- Meer over inbedding en geodetische lijnen.
Niet alle oppervlakken kunnen worden ingebed in R³. Overweeg bijvoorbeeld de metriek (134)
waarbij Rs > 0 en r > 0
is gedefinieerd op R modulo 2 
Uitgedrukt in deze specifieke coördinaten [ r , ] is dit lijnelement bijna overal regelmatig (behalve in het punt r = 0). Elders treedt geen probleem op. De isometriegroep is O₂. De banen van de groep zijn cirkels met r = constant. We kunnen ons voorstellen dat dit oppervlak in R³ kan worden ingebed, waarbij het dan asymmetrisch zou lijken rond een z-as.
Geodetische lijnen ( = constant ) bestaan. We kunnen denken dat ze "meridiaanlijnen" van het oppervlak zijn, en dat de vergelijking z ( ) van zo’n meridiaan kan worden opgebouwd zoals we aan het begin van het artikel deden. Langs de geodetische lijnen ( = constant ): (135)
Als dit oppervlak in R³ kan worden ingebed, dan geldt langs deze geodetische lijnen: (136)
wat geeft: (137)
Conclusie: dit oppervlak kan niet worden ingebed in R³.
Deze metriek (135) doet denken aan een afstotende werking.
Niet alle oppervlakken, zoals gedefinieerd door hun metriek, kunnen worden ingebed. Toch "bestaan" deze oppervlakken, ook al kunnen we ze niet met onze handen vasthouden. Overweeg de volgende 3D-hypersurface, gedefinieerd door: (138)
met Rs > 0 en r > 0
is gedefinieerd op R modulo 2
We kunnen dergelijke hypersurface niet inbedden. Maar het bestaat wel en bezit "vlakke geodetische lijnen" ( 
= /2).
We kunnen het geodetische systeem van deze 2D- en 3D-hypersurfaces berekenen. We kunnen ze afbeelden in een vlak (r,). Ze zijn reëel. (139)
Hun tekening is identiek aan die van de vorige twee oppervlakken, zoals gedefinieerd door hun lijnelement (134). Deze twee meetkundige objecten zijn eenvoudig samenhangend.
Fig. 25: **Geodetische lijnen die overeenkomen met de lijnelementen **(134) **en **(138)
(Houd er rekening mee dat het vergelijkbaar is met een afstotende werking).
Er is iets verwarrend. Gegeven een lijnelement kunnen we het geodetische systeem berekenen. Bijvoorbeeld het systeem van de klassieke representatie van de Schwarzschild-geometrie komt overeen met: (140)
We kunnen de krommen r () berekenen die overeenkomen met deze differentiaalvergelijking. Ze zijn reëel, ook voor waarden r < Rs!
**
Fig. 26: De volledige geodetische lijn die overeenkomt met het Schwarzschild-lijnelement.
**
We begrijpen waarom fysici verward waren na het observeren van dit vreemde resultaat. Maar er is een wiskundig feit: een lijnelement kan een reëel geodetisch systeem produceren, waarbij sommige delen overeenkomen met een imaginaire lengte-element ds.
Wat gebeurt er met de fysica? We identificeren ds met een increment van eigen tijd. Eerder hebben we besloten dat een imaginaire ds geen fysieke baan voorstelt, wat ons verplichtte om de "lokale topologie" van de hypersurface opnieuw te bekijken, door de "lokale sferoïdale topologie" te vervangen door een "lokale hypertoroidale topologie".
In eerdere werken hielden mensen de hypothese van "lokale sferoïdale topologie" vast, waardoor de fysieke interpretatie van het "binnenste" van de Schwarzschild-sfeer problematisch werd. In verwijzing [1], in sectie 6.8 lezen we:
(Binnen de Schwarzschild-sfeer) het zou dan natuurlijk zijn om r opnieuw te interpreteren als tijdmeter en t als radiale meter (...) ... wat zou betekenen dat ds² < 0 langs deze wereldlijn.
- Analytische uitbreiding van Kruskal.
In het klassieke coördinatenstelsel [x° , r , , ] is de radiale snelheid van licht: (141)
zodat deze naar nul nadert wanneer r naar Rs nadert. Het argument van Kruskal luidt als volgt (verwijzing [1], sectie 6.8).
Deze ongewenste eigenschap van de Schwarzschild-coördinaten kunnen we als volgt elimineren; we zoeken een transformatie voor r en t naar nieuwe variabelen u en v waarbij het lijnelement de vorm heeft: (6.187)
...we komen uit op een geschikte transformatie voor het binnenste van de Schwarzschild-straal: (6.204)
Terwijl buiten deze sfeer geldt: (6.201)
De basiseis is dat f regelmatig is op de Schwarzschild-sfeer r = Rs. Nogmaals uit [1]:
Zo dient u als globale radiale marker, en v als globale tijdmeter.
Bovendien volgt uit (6.187) dat nul-geodetische lijnen (ds = 0) een "constante lichtsnelheid" geven: (142)
Uit (6.201) zien we dat wanneer r naar oneindig nadert, f naar nul nadert, zodat Adler, Schiffer en Bazin zeggen [1]:
Ze corresponderen echter niet met sferische coördinaten voor platte ruimte op asymptotische afstand, zoals de Schwarzschild-coördinaten doen.
De Kruskal-metriek is ook een niet-singuliere oplossing van de Einstein-vergelijking in deze gebieden en is equivalent aan de Schwarzschild-oplossing, maar heeft geen singulariteit aan de rand (de Schwarzschild-sfeer). Het is een analytische uitbreiding van de variëteit.
Kruskal richt zich op het probleem bij deze rand, die niet meer singulier wordt, terwijl de singulariteit geconcentreerd is in het "geometrische centrum" waar f naar oneindig nadert. Nogmaals met verwijzing [1] reproduceren we het gedeelte over radiale banen van fotonen naar binnen:
*In termen van u, v is de baan eenvoudig; in termen van r en t zien we echter dat deze begint bij een eindige r > Rs en een eindige x°, zich naar binnen beweegt naar r = Rs terwijl x° naar oneindig nadert, en de lijn x° = oneindig overstijgt naar het binnenste van de Schwarzschild-sfeer. Daarna blijft r langs de baan afnemen, maar x° neemt af. ... De huidige behandeling verduidelijkt ook dat x° geen redelijke tijdmeter is binnen de Schwarzschild-sfeer.
We zien dat "niets perfect is". Met zijn bijzondere keuze van coördinaten lukt het Kruskal om het oversteken van de Schwarzschild-sfeer te beheren, waarbij de singuliere eigenschap van de geometrische oplossing wordt geconcentreerd in een "centrale singulariteit". Maar de metriek is niet meer Lorentziaans op oneindig.
Dit laat zien hoe de keuze van coördinaten de interpretatie van de oplossing beïnvloedt. Onze keuze introduceert een verandering in de "lokale topologie" (hypertoroidale brug), maar elimineert alle singulariteit.
- Terug naar inbedding.
De stelling van Wiener-Graustein zegt dat elk n-dimensionaal oppervlak, met n > 2, kan worden ingebed in een ruimte waarvan de minimale dimensie (143)
is. Voor 4D-hypersurfaces komt dit overeen met een 10-dimensionale ruimte. We weten dat de geodetische lijnen van de Schwarzschild-geometrie in vlakken liggen. = p/2 komt overeen met één daarvan. We kunnen ons dus richten op een deelverzameling van de geodetische lijnen ( = p/2). Deze geodetische lijnen hangen af van twee parameters l en h. We weten dat geodetische lijnen (l = 1) overeenkomen met deeltjes waarvan de snelheid oneindig is nul. Bovendien kiezen we de deelverzameling van geodetische lijnen ( = constant). Dan geldt: (144)
Voeg een extra coördinaat z toe en schrijf: (145)
ds² = dr² + dz²
(146)
Een differentiaalvergelijking waarvan de oplossing is: (147)
We kunnen deze geodetische lijnen afbeelden in een 3D-ruimte [z, r, ]. Ze zijn meridiaanlijnen van een asymmetrisch oppervlak.
Fig. 27: De meridiaan van het oppervlak waarin een isometrische inbedding van de geodetische lijnen van Schwarzschild ( = constant) wordt uitgevoerd.
In 3D-ruimte lijkt dit oppervlak op figuur 28 (halfdoorsnede).
Fig. 28: Het inbeddingsoppervlak.
Als we de "radiale" geodetische lijnen erop tekenen, krijgen we figuur 29.
Fig. 29: Afbeelding van "radiale" geodetische lijnen. Onder: hun projectie op een vlak [r, ].
Het is een zeer gedeeltelijke inbedding, omdat het beperkt is tot de verzameling van "radiale" geodetische lijnen. Figuur 29 doet denken aan een plooie en suggereert enantiomorfie. In feite beschouwen we een verzameling van drie punten die volgen langs radiale geodetische lijnen. We krijgen
Fig. 30-a: Drie massa-punten die naar de keel vallen langs "radiale" paden.
en:
Fig. 30-b: Hetzelfde, na het oversteken van de keel.
Het driehoek is omgekeerd.
Op de vlakke projectie [r, ] is de oriëntatie van het driehoek omgekeerd. Stel nu vier testdeeltjes voor die volgen langs radiale banen, vallend naar de Schwarzschild-sfeer, vormend een tetraëder. Zie figuur 31.
Fig. 31: Vier deeltjes die vallen op de Schwarzschild-sfeer langs "radiale" geodetische lijnen in een euclidische 3D-ruimte.
Fig. 32: Na het "terugkaatsen" op de Schwarzschild-sfeer bewegen de deeltjes in de tweelingruimte. Het tetraëder is omgekeerd (enantiomorfie).
Laten we teruggaan naar de vorige representatie. Ook de normaalvector wordt omgekeerd:
Fig. 33: Een bijzondere geodetische lijn = constant in zijn representatie binnen de verzameling van geodetische lijnen (l = 1), in een ruimte (r, , z).