Kosmologie
Tweifelachtig zwart gat.
Jean-Pierre Petit
Observatorium van Marseille, Frankrijk
Pierre Midy
CRI Orsay, Frankrijk
Voor correspondentie: 
________________________________________________________________
Samenvatting
Vertrekend vanuit het zogenaamde zwart-gatmodel, beschouwd als een fysieke interpretatie van de Schwarzschild-geometrie, heroverwegen we het probleem van het lot van een neutronenster wanneer deze zijn stabiliteitslimiet overschrijdt. We presenteren eerst een nieuw geometrisch hulpmiddel: de hypertorische geometrie, via 2D- en 3D-voorbeelden (sectie 2). We tonen aan dat pathologieën geassocieerd met metrieken, die voortvloeien uit hun lijnelement uitgedrukt in een gegeven coördinatenstelsel, kunnen worden genezen door een geschiktere keuze die wordt uitgedrukt in termen van "lokale topologie". Zo tonen we aan dat in de twee gegeven voorbeelden, het 2D-oppervlak en het 3D-hypervlak, waarvan de isometriegroepen O2 en O3 zijn, niet enkelvoudig samenhangend zijn.
We breiden de methode uit naar de Schwarzschild-geometrie. We tonen aan dat singuliere kenmerken volledig kunnen worden geëlimineerd, door een niet-enkelvoudig samenhangende ruimtetijd-hypervlak te beschouwen. We geven de Schwarzschild-geometrie een andere fysieke betekenis: een brug die twee universums verbindt, het onze en een tweelinguniversum.
We tonen aan dat de "bevroren tijd", de hoeksteen van het zwart-gatmodel, een eenvoudig gevolg is van een willekeurige keuze van een specifieke tijdmarkering. Door een andere te gebruiken, geïnspireerd door het werk van Eddington (1924), leiden we een volledig ander scenario af, dat een radiale frame-dragging impliceert (vergelijkbaar met de azimuthale frame-dragging van de Kerr-metriek). We tonen aan dat de Schwarzschild-oplossing kan worden geïnterpreteerd als een "ruimtebrug", die twee universums, twee ruimtetijden verbindt, die werken als een eenrichtingsbrug. We tonen aan dat de transitijd van een testdeeltje eindig en kort is, wat het klassieke zwart-gatmodel onmiddellijk twijfelachtig maakt.
Door de isometriegroep van de Schwarzschild-metriek uit te breiden, tonen we aan dat de twee universums enantiomorf (P-symmetrisch) zijn en tegenovergestelde tijdmarkeringen bezitten (t* = -t). Door een groepshulpmiddel te gebruiken: de coadjointe actie van een groep op zijn impulsruimte, geven we de fysieke betekenis van deze "tijd-inversie", via het sferische keeloppervlak, de Schwarzschild-sfeer: wanneer een positief-massadeeltje door de ruimtebrug gaat, wordt zijn bijdrage aan het zwaartekrachtveld omgekeerd: m* = -m (zoals aangetoond door J.M. Souriau in 1974, is de inversie van de tijdmarkering equivalent aan massa- en energie-inversies).
Aangezien het vraagstuk van het lot van een gedestabiliseerde neutronenster een nog steeds open probleem is, presenteren we een project voor een alternatief model: de hyperspatiale overdracht van een deel van zijn materie, via een ruimtebrug, waarbij deze materie naar het tweelinguniversum stroomt met relativistische snelheid.
Terloops herinneren we aan enkele bekende gebreken van het Kruskall-model, met name het feit dat het niet asymptotisch Lorentziaans is op oneindig.
We suggereren om de Schwarzschild-geometrie te beschouwen als een hypervlak ingebed in een tien-dimensionale ruimte. Door het huidige werk te koppelen aan eerdere werken, gebaseerd op groepstheorie, bouwen we een CPT-symmetrisch model. De materie-antimaterie-dualiteit geldt in beide plooien. Wanneer materie wordt overgedragen naar het tweelinguniversum, ondergaat het een CPT-symmetrie en wordt zijn massa (zijn bijdrage aan het zwaartekrachtveld) omgekeerd. Maar het is nog steeds materie. Similarly, antimaterie die door de ruimtebrug stroomt, blijft antimaterie, met een omgekeerde massa, voor de inversie van de tijdmarkering, zoals aangetoond door Souriau, impliceert de inversie van de massa.
________________________________________________________________
- Het zwart-gatmodel.
Neutronensterren kunnen een kritische massa niet overschrijden, dicht bij 2,5 zonnemassas. Voor hogere massa's kan hun materiaal de enorme interne druk veroorzaakt door de zwaartekracht niet langer weerstaan. Dan vindt gravitationele instorting plaats. Lange tijd hebben theoretici geprobeerd het lot van een dergelijk object te beschrijven. Door te kijken naar de Schwarzschild-metriek, hierna uitgedrukt in termen van
coördinaten, waarbij Rs de zogenaamde Schwarzschild-straal is
(1)
hebben mensen zich voorgesteld dat deze oplossing van de vergelijking van Einstein:
(2)
S = 0
met nul tweede lid het probleem kon oplossen. Inderdaad, als t wordt gekozen als "de kosmische tijd van een 'externe waarnemer'", wordt de valtijd van een testdeeltje, dat een "radiale geodetische" volgt, vanaf een willekeurig ver punt van de Schwarzschild-sfeer r = Rs, als oneindig gevonden, terwijl deze valtijd Ds, uitgedrukt in eigentijd, eindig blijft. Dan is de "fysieke beschrijving" als volgt:
-
Het object (een neutronenster dat zijn stabiliteitslimiet overschrijdt) ondergaat een gravitationele instorting. Zijn massa valt snel naar "het geometrische centrum van het systeem", beschreven als een "centrale singulariteit". Dit fenomeen strekt zich uit over een eindige duur Ds, in termen van eigentijd s.
-
Maar, voor een "externe waarnemer", gelegen op enige afstand van het object, lijkt dit proces "bevroren in de tijd". Bovendien is de Schwarzschild-sfeer een oppervlak met oneindige roodverschuiving (vanwege de nulheid van de gtt-term van de metriek bij r = Rs).
Dit is het model van een sferisch symmetrisch zwart gat.
r wordt geïdentificeerd met een "radiale afstand", wat betekent dat men kan nadenken over "wat er binnen de Schwarzschild-sfeer is". Grof gezegd, betekent dit dat men aanneemt dat de "lokale topologie" "sferisch" is: Binnen de Schwarzschild-sfeer wordt verondersteld dat een "kleinere sfeer is gelegen", en zo verder, tot het "geometrische centrum" van het object.
Later werd het model uitgebreid naar axiaal symmetrische geometrie (Kerr-metriek). Maar deze uitbreiding brengt geen fundamentele conceptuele verandering. Daarom concentreren we ons in het volgende op het sferisch symmetrische systeem (we denken dat deze studie later kan worden uitgebreid naar de Kerr-metriek).
Het is een beetje vreemd dat een dergelijk zeer dicht object kan worden beschreven via een oplossing van vergelijkingen (2), die a priori verwijst naar een leeg deel van het Universum waar er geen materie-energie is.
Als men de
beschrijving behoudt (een specifieke keuze van coördinaten), ontstaan veel moeilijkheden. Bijvoorbeeld, wanneer r neigt naar Rs, neigt de grr-term naar oneindig.
De signatuur van de metriek, uitgedrukt met deze specifieke keuze van coördinaten, is:
( + - - - ) voor r > Rs
( - + - - ) voor r < Rs
Wanneer een testdeeltje binnen de Schwarzschild-sfeer dringt, wordt zijn massa imaginair en zijn snelheid groter dan de lichtsnelheid: het wordt een tachyon.
Rekening houdend met de verandering van signatuur, hebben sommige mensen gezegd:
- Geen probleem: Binnen de Schwarzschild-sfeer wordt r gewoon de tijd en t de radiale afstand.
Een Franse kosmoloog, Jean Heidmann, pleegt te zeggen: "wanneer we denken aan zwarte gaten, moeten we elk gezond verstand opgeven".
Terloops, er zijn zeer weinig zwart-gatkandidaten, wat het meest puzzelende punt is. Inderdaad, supernova's, witte dwergen en neutronensterren werden voorspeld voordat ze werden waargenomen. Bijvoorbeeld, Fritz Zwicky presenteerde het supernovamodel, in een beroemde lezing gegeven in Caltech in 1931, voordat er iemand werd waargenomen. Maar na verloop van jaren werd het model bevestigd en we kennen nu honderden van hen. Hetzelfde geldt voor roterende neutronensterren, geïdentificeerd als pulsars. Waarom zo weinig waargenomen zwarte gaten?
Hoe dan ook, astrofysici geloven dat zwarte gaten bestaan, zelfs als er zo weinig observatiedata over hen is. Ze "gebruiken" modellen van "gigantische zwarte gaten", verondersteld te zijn gelegen in het centrum van sterrenstelsels of clusters van sterrenstelsels, om enkele van hun puzzelende dynamische kenmerken te "verklaren".
In het volgende willen we een ander lot suggereren voor neutronensterren die hun stabiliteitslimiet overschrijden. Laten we beginnen met het introduceren van nieuwe geometrische hulpmiddelen.
- Hypertorische geometrie.
Beschouw de volgende Riemanniaanse metriek g, in twee dimensies, waarvan het lijnelement, geschreven met een stel van twee coördinaten [ r , j ], is:
(3)
waar:
is gedefinieerd op R, modulo 2 
.
Rs is een constante.
Deze metriek wordt asymptotisch Euclidisch wanneer r neigt naar oneindig:
(4)
In dit specifieke
coördinatenstelsel is de signatuur:
( + , + ) voor r > Rs
( - , + ) voor r < Rs
De determinant:
(5)
wordt oneindig voor r = Rs. Laten we tonen dat dit te wijten is aan deze specifieke keuze van coördinaten. Introduceer de volgende coördinaatverandering:
(6)
Het lijnelement wordt
(7)
waarvan de bijbehorende determinant is:
(8)
Het verdwijnt niet meer voor alle 
waarden (wat trouwens aantoont dat, in een metriek, de nulheid van de determinant van het lijnelement afhangt van de keuze van het coördinatenstelsel, zoals aangetoond door Eddington in 1924 (ref.[10]) voor de Schwarzschild-metriek). Wanneer neigt naar nul (wat overeenkomt met
neigt deze determinant naar:
varieert van -oneindig tot +oneindig, wat equivalent is aan r ≥ Rs
De metriek g, ongeacht het gekozen coördinatenstelsel, beschrijft een oppervlak, een tweedimensionaal object. Dit laatste bezit zijn geodetisch systeem, in wezen coördinaten-invariant. Laten we dit systeem bestuderen in een
coördinatenstelsel via het Lagrange-vergelijkingssysteem. Introduceer de volgende F-functie:
(9)
De bijbehorende Lagrange-vergelijkingen zijn:
(10)
(11)
Vergelijking (11) geeft:
(12)
h zijnde positief, negatief of nul. Bovendien, als we in (3) de twee leden delen door , krijgen we, klassiek:
(13)
waarvan we de differentiaalvergelijking kunnen afleiden die de vlakke geodetischen beschrijft, in het
coördinatenstelsel:
(14)
De voorwaarde |h| ≤ r, volgens (12), betekent dat de absolute waarde van de cosinus van de hoek tussen de raaklijn aan de geodetische en de radiale vector ≤ 1 is.
Laten we nu het oppervlak inbedden in R3, door een extra inbeddingscoördinaat z toe te voegen. We kiezen cilindrische coördinaten
Het oppervlak is axiaalsymmetrisch ten opzichte van de z-as.
De ( = constant ) geodetischen zijn de meridiaanlijnen van dit oppervlak, waar:
(15)
wat onmiddellijk de vergelijking van de meridiaancurve van dit oppervlak geeft, zoals ingebed in R3. Het is de parabool:
(16)
Figuur 1 toont een 3D-weergave van dit oppervlak, zoals ingebed in R3, plus een geodetische en zijn projectie op een vlak met
polaire coördinaten.
Dit oppervlak is niet enkelvoudig samenhangend. Onder de banen van de isometriegroep O2 vinden we een cirkel met minimale omtrek: de keelcirkel (p = 2 Rs).
Fig. 1 : Het oppervlak, zoals ingebed in R3
en zijn representatie in een
coördinatenstelsel.
Op figuur 2 worden verschillende geodetischen getoond, in deze
representatiesysteem.
Fig. 2 : representatie van enkele geodetischen.
Fig 3 :
Een specifieke geodetische, die de keelcirkel kruist.
Merk op dat deze representatie van geodetischen in een vlak
niet isometrisch is. Als we de lengte op dit vlak meten, komt deze niet overeen met de lengte zoals gemeten op het oppervlak.
Als we de lengte dS real moeten zijn, zien we dat dit bepaalt wat we de lokale topologie zouden kunnen noemen. Laten we een dergelijke geometrische structuur een toroidale brug noemen. We kunnen ook zeggen dat dit oppervlak een lokale toroidale topologie bezit. Het bezit een enkele plooi, die kan worden beschouwd als een stel van twee begrensd halve plooien, waarbij de twee langs hun cirkelvormige grenzen langs de keelcirkel zijn verlijmd, waarvan de omtrek 2 Rs is. Deze cirkels zijn geen geodetische lijnen (behalve deze zeer specifieke geodetische die de keelcirkel is, de enige gesloten ene). Op elke halve plooi, wanneer de afstand ten opzichte van de "toroidale brug" neigt naar oneindig, neigt de metriek naar de Euclidische (2). Op figuur 2, overeenkomend met een [ r , ] representatie, zijn de bovenste delen van de geodetischen die de keelcirkel kruisten afgebeeld als doorlopende lijnen, terwijl de delen overeenkomend met de andere halve plooi zijn afgebeeld als stippellijnen. Merk op dat een halve plooi overeenkomt met ( ), whence de andere overeenkomt met (
). De keelcirkel komt overeen met
= 0 .