Hier,
we hebben de figuur een beetje "ontvet" om hem leesbaarder te maken. Een oppervlak is een 2D-objekt, hier "gedompeld" in een 3D-ruimte, euclidisch, anders gezegd in R3. Boven kunnen we "het zien". Het blijkt dat dit oppervlak op een "isometrische" manier in deze R3-ruimte gedompeld kan worden.
Dat wil zeggen dat als we er een stuk plakband op plakken, dit zich daadwerkelijk op een geodetische lijn inschrijft die twee punten A en B van het oppervlak verbindt.
Bovendien is de lengte gemeten langs deze geodetische boog ook correct.
Dit is iso-metrisch, etymologisch "dezelfde lengte". Onder staat een 2D-representatieruimte, die een representatie geeft die niet isometrisch is.
De lengte van de boog A'B' is niet gelijk aan die van de boog AB. Maak het volgende objekt,
met behulp van een vel papier, een potlood en een schaar:
Deze tekening is niet isometrisch. Ten eerste is de aangegeven curve duidelijk geen geodetische lijn van het vlak. Ten tweede is de lengte van de boog AB niet "de echte lengte", diegene die men op "het echte
oppervlak" zou meten, dat "niet gaat". Dit gaat vel papier is slechts een handige representatie, niet meer.
Hetzelfde geldt voor deze techniek die bestaat uit het tekenen van een streep op de voorzijde van het vel en de andere op de achterzijde, waarbij de hele curve alleen in transparantie verschijnt.
Op de volgende tekening zijn de geodetische lijnen van dit oppervlak weergegeven, berekend
door een computer (die in het artikel voorkomt).
De gestippelde delen van de curves corresponderen met de takken die "aan
de andere kant" zijn (zoals men het oppervlak "van boven" bekeek).
Nu, een vraag: kan ik een vlakke en isometrische representatie van deze geodetische lijnen construeren? Het antwoord is ja. We hebben gezien dat we de variabele r konden veranderen in de variabele r. Dan kunnen de geodetische lijnen perfect worden weergegeven in een vlak van "polaire coördinaten" ( r , j
). De geodetische lijnen (hier een niet-radiale geodetische lijn) hebben de volgende vorm:
Deze representatie is isometrisch. Laat drie punten A , B , C behoren
tot het oppervlak, gelegen op dezelfde geodetische lijn. A' , B' en C' zijn de homologe punten, in deze representatie [ r , j ].
De punten A en B liggen op dezelfde halve nappe en de geodetische boog die hen verbindt kruist niet de keelcirkel. Gemeten in dit vlak, langs de afbeelding van deze geodetische lijn (die uiteraard geen geodetische lijn van dit
vlak is), is de lengte van de boog A'B' gelijk aan die van de boog AB, gemeten op
het oppervlak.
De boog BC
kruist de keelsfeer. Hetzelfde geldt.
Maar deze isometrie geldt niet voor alle geodetische lijnen van het oppervlak.
Er is er één, uniek in zijn soort: de keelcirkel, hier gereduceerd tot een punt. Dit is de enige geodetische lijn van dit oppervlak die zich op zichzelf sluit.
De geodetische lijnen zijn onze enige manier om een oppervlak of algemener
een niet-vlakke, niet-euclidische ruimte te begrijpen. Dit zijn betrouwbare referenties (zelfs als we ze vervormd zien via onze 2D- of 3D-representatiesystemen (in perspectief). Deze geodetische lijnen, we weten dat ze "bestaan",
dat ze intrinsiek zijn. Die van een sfeer zijn bijvoorbeeld grote cirkels.
Wat betreft ruimtetijd, deze zijn bevolkt door een infinititeit van ruimtetijd-geodetische lijnen. Deze geodetische lijnen bestaan intrinsiek en, om te begrijpen
(etymologisch: omarmen, in de armen nemen) zoeken we, als blinden, om deze geodetische lijnen te "betasten". Maar de coördinatenlijnen van tijd en ruimte hebben geen intrinsieke realiteit, net zoals de twee groepen meridianen en parallellen geen integraal onderdeel vormen van een sfeer.
Ze worden niet "meegeleverd". De Schwarzschild-geometrie, oplossing van de Einstein-veldvergelijking, is een 4D-hypersurface. Hierop hebben theoretici families van curves "bij t constant", "bij r constant",
etc. opgelegd.
Prent u in het hoofd dat deze handelingen volledig arbitrair blijven. Maar
zelfs specialisten in theoretische kosmologie verliezen vaak het bewustzijn van dit punt, dat wiskundigen-geometristen hen van tijd tot tijd moeten herinneren.
Het was dus volkomen legitiem om van ruimte- en tijdcoördinaten te veranderen.
Op dit punt zult u zeggen: maar wat maakt het mogelijk om te zeggen of deze keuze van coördinaten beter is dan een andere? Waar bevinden zich het redelijke en het onredelijke? Dit is een kwestie van smaak. Het kiezen van ruimte- en tijdcoördinaten, is het opleggen van een fysieke visie op een wiskundig objekt. In het geval van de Aarde, hebben we haar polen gegeven omdat ze draait. De noordpool is simpelweg het punt van het oppervlak "Aarde" waarvan de normaal naar de Poolster wijst, een ster die vast blijft in de sterrenkoepel.
Over isometrie en niet-isometrie, de cartografie illustreert de problemen
die voortvloeien uit pogingen om een sfeer op een vlak te representeren. De Mercator-projectie (projectie van de aardse sfeer op een cilinder die langs de evenwijdige raakt) is zeer aangenaam voor mensen die dicht bij de evenaar wonen.
Daarentegen heeft de bewoner van een van de polen een onaangename verrassing: zijn domein, puntueel, verandert in een rechte lijn...
Er zijn zesendertigduizend manieren om een sfeer op een vlak te projecteren. Stel je deze voor:
Stel je voor dat we geografische kaarten op dit model maken en ze verkopen. Onmiddellijk succes bij de bewoners van de twee polen: deze projecties zijn dan, in deze regio's, quasi-isometrisch. Zeer handig om een idee te krijgen van de afstanden in die hoeken. Als de Aarde bewoonbaar was op haar polen en relatief onherbergzaam elders, zouden de kaarten waarschijnlijk op deze manier zijn gemaakt. We merken op dat dan de grenscirkel van de vlakke projectie niet meer de evenaar correspondeert, maar een parallel (hier behorend tot het noordelijke halfrond). In de buurt van deze regio zal de kaart zeer ver van isometrie zijn. Bovendien, op deze vreemde kaart, zal een deel van het gebied met volle lijnen moeten worden weergegeven en het andere met stippen, omdat het zich voorbij deze parallel bevindt waar het objekt, vreemd genoeg, lijkt "op te vouwen". Tenzij we kaarten leveren die in de vorm van schijven zijn en waar het vervolg van het terrein op de andere zijde zou staan, op de achterkant van het vel.
Laten we "dit alles in 3D denken". We hebben Lanturlu weergegeven terwijl hij zijn linkerarm in de keelsfeer dompelt en we hebben de twee tekeningen gescheiden, wat lijkt te suggereren dat deze tweede 3D-ruimte "elders" kan zijn. Om correcter te zijn, had men de twee tekeningen in perspectief moeten overlappen door de hand (rechts) die "in stippen"
opduikt.
Ik heb geprobeerd dit te doen, hoewel het niet extreem makkelijk was. Men had ook twee verschillende kleuren kunnen gebruiken, bijvoorbeeld rood voor wat in de eerste 3D-helling van onze niet-simply connected 3D-ruimte zou zijn en groen voor wat in de andere helling is. Een rode Lanturlu zou dan bijvoorbeeld de rode, linkerhand die hij in de keelsfeer heeft gedompeld, als een groene "rechterhand" zien opduiken.
Jammer dat Raymond Devos zich niet voor wiskunde interesseert. Hoewel...
Uiteraard "in" de keelsfeer is er niets. Deze schijn van een binnenkant, van volumetrische inhoud, is enkel te danken aan de keuze van deze 3D-representatieruimte. Net zoals er binnen het gaat in het vel papier ook geen papier was. Dit was slechts een accident verbonden aan de keuze van deze vlakke representatieruimte. Iemand die zich zou vastklampen aan deze vlakke representatie zonder het uitgesneden schijfje uit het papier te verwijderen en die zou volharden in het vragen "wat is er binnen?" zou "naast de plaat" zijn
(of beter... binnen). Deze "plaat" "bestaat niet".
Laten we terug naar 3D gaan. Wanneer Lanturlu zijn arm in de keelsfeer dompelt, heeft deze ook geen binnenkant. Deze schijn van een binnenkant is enkel te danken aan deze keuze van representatieruimte. Men zou kunnen overwegen dat Lanturlu en zijn opduikende hand getekend zijn op een vel papier dat drie dimensies bezit, waar men .. een sfeer had verwijderd (3D-equivalent van het schijfje van het vel papier). Wiskundig, een schijf is een "b2-bol" en een "volume-sfeer" een "b3-bol". Men noemt "bol" een contractiele cel (zie de Topologicon, in de "CD-Lanturlu"), dat wil zeggen een objekt dat zich naar een punt kan samentrekken door zichzelf te doorlopen. Deze 2D- en 3D-voorbeelden zijn hier om het aanvalsplan in het artikel te illustreren: de Schwarzschild-sfeer heeft geen "binnenkant", noch een "centrum". Wanneer men deze kruist (hypertorische passage) komt men in een "andere helling van ruimtetijd" terecht.
Wat is de rechtvaardiging van deze nieuwe interpretatie van de "Schwarzschild-geometrie"?
Antwoord: de eliminatie van singulariteiten. Kruskal, met zijn "analytische uitbreiding", heeft alle mogelijke pogingen gedaan om ten koste van alles "in" deze verdomde sfeer te dringen. Hij slaagde er enkel in de singulariteit (rol initieel gespeeld door de Schwarzschild-sfeer) te verdringen naar een punt gelegen "in het centrum van dit objekt". Men heeft zich tevreden gesteld met deze truc. Maar we denken dat zonder singulariteit, het toch beter is.
De Natuur protesteert, wanneer men haar vanuit het verkeerde oogpunt bekijkt, door singulariteiten uit te scheiden. Zo zien we de dingen. Dit is een vooraf bepaald standpunt over het "reële". We denken dat singulariteiten in de natuur niet bestaan. We denken ook dat het oneindige niet bestaat. Maar, zoals Kipling zou zeggen, dit is een ander verhaal. Ik had een jaar geleden verhitte discussies met Souriau over deze kwestie.
-
Wat bewijst mij dat het oneindige bestaat? ....
-
Maar, zonder oneindige, zijn er geen wiskunde meer! ....
-
Het oneindige, heb je het al ontmoet? Heb je het al gezien, in de hand gehouden?
-
Het is een .... handigheid.
-
We genereren oneindig grote getallen door aan te nemen dat men 1 kan toevoegen aan een getal, onbepaald. Dus men gebruikt een sequentieel oneindige om een numeriek oneindige te genereren. Dit bijt in zijn eigen staart, jouw ding.
-
Goed, laten we zeggen dat het een handigheid is. De mens heeft twee belangrijke dingen uitgevonden tijdens zijn geschiedenis: het oneindige en de wc's....
Ik geloof ook niet dat het oneindig kleine bestaat, noch fysiek, noch
wiskundig. Maar dit zal het onderwerp zijn van andere stukken. Laten we voor het moment deze kwesties terzijde leggen. Simpele digressie.
Terzijde, zie "Scale Invariant Cosmology" van P.Midy en J.P.Petit, International Journal of Modern Physics D, juni 1999, pagina's 271-280 waar we "de initiële singulariteit van het universum" hebben laten verdwijnen. Dit is een meer wiskundig opgebouwde herformulering van het idee dat ik in 88-89 in Modern Physics Letters A had gepubliceerd (stukken op de site).
Ik hoop dat wanneer u deze regels leest, we met de hulp van de heren Lecot of Boland, de tijd hebben gehad om dit nieuwe artikel op de site op te nemen. Maar hoe dan ook, zelfs als dit werk er zou zijn gereproduceerd, waag u er niet aan. Zoals Archimedes, geloof ik, had ingeschreven aan de ingang van een sanctuarium-wetenschap "niemand treedt hier binnen die geen geometrist is". Dit is tensoren en co., een domein waarin Midy zich vermaakt, maar het is ook indigeste als Engels pudding.
We zien dus, door deze discours, dat de fysieke visie die we hebben van de
fenomenen voortkomt uit de manier waarop we hebben besloten ze te representeren. We hebben, door de ruimtelijke coördinaten te veranderen, van "lokale topologie" veranderd, een woord dat wiskundig zou moeten worden gepreciseerd, zegt Souriau. In feite, deze zin is een zachte eufemisme: hij begon simpelweg te brullen toen ik dit woord uitsprak. Zijn kat Pioum en ik hebben alle moeite gehad om hem te kalmeren. Souriau, dat is de Tintin van de wiskunde. Hij oefent graag wiskundige verontwaardiging uit tot het hoogste punt. Maar deze uitbarstingen van verontwaardiging moeten niet verward worden met woede in de triviale zin van het woord. Ik zou eerder "Monsieur Jourdain" zijn, in dit domein. Fysici doen vaak wiskunde zonder het te weten (en vice versa trouwens).
Door, voorlopig, het gebruik van "niet gepreciseerde" woorden toe te laten, gaat alles alsof we tot nu toe hebben overwogen dat de "lokale topologie"
van de Schwarzschild-geometrie "hypersferisch" was (dat de Schwarzschild-sfeer een "b3-bol" "bevat"). We hebben deze "hypertorisch" gemaakt. Dit is de reden waarom ik de (ongeverifieerde) benaming "hypertorische geometrieën" heb voorgesteld.
We hebben hierboven de inversie van de ruimte vermeld. Dit wordt onderhandeld met de groepen. Kan dit anders begrepen worden? We hebben gezien dat Lanturlu, zijn linkerarm in de keelsfeer dompelend, zag ... een rechterhand opduiken. In feite, elk atoom van zijn hand volgde een "radiale" geodetische lijn, loodrecht
op het oppervlak gericht.
Merk terzijde op, we hadden vergeten te zeggen, dat deze representatiewijze niet isometrisch is. Net als bij het gaat in het papier, hierboven. Als men de lengte zou meten die door een getuige-atoom behorend tot de hand van Lanturlu in de twee halve ruimtes wordt afgelegd, zou dit niet overeenkomen met de echte lengte die men met een draad kan berekenen.
Laten we een hierboven gegeven tekening opnieuw nemen.
Hier hebben we een geodetische boog AB weergegeven die de keelcirkel kruist,
en zijn afbeelding in de vlakke representatieruimte, onder. Het karakter van niet-isometrische representatie verschijnt dan nog duidelijker. De lengtes van de bogen AB en A'B' zijn zeer verschillend.
Het is uiteraard vrij moeilijk om je voor te stellen dat men een draad in de keelsfeer van een hypertorische passage kan rijgen. Door de draad te spannen, zou men trouwens een geodetische lijn (kortste pad-lijn) verkrijgen. Overigens, als men de lengte van deze draad in de 3D-representatieruimte (Lanturlu die zijn arm rijgt) zou meten en men waagt zich aan het meten van de lengte van genoemde draad, in deze ruimte, zou men een kortere lengte A'B' vinden. De echte lengte, gemeten in de 3D-hypersurface, zou langer zijn, zoals hierboven in 2D weergegeven. De 3D-representatie waar Lanturlu voorkomt is dus niet-isometrisch,
net als de vlakke representatie van de figuur hierboven.
In de kern, deze zo subtiele concepten, voortkomend uit de groepentheorie, worden uiteindelijk minder hermeneutisch, dankzij enkele tekeningen, op voorwaarde van "in de ruimte te zien". Wat ik u momenteel probeer te leren, is
om in een gebogen 3D-ruimte te zien.
Laten we terugkomen op deze kwestie van enantiomorfie, inversie van objekt wanneer ze de keelstructuur kruisen, in 2D of in 3D. Overweeg, in 2D, "radiale" geodetische lijnen. Het woord is onjuist geworden omdat een straal in principe een rechte lijn is die van een punt vertrekt. Het gaat in feite om geodetische lijnen
bij j constant. Zie een figuur, hierboven, waar deze azimuthale coördinaat is aangegeven. Maar, voor beknoptheid zullen we het woord "radiaal" blijven gebruiken met aanhalingstekens. Merk op dat dit woord "radiaal" nog steeds een bijproduct is van de keuze van een representatieruimte. Stel je voor dat een letter
R (die niet identiek is aan haar spiegelbeeld, aan haar enantiomorfe afbeelding) glijdt, als een slecht geplakte decalcomanie, langs onze torische passage, elk van haar punten volgend langs een geodetische lijn. Deze letter zal "aan de andere kant" terechtkomen. Wat interessant is, is het resultaat van de operatie te bekijken in de vlakke projectie, in de representatieruimte.
We hebben een soort lint weergegeven, waarvan de randen bestaan uit twee
geodetische lijnen. Wat constateert men? In de representatieruimte, heeft de letter
R zich omgekeerd, is geworden een Russische "ia", een omgekeerde R, enantiomorf. We beginnen nu te begrijpen waarom de hand van Lanturlu, bij het opduiken in "on 3D-representatieruimte" lijkt te zijn omgekeerd,
enantiomorf is geworden.