhand uitkwam. In feite heeft elk atoom van zijn hand een "radiale" geodeetische gevolgd, loodrecht op het oppervlak.
Terzijde: we hadden vergeten te zeggen dat deze representatiemethode niet isometrisch is. Net zoals bij het gat in het papier eerder. Als je de afstand meet die een testatoom uit Lanturlus hand aflegt in beide halfruimtes, komt dit niet overeen met de echte lengte die je kunt berekenen met een touwtje.
Laten we terugkeren naar een tekening van eerder.
Hier hebben we een geodeetische boog AB getekend die de keelcirkel overschrijdt, en zijn afbeelding in de vlakke representatierepresentatie onderaan. Het niet-isometrische karakter van de representatie wordt dan nog duidelijker. De lengtes van de bogen AB en A'B' zijn sterk verschillend.
Het is natuurlijk moeilijk te verbeelden dat je een touwtje door de keelcirkel van een hypertorische overgang kunt doen. Als je het touwtje strak trekt, krijg je een geodeetische (de kortste weg). Bovendien, als je de lengte van dit touwtje meet in de 3D-representatierepresentatie (Lanturlu die zijn arm door de opening duwt) en vervolgens probeert de lengte van dat touwtje in deze ruimte te meten, vind je een kortere lengte A'B'. De echte lengte, gemeten in de 3D-hypersurface, zou langer zijn, zoals hierboven in 2D is weergegeven. De 3D-representatie waarin Lanturlu staat, is dus niet-isometrisch, net als de vlakke representatie van de tekening hierboven.
Uiteindelijk worden deze zo subtiele concepten, afkomstig uit de groepentheorie, minder ondoorgrondelijk dankzij een paar tekeningen, mits je "in de ruimte kunt zien". Wat ik probeer te leren is: in een gekromde 3D-ruimte kunnen zien.
Laten we terugkeren naar het fenomeen van enantiomorfie, van objecten die hun oriëntatie veranderen wanneer ze de keelstructuur overstijgen, zowel in 2D als in 3D. Overweeg in 2D radiale geodeetische lijnen. Het woord is ongepast geworden, want een straal is normaal een rechte lijn die van een punt uitgaat. In feite gaat het om geodeetische met j constant. Zie een figuur hierboven waarin deze azimutale coördinaat is aangegeven. Maar voor beknoptheid blijven we het woord "radiaal" gebruiken, tussen aanhalingstekens. Merk op dat dit woord nog steeds een gevolg is van de keuze van een representatierepresentatie. Stel je voor dat een R (die niet identiek is aan zijn spiegelbeeld, zijn enantiomorfe afbeelding) als een slecht aangeplakte decal, langs onze torische passage glijdt, elk punt volgend langs een geodeetische. Deze letter komt "aan de andere kant" terecht. Wat interessant is, is om het resultaat van deze operatie te bekijken in de vlakke projectie, in de representatierepresentatie.
We hebben een soort lint getekend waarvan de randen worden gevormd door twee geodeetische lijnen. Wat merken we op? In de representatierepresentatie is de letter R omgekeerd geworden, is een Russisch "ia" geworden, een omgekeerde R, enantiomorf. Nu beginnen we te begrijpen waarom Lanturlus hand, wanneer hij uitkomt in de "3D-representatierepresentatie", lijkt omgekeerd, en enantiomorf is geworden.