Twijfelachtige zwart gat en tweelinguniversum

Cosmologie Problematisch zwart gat.

Jean-Pierre Petit Observatorium van Marseille, Frankrijk Pierre Midy CRI Orsay, Frankrijk Voor correspondentie:

Samenvatting

Vertrekkend van het zogenaamde zwart gat-model, dat wordt beschouwd als een fysieke interpretatie van de Schwarzschild-geometrie, heroverwegen we het probleem van het lot van een neutronenster wanneer deze haar stabiliteitsgrens overschrijdt. We introduceren eerst een nieuw meetkundig hulpmiddel: de hypertorische meetkunde, aan de hand van voorbeelden in 2D en 3D (paragraaf 2). We tonen aan dat de pathologieën die zijn verbonden aan metrieken, voortvloeiend uit hun lijnelement dat is uitgedrukt in een bepaald coördinatensysteem, kunnen worden gecorrigeerd door een geschikter keuze te maken, geformuleerd in termen van "lokale topologie". Zo tonen we aan dat in de twee gegeven voorbeelden, het 2D-oppervlak en de 3D-hypersurface, waarvan de isometriegroepen O2 en O3 zijn, niet eenvoudig samenhangend zijn.

We breiden de methode uit naar de Schwarzschild-geometrie. We tonen aan dat singulariteiten volledig kunnen worden uitgeschakeld door een niet-eenvoudig samenhangende ruimtetijd-hypersurface te beschouwen. We geven de Schwarzschild-geometrie een andere fysieke betekenis: een brug die twee universa, het onze en een tweelinguniversum, verbindt.

We tonen aan dat de "stilstand van de tijd", de kern van het zwart gat-model, slechts een gevolg is van een willekeurige keuze van een specifieke tijdsmerker. Door een andere merker te gebruiken, geïnspireerd op het werk van Eddington (1924), leiden we een volledig ander scenario af, dat radialen trekking impliceert (vergelijkbaar met de azimutale trekking van de Kerr-metriek). We tonen aan dat de Schwarzschild-oplossing kan worden geïnterpreteerd als een "ruimtebrug", die twee universa, twee ruimtetijden, verbindt en fungeert als een éénrichtingsbrug. We tonen aan dat de doorreisduur van een testdeeltje eindig en kort is, wat het klassieke zwart gat-model direct in twijfel trekt.

Door de isometriegroep van de Schwarzschild-metriek uit te breiden, tonen we aan dat de twee universa enantiomorf zijn (P-symmetrisch) en tegenovergestelde tijdsmerkers hebben (t* = -t). Met behulp van een hulpmiddel uit de groepentheorie: de coadjointe actie van een groep op zijn momentenruimte, geven we een fysieke betekenis aan deze "tijd-omkering", via het sferische keeloppervlak, de Schwarzschild-sfeer: wanneer een deeltje met positieve massa door de ruimtebrug gaat, wordt zijn bijdrage aan het gravitatieveld omgekeerd: m* = -m (zoals J.M. Souriau in 1974 liet zien, is de omkering van de tijdsmerker equivalent aan de omkering van massa en energie).

Omdat het lot van een onstabiele neutronenster nog steeds een open probleem is, presenteren we een alternatief model: de hyperspatiale overdracht van een deel van haar materie via een ruimtebrug, waarbij deze materie met relativistische snelheid stroomt naar het tweelinguniversum.

Terloops herinneren we aan enkele bekende tekortkomingen van het Kruskal-model, met name het feit dat het niet asymptotisch Lorentziaans is op oneindig.

We stellen voor om de Schwarzschild-geometrie te beschouwen als een hypersurface ingebed in een ruimte van tien dimensies. Door dit werk te verbinden met eerdere onderzoeken gebaseerd op groepentheorie, bouwen we een CPT-symmetrisch model. De dualiteit materie-antimaterie blijft behouden in beide vouwen. Wanneer materie naar het tweelinguniversum wordt overgebracht, ondergaat deze een CPT-symmetrie en wordt haar massa (haar bijdrage aan het gravitatieveld) omgekeerd. Maar het blijft materie. Evenzo blijft antimaterie die door de ruimtebrug stroomt antimaterie, met een tegenovergestelde massa, want de omkering van de tijdsmerker, zoals Souriau liet zien, impliceert de omkering van de massa.

1. Het zwart gat-model.

Neutronensterren kunnen geen kritieke massa overschrijden, dicht bij 2,5 zonsmassa's. Voor grotere massa's kan hun materie de enorme interne druk niet langer verdragen die wordt veroorzaakt door de gravitatiekracht. Er volgt een gravitationele ineenstorting. Langere tijd probeerden theoretici het lot van dergelijk object te beschrijven. Bij het bekijken van de Schwarzschild-metriek, hieronder uitgedrukt in termen van

coördinaten, waarbij Rs de zogenaamde Schwarzschildstraal is (1),

dachten mensen dat deze oplossing van de Einsteinvergelijking:

(2) S = 0

met een nulterm aan de rechterkant het probleem kon oplossen. Inderdaad, als t wordt gekozen als "kosmische tijd van een externe waarnemer", is de vrije valtijd van een testdeeltje dat een "radiale geodeet" volgt, vanaf een verre punt van de Schwarzschild-sfeer r = Rs, oneindig, terwijl deze vrije valtijd Ds, uitgedrukt in eigen tijd, eindig blijft. Dan is de "fysieke beschrijving" als volgt:

• Het object (een neutronenster die haar stabiliteitsgrens heeft overschreden) ondergaat een gravitationele ineenstorting. Zijn massa daalt snel naar "het geometrische centrum van het systeem", dat wordt beschreven als een "centrale singulariteit". Dit fenomeen duurt een eindige tijd Ds, uitgedrukt in eigen tijd s.

• Maar voor een "externe waarnemer", geplaatst op een bepaalde afstand van het object, lijkt dit proces "bevroren in de tijd". Bovendien is de Schwarzschild-sfeer een oppervlak met oneindige roodverschuiving (door de nulliteit van de gtt-term van de metriek bij r = Rs).

Dit is het model van een sferisch symmetrisch zwart gat.

r wordt geïdentificeerd als een "radiale afstand", wat betekent dat men kan denken aan "wat zich binnen de Schwarzschild-sfeer bevindt". Ruwweg betekent dit dat men aannemt dat de "lokale topologie" "sferisch" is: binnen de Schwarzschild-sfeer wordt een "kleinere sfeer verondersteld te bestaan", enzovoort, tot het "geometrische centrum" van het object.

Later werd het model uitgebreid naar axiale symmetrie (Kerr-metriek). Maar deze uitbreiding brengt geen fundamentele conceptuele wijziging met zich mee. Daarom zullen we ons in de volgende paragraaf concentreren op sferisch symmetrische systemen (wij denken dat deze studie later kan worden uitgebreid naar de Kerr-metriek).

Het is een beetje vreemd dat zo’n dicht object kan worden beschreven door een oplossing van vergelijkingen (2), die a priori verwijst naar een lege ruimte in het Universum waar geen materie-energie aanwezig is.

Als men de beschrijving vasthoudt (een specifieke keuze van coördinaten), ontstaan veel problemen. Bijvoorbeeld, wanneer r nadert tot Rs, gaat de grr-term naar oneindig.

De signatuur van de metriek, uitgedrukt in dit specifieke coördinatensysteem, is: ( + - - - ) voor r > Rs ( - + - - ) voor r < Rs

Wanneer een testdeeltje binnen de Schwarzschild-sfeer binnendringt, wordt zijn massa imaginair en zijn snelheid groter dan die van het licht: het wordt een tachyon.

Bij het overwegen van de verandering van signatuur, zeiden sommige mensen:

• Geen probleem: binnen de Schwarzschild-sfeer wordt r gewoon de tijd en t de radiale afstand.

Een Franse kosmoloog, Jean Heidmann, heeft de gewoonte te zeggen: "Als je denkt aan zwarte gaten, moet je alle gezond verstand opzij zetten."

Terloops: er zijn zeer weinig kandidaten voor zwarte gaten, wat het meest verontrustende is. In feite werden supernova’s, witte dwergen en neutronensterren voorspeld voordat ze werden waargenomen. Bijvoorbeeld, Fritz Zwicky presenteerde het supernovamodel tijdens een beroemde lezing aan het Caltech in 1931, voordat iemand het had waargenomen. Maar jarenlang werd het model bevestigd en kennen we nu honderden van deze objecten. Hetzelfde geldt voor roterende neutronensterren, geïdentificeerd als pulsars. Waarom zo weinig waargenomen zwarte gaten?

Ongeacht alles geloven astrofysici dat zwarte gaten bestaan, ook al zijn er zo weinig observatiedata hierover. Ze "gebruiken" modellen van "gigantische zwarte gaten", verondersteld te liggen in het centrum van sterrenstelsels of cluster van sterrenstelsels, om bepaalde mysterieuze dynamische kenmerken te "verklaren".

In de volgende paragraaf willen we een ander lot voor neutronensterren die hun stabiliteitsgrens zijn overschreden voorstellen. Laten we beginnen met het presenteren van nieuwe meetkundige hulpmiddelen.

2. Hypertorische meetkunde.

Beschouw de riemannse metriek g, in twee dimensies, waarvan het lijnelement, uitgedrukt met een stel coördinaten [ r , j ] is:

(3)

waarbij:

is gedefinieerd op R, modulo 2.

Rs is een constante.

Deze metriek wordt asymptotisch euclidisch wanneer r naar oneindig gaat:

(4)

In dit specifieke coördinatensysteem is de signatuur: ( + , + ) voor r > Rs ( - , + ) voor r < Rs

De determinant:

(5)

wordt oneindig voor r = Rs. Laat zien dat dit komt door deze specifieke keuze van coördinaten. Introduceer de volgende coördinatentransformatie:

(6)

Het lijnelement wordt (7)

met de bijbehorende determinant:

(8)

Deze wordt niet meer nul voor alle waarden (wat verder aantoont dat, in een metriek, de nulliteit van de determinant van het lijnelement afhangt van de keuze van het coördinatensysteem, zoals Eddington in 1924 liet zien (ref.[10]) voor de Schwarzschild-metriek). Wanneer naar nul gaat (wat overeenkomt met

gaat deze determinant naar:

varieert van min oneindig tot plus oneindig, wat overeenkomt met r ≥ Rs

De metriek g, ongeacht het gekozen coördinatensysteem, beschrijft een oppervlak, een tweedimensionaal object. Dit heeft zijn eigen systeem van geodeeten, fundamenteel invariant ten opzichte van de coördinaten. Bestudeer dit systeem in een coördinatensysteem via de Lagrange-vergelijkingen. Introduceer de volgende functie F:

(9)

De bijbehorende Lagrange-vergelijkingen zijn:

(10)

(11)

Vergelijking (11) geeft:

(12)

h is positief, negatief of nul. Bovendien, als in (3) beide zijden worden gedeeld door , krijgen we klassiek:

(13)

waaruit de differentiaalvergelijking kan worden afgeleid die de vlakke geodeeten beschrijft, in het coördinatensysteem:

(14)

De voorwaarde |h| ≤ r, volgens (12), betekent dat de absolute waarde van de cosinus van de hoek tussen de raaklijn aan de geodeet en de radiale vector kleiner of gelijk is aan 1.

Plaats nu het oppervlak in R3 door een extra inbeddingscoördinaat z toe te voegen. Kies cilindrische coördinaten

Het oppervlak is axiaal symmetrisch ten opzichte van de z-as.

De geodeeten ( = constante) zijn de meridiaanlijnen van dit oppervlak, waar:

(15)

wat direct de vergelijking van de meridiaancurve van dit oppervlak, ingebed in R3, geeft. Het gaat om de parabool:

(16)

Figuur 1 toont een 3D-weergave van dit oppervlak, ingebed in R3, inclusief een geodeet en zijn projectie op een vlak met poolcoördinaten.

Dit oppervlak is niet eenvoudig samenhangend. Onder de banen van de isometriegroep O2 vinden we een cirkel met minimale omtrek: de keelcirkel (p = 2 Rs).

Figuur 1: Het oppervlak, ingebed in R3

en zijn weergave in een coördinatensysteem.

In figuur 2 worden meerdere geodeeten getoond, in dit representatiesysteem.

Figuur 2: Weergave van enkele geodeeten. Figuur 3: Een bijzondere geodeet die de keelcirkel doorkruist.

Let op dat deze weergave van de geodeeten in een vlak niet isometrisch is. Als we de lengte op dit vlak meten, komt die niet overeen met de lengte zoals gemeten op het oppervlak.

Als we eisen dat de lengte dS reëel is, zien we dat deze bepaalt wat we een lokale topologie kunnen noemen. Noem een dergelijke meetkundige structuur een toroïdale brug. We kunnen ook zeggen dat dit oppervlak een lokale toroïdale topologie heeft. Het heeft één vouw, die kan worden beschouwd als de unie van twee begrensde halve vouwen, die langs hun cirkelvormige randen langs de keelcirkel, met omtrek 2 Rs, zijn geplakt. Deze cirkels zijn geen geodeeten (behalve deze bijzondere geodeet die de keelcirkel is, de enige gesloten). Op elke halve vouw, wanneer de afstand ten opzichte van de "toroïdale brug" naar oneindig gaat, nadert de metriek de euclidische metriek (2). In figuur 2, overeenkomstig een weergave [ r , ] , zijn de bovenste delen van de geodeeten die de keelcirkel doorkruisen weergegeven als continue lijnen, terwijl de delen die behoren tot de andere halve vouw worden weergegeven als stippellijnen. Merk op dat een halve vouw overeenkomt met ( ) , zodat de andere overeenkomt met ( ) . De keelcirkel komt overeen met = 0 . Samenvatting Volgende pagina

De metriek g, ongeacht het gekozen coördinatensysteem, beschrijft een oppervlak, een object met twee dimensies. Dit laatste heeft zijn eigen systeem van geodetische lijnen, dat fundamenteel invariant is ten opzichte van de coördinaten. Bestudeer dit systeem in een coördinatensysteem via de Lagrange-vergelijkingen. Introduceer de volgende functie F:

(9)

De overeenkomstige Lagrange-vergelijkingen zijn:

(10)

(11)

Vergelijking (11) geeft:

(12)

h is positief, negatief of nul. Bovendien, als in (3) beide leden gedeeld worden door , krijgen we, klassiek:

(13)

waaruit de differentiaalvergelijking kan worden afgeleid die de vlakke geodetische lijnen beschrijft in het coördinatensysteem:

(14)

De voorwaarde |h| ≤ r, volgens (12), betekent dat de absolute waarde van de cosinus van de hoek tussen de raaklijn aan de geodetische en de radiale vector ≤ 1 is.

Plaats nu het oppervlak in R3 door een extra inbeddingscoördinaat z toe te voegen. Kies cilindrische coördinaten:

Het oppervlak is axiaal symmetrisch ten opzichte van de z-as.

De geodetische lijnen ( = constant) zijn de meridiaanlijnen van dit oppervlak, waarvoor geldt:

(15)

wat direct de vergelijking van de meridiaancurve van dit oppervlak, ingebed in R3, geeft. Het is de parabool:

(16)

Figuur 1 toont een driedimensionale weergave van dit oppervlak, ingebed in R3, inclusief een geodetische en haar projectie op een vlak met poolcoördinaten.

Dit oppervlak is niet eenvoudig samenhangend. Onder de banen van de isometriegroep O2 vinden we een cirkel met minimale omtrek: de keercirkel (p = 2 Rs).

Figuur 1: Het oppervlak, ingebed in R3

**en zijn weergave in een **

coördinatensysteem.

In figuur 2 worden meerdere geodetische lijnen getoond, in dit weergavesysteem.

Figuur 2: Weergave van enkele geodetische lijnen. Figuur 3: Een bijzondere geodetische, die de keercirkel doorsnijdt.

Let op dat deze weergave van geodetische lijnen in een vlak niet isometrisch is. Als we de lengte op dit vlak meten, komt die niet overeen met de lengte die gemeten wordt op het oppervlak.

Als we eisen dat de lengte dS reëel is, zien we dat dit bepaalt wat we een lokale topologie kunnen noemen. Noem zo'n meetkundige structuur een toroïdale brug. We kunnen ook zeggen dat dit oppervlak een lokale toroïdale topologie bezit. Het heeft één vouw, die kan worden gezien als een verzameling van twee begrensde halve vouwen, die langs hun cirkelvormige randen aan elkaar zijn geplakt langs de keercirkel, waarvan de omtrek 2 Rs is. Deze cirkels zijn geen geodetische lijnen (behalve deze zeer bijzondere geodetische die de keercirkel is, de enige gesloten). Op elke halve vouw neigt de metriek, wanneer de afstand ten opzichte van de "toroïdale brug" naar oneindig gaat, naar de euclidische metriek (2). In figuur 2, overeenkomstig een [ r , ]-weergave, zijn de bovenste delen van de geodetische lijnen die de keercirkel doorsnijden weergegeven als streeplijnen, terwijl de delen die behoren tot de andere halve vouw worden weergegeven als stippellijnen. Merk op dat één halve vouw overeenkomt met ( ) , zodat de andere overeenkomt met ( ) . De keercirkel komt overeen met = 0 . Samenvatting Volgende pagina