- Geodesics in een [r,j] representatie.
Door (6) in (14) in te voeren, met dr = thr dr, krijgen we:
(17)
wat de [r, j] representatie van geodesics geeft. Wanneer r naar nul neigt, neigt dj/dr naar een eindige waarde, zodat de tangens van de spoedhoek:
(18)
naar nul neigt in de oorsprong. Het beeld van de Schwarzschild-keelcirkel is in een dergelijke representatie een kegelvormig punt.
Fig.4: De geodesic getoond op figuur 3, in een (r, j) coördinatensysteem.
Het kruisen van de keelcirkel komt overeen met punt O
Dit is een isometrische representatie van de geodesics.
Merk op dat we het oppervlak ook in een [z, r, j] representatie kunnen weergeven, maar dit is geen isometrische meer. We krijgen de geassocieerde meridiaan:
(19)
Wanneer r naar nul neigt, is z(r) lineair. Wanneer het naar oneindig neigt, neigt de functie naar een parabool.
Fig. 5: Meridiaan van het oppervlak, in een [r, j]
niet-isometrische representatie van het oppervlak.
Het beeld van de Schwarzschild-keelcirkel is in een dergelijke representatie een kegelvormig punt.
- Uitbreiding naar een sferisch symmetrisch 3d hyperoppervlak.
Dit kan worden uitgebreid naar een 3d hyperoppervlak, zoals beschreven door het lijnelement:
(20)
Deze metriek verwijst naar een 3d hyperoppervlak, hier uitgedrukt in een [r, q, j] coördinatensysteem. De variabele r is geen "radiale afstand", overeenkomend met "sferische coördinaten". We vinden vergelijkbare pathologieën in dit nieuwe lijnelement, die kunnen worden geëlimineerd door dezelfde coördinatentransformatie (6) in te voeren.
[r, q, j] → [r, q, j]
Dan wordt dit lijnelement:
(21)
De signatuur wordt (+, +, +) en de determinant:
(22)
verdwijnt niet langer.
De geodesics van dit hyperoppervlak liggen in vlakken. q = p/2 is er een van. In hun [r, j] representatie vallen ze samen met die van figuur 2. De isometriegroep is O3 en de overeenkomstige banen zijn sferen. Een daarvan bezit een minimale oppervlakte (de keelsfeer van een dergelijke 3d toroïdale brug). De grootcirkels van de sfeer-banen zijn geen geodetische krommen, behalve de bijzondere die op de keelsfeer liggen, waarvan de omtrek 2 p Rs is. De geodesics van deze bijzondere sfeer zijn de enige gesloten. We kunnen dit bijzondere meetkundige een hypertoroïdale meetkunde noemen. Dit 3d-oppervlak is niet enkelvoudig samenhangend. Het bezit een enkele 3d-plooi, die kan worden beschouwd als een verzameling van twee begrensde halve 3d-plooien, aan elkaar gelijmd langs hun sferische rand (de keelsfeer). Op grote afstand van deze "hypertoroïdale brug" neigt de metriek naar de euclidische, hierna geschreven in sferische coördinaten:
(23)
ds2 = dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2)
- Schwarzschild-meetkunde.
Klassiek beschouwt men dat de isometriegroep SO3 X R is, waarbij R verwijst naar eendimensionale translaties. Dan zegt men dat deze metriek tijdonafhankelijk en sferisch symmetrisch is, waarbij men beschouwt dat R overeenkomt met tijds translaties.
Uitgedrukt in een [x�, r, q, j] coördinatensysteem, waarbij x� de tijdsmarker is, is het lijnelement
(24)
Klassiek schrijft men x� = ct, wat geacht wordt de kosmische tijd t van "een externe waarnemer" te definiëren. Wanneer r >> Rs neigt (21) naar de Minkowski-metriek. Klassiek wordt r gelijkgesteld aan een radiale coördinaat. (21) toont een onregelmatigheid van de term grr en een verandering van de signatuur wanneer r = Rs.
Opnieuw kunnen we deze metriek regulariseren, met behulp van de coördinatentransformatie (6), overgaand naar een [t, r, q, j] systeem. Dan wordt het lijnelement:
(25)
De banen van de O3 isometriegroep zijn sferen. Een daarvan, de keelsfeer (Schwarzschild-sfeer), bezit een minimale oppervlakte. Het hyperoppervlak is niet enkelvoudig samenhangend. Het vormt een enkele ruimte-tijdplooi, die kan worden beschouwd als een verzameling van twee halve 4d ruimte-tijdplooien (tweelingplooien), de eerste overeenkomend met r > 0 en de tweede met r < 0, waarbij de keelsfeer overeenkomt met r = 0. We kunnen de geodesics berekenen, gelegen in het q = p/2 vlak. Volgens: "sferische coördinaten":
Fig.6: Sferische coördinaten.
het element is dr2 = r2 (dq2 + sin2q dj2)
De cirkels j = constant zijn geodesics van de sfeer, maar ze vertegenwoordigen uiteraard niet alle geodesics van het oppervlak. Alleen die welke door twee antipodale punten (polen) gaan.
De cirkels q = constant zijn geen geodesics, behalve die welke overeenkomt met q = p/2 (evenaar).
In een [r � Rs, j] coördinatensysteem komen deze (niet-nul-lengte) geodesics overeen met:
(26)
De keuze van de verzameling constanten [l, h] bepaalt de geodesic. Daaronder vinden we hyperboolachtige geodesics, die de keelsfeer r = Rs niet snijden. Zie figuur 7.
Figuur 7: Schwarzschild-meetkunde. [r, j] representatie van een hyperboolachtige vlakke geodesic
die de keelsfeer r = Rs niet snijdt
We vinden ook quasi-elliptische geodesics. Zie figuur 8
Fig. 8: Schwarzschild-meetkunde. [r, j] representatie van quasi-elliptische geodesics.
Laten we ons nu richten op geodesics die de keelsfeer r = Rs snijden. Noem in een [r, j] representatie a de hoek tussen de raaklijn aan de geodesic en de radiale vector.
(27)
De eerste Lagrange-vergelijking geeft:
(28)
Voor r � Rs waarden is de parameter l strikt positief. Een andere Lagrange-vergelijking is:
(29)
en geeft een monotone evolutie van de hoek j ten opzichte van de eigenlijke tijd s. In dit (q = p/2) vlak hangt de werveling af van het teken van h.
Volgens deze nieuwe interpretatie van de Schwarzschild-meetkunde (beschouwd als een niet enkelvoudig samenhangend hyperoppervlak) kunnen we de geodesic in een [r, j] representatie weergeven zoals getoond op figuur 9.
Figuur 9a: [r, j] representatie van een geodesic die de keelsfeer (Schwarzschild-sfeer) snijdt, overeenkomend met h � Rs
Een deel van de geodesic is als een stippellijn weergegeven, omdat het geacht wordt tot de tweede halve 3d-plooi te behoren, verbonden met de eerste langs de keelsfeer, de Schwarzschild-sfeer. Het suggereert een breuk. Maar deze laatste is te wijten aan dit bijzondere [r, j] representatiesysteem, dat vertrouwder is voor onze (beperkte) menselijke meetkundige intuïtie. In een 3d representatieruimte krijgen we figuur 9b. Deeltjes "stuiteren" als het ware op de Schwarzschild-sfeer.
Fig.9b: In de 3d euclidische representatieruimte stuiteren deeltjes als het ware op de Schwarzschild-sfeer.
Vanuit dit gezichtspunt "is er niets binnen de Schwarzschild-sfeer", want in dit "binnen" zijn we eenvoudigweg "buiten het hyperoppervlak". Herinner dat de keelsfeer, de Schwarzschild-sfeer, overeenkomt met de waarde r = 0. De eerste halve plooi komt overeen met (r > 0) en de tweede met (r < 0).
In een [r, j] representatie wordt het aspect van de geodesic heel anders. Laten we de tangens berekenen van de hoek b, tussen de geodesic en de straalvector (zie figuur 6).
(30)
Wanneer r naar � 0 neigt, thr � r, waaruit:
(31)
In de [r, j] representatie zijn de geodesics die van de ene halve plooi naar de andere gaan, rakend aan de radiale vector. Er is geen hoekdiscontinuïteit meer in de oorsprong, daar deze laatste het beeld is van de keelcirkel (r = 0). Om een volledige beschrijving van deze geodesics te krijgen, moeten we terugkeren naar het lijnelement, zoals uitgedrukt in het [t = x�/c, r, q, j] coördinatensysteem (24), met behulp van het Lagrange-vergelijkingensysteem, met:
(32)
Onder deze vergelijkingen vinden we:
(33)
Voor een gegeven waarde van h is de evolutie van j monotoon, ten opzichte van de eigenlijke tijd s.
Fig. 10: [r, j] representatie van een geodesic die van een halve plooi (r > 0) naar de andere gaat (r < 0).
Zoals voorheen is het deel van de geodesic dat tot de tweede halve 3d-plooi behoort, als een stippellijn weergegeven.
We kunnen geen inbedding van het 4d hyperoppervlak geven, zoals we aan het begin van het artikel deden voor een 2d oppervlak. Overigens hebben we te maken met 4d geodesics, niet met 3d. [r, q, j] en [r, q, j] ruimten zijn niets anders dan representatieruimten, die geacht worden de zaken een beetje duidelijker te maken. De werkelijke geodesics zijn ingeschreven in een 4d ruimte. Hoe dan ook, de [r, q, j] representatie suggereert een of andere 3d "hypertoroïdale brug", waarbij de [r, q, j] representatie een of andere 3d "hyperkegel" suggereert. In deze tweede (3d) representatie van een dergelijk 2d oppervlak zijn het geodesics die van de ene halve plooi naar de andere gaan, passerend door het (r = 0) punt. Dit is vergelijkbaar met een 2d-kegel. Zie figuur 11
Fig. 11: Geodesic van een kegel. Rechts:
een oppervlak met een kegelvormig punt.