- De keuze van een tijdmarker.
In de [ t , r , q , j ] coördinaten, behorende bij het lijnelement (25), is de determinant van de metriek:
(34)
die verdwijnt wanneer r nul wordt. Hoe dan ook, in 1924 toonde Eddington [10] aan dat de singulariteit van de metriek coördinaatafhankelijk was. Laten we eerst terugkeren naar de oorspronkelijke vorm
(35)
Benadruk het feit dat de keuze van het coördinatenstelsel puur willekeurig is, want de metriek, als oplossing van de tensorvormige vergelijking
(36)
S
= 0
is in wezen coördinaatinvariant. We besluiten dat deeltjes langs geodeten bewegen. De willekeurig gekozen coördinaten brengen de fysische betekenis van deze geometrische oplossing met zich mee. We kunnen x⁰ = ct kiezen, waarbij c een constante is. Maar we kunnen ook een ander referentiestelsel kiezen. Dat staat ons vrij. De enige vereiste, voor een gekozen chronologische marker x⁰, of t , x , is dat de metriek asymptotisch euclidisch zou zijn:
(37)
of:
(38)
zoals uitgedrukt in een cartesisch coördinatenstelsel. Onthoud dat een Riemann-metriek euclidisch is als men een coördinatenstelsel kan vinden waarin de kwadratische vorm van het lijnelement constante coëfficiënten heeft. De verzameling van de tekens is de signatuur.
Als deze laatste ( + - - - ) is, is dit een Minkowski-metriek.
(39)
wordende geïdentificeerd met een elementaire afstand, lijkt het een redelijke vereiste om op te leggen dat de metriek asymptotisch euclidisch is "op grote afstand", ongeacht de gekozen definitie voor zo'n afstand ( r of r , hierboven).
De definitie van de "kosmische tijd" of "ruimtemarker", blijft een volledig vrije keuze. Omgekeerd kunnen we de eigentijd
s, of, preciezer, het tijdsinterval Ds tussen twee gegeven punten van de variëteit, niet wijzigen, want deze is in wezen coördinaatonafhankelijk. Bovendien wordt aangenomen dat deeltjes in beide richtingen kunnen reizen, langs een gegeven geodeet.
Fig. 12: De reis van een deeltje op een gegeven geodeet.
De reis van een testdeeltje langs een geodeet is een fenomeen. Een andere geodeet van de variëteit wordt verondersteld te verwijzen naar een "externe waarnemer in rust". Maar de rusttoestand hangt af van de coördinaatkeuze (x⁰, x1 , x2 , x3) , welke volledig willekeurig is.
Deze "externe waarnemer" wordt verondersteld zich te bevinden in een deel van de variëteit waar de metriek euclidisch is, of quasi-euclidisch, d.w.z. de vorm (37) heeft. Dan betekent de rustvoorwaarde dat
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Voor een waarnemer in een dergelijke rusttoestand identificeert elk eigentijdsinterval zich met het bijbehorende willekeurig gekozen "kosmische tijdsinterval":
(41)
Ds
= Dx⁰
...De keuze van de kosmische tijd zijnde puur willekeurig, hangt de evolutie van het testdeeltje in de tijd af van deze keuze. Beschouw twee punten A en B, op een gegeven geodeet, die wordt verondersteld te verwijzen naar een externe waarnemer. Deze punten zijn ruimtetijdgebeurtenissen. Op figuur 13 wordt verondersteld dat de stippellijnen verwijzen naar constante kosmische tijd x⁰.
Fig. 13: Een "externe waarnemer in rust", die de evolutie "beschouwt" van een testdeeltje op een geodeet. Kosmische tijd x⁰
Beschouw nu een andere keuze x voor de kosmische tijd. Zie figuur 14.
Fig. 14: Een "externe waarnemer in rust", die de evolutie "beschouwt" van een testdeeltje op een geodeet. Kosmische tijd x
Laat ons preciseren dat de stippellijnen geen fotonenbanen zijn. Fotonen reizen op eigenaardige, nul-geodeten, die coördinaatinvariant zijn.
We hebben nog steeds Ds(O) = Dx⁰
= Dx, maar de intervallen Ds'(TP) en Ds"(TP) kunnen behoorlijk verschillend zijn, hoewel ze naar dezelfde geodeet verwijzen, want de paren (A',B') en (A",B") kunnen verschillen. In wezen hangen ze af van de gekozen tijdscoördinaat, of "tijdmarker".
- De tijdscoördinaattransformatie van Eddington en haar uitgebreide vorm.
De volgende coördinaattransformatie, geïntroduceerd door Eddington in 1924, een illustratie van dat punt, is:
(42)
Dan wordt het lijnelement
(43)
Omdat de gxx-term nul wordt op de bol r = Rs , is deze laatste een oppervlak van oneindige roodverschuiving (zoals in het klassieke Schwarzschild-metriek lijnelement). De matrix
wordt:
(44)
waarvan de determinant is:
(45)
- r 4
sin2 q
en niet langer verdwijnt, ongeacht de r-waarde. Om redenen die later zullen worden uitgelegd, laten we deze coördinaattransformatie uitbreiden tot:
(46)
Uitgedrukt in het ( x , r , q , j ) coördinatenstelsel, wordt het lijnelement:
(47)
waarvan de determinant dezelfde vorm (44) heeft. Merk op dat de coördinaattransformatie van Eddington overeenkomt met de waarde d = - 1.
We bestuderen de geodeten, gebruikmakend van de Lagrange-vergelijkingen, gebaseerd op de functie:
(48)
met:
Bovendien hebben we, uit de expressie van het lijnelement, klassiek voor materiële deeltjes
(ds ≠ 0):
(49)
Een Lagrange-vergelijking geeft:
(50)
Beschouw de vlakke geodeet q = p/2 , wat geeft:
(51)
Langs een geodeet, ten opzichte van de eigentijd s, is de evolutie van j, monotoon. Een andere Lagrange-vergelijking geeft:
(52)
d.w.z.:
(53)
Gecombineerd met (49), verdwijnt d verrassend genoeg:
(54)
Merk op dat als dr = 0 (nul snelheid) wanneer r naar oneindig neigt, dit overeenkomt met l = 1. Wanneer r naar oneindig neigt, volgens (53):
(55)
Als l
≠ 1 , wanneer r naar oneindig neigt, krijgen we:
(56)
met
krijgen we
(57)
In de
[ r , j ] vinden we, voor niet-nul geodeten (ds
≠ 0), de differentiaalexpressie van de klassieke vorm:
(58)
die patronen oplevert van figuren 7, 8 en 9. Nu kunnen we een nieuwe kosmische tijd definiëren, door:
(59)
x = ct
...Het lijnelement (43) is nog steeds asymptotisch euclidisch. Op "grote afstand" identificeert de eigentijd Ds van een waarnemer in rust zich met het interval Dt.
- Tijdsintervallen voor radiale banen.
We kunnen het tijdsinterval Dt = Dx/c van een deeltje met niet-nul massa, dat een geodeet volgt, berekenen via de differentiaalvergelijking:
(60)
Voor "radiale geodeten" ( h = 0 ) :
(61)
Dicht bij de Schwarzschild-bol, krijgen we:
(62)
l =
1 komt overeen met een testdeeltje wiens snelheid naar nul neigt op oneindig.
Beschouw dat eigenaardige geval:
(63)
Uit (54)
n
= - 1 komt overeen met (dr < 0) banen.
n
= +1 komt overeen met (dr > 0) banen.
...Merk op dat de eigenaardige coördinaattransformatie van Eddington (voor
r ≥ Rs) overeenkomt met d = + 1 . Wanneer we de radiale reistijd Dt van een testdeeltje berekenen, ten opzichte van deze nieuwe kosmische tijd, vinden we dat deze laatste afhangt van de richting van deze beweging en van het teken van d, d.w.z. van het product dn. Wanneer deze positief is, is de reistijd van een testdeeltje, langs een radiale geodeet (r ≥
Rs) eindig. Wanneer deze negatief is, wordt deze reistijd oneindig.
...Als eerste consequentie, indien toegepast op het sferisch symmetrische zwart gat model, geeft de coördinaattransformatie van Eddington een eindige valtijd Dt.
Wanneer r = Rs wordt de snelheid van het deeltje:
(64)
Een testdeeltje, dat naar de Schwarzschild-bol valt, bereikt deze met de snelheid c.
- Lichtsnelheid.
Fotonen reizen op nul-geodeten, overeenkomend met:
(65)
Beschouw de snelheid:
(66)
Uit (65) krijgen we:
(67)
Wanneer r
naar oneindig neigt, neigt vj naar ± c .
Wanneer dr
< 0 hebben we n < 1 . Dan, wanneer r = Rs voor (d
r< 0) banen:
(68)
Wanneer een testdeeltje naar de Schwarzschild-bol valt, langs een radiale baan, bereikt het deze met de lichtsnelheid.
Samenvattend:
(69)
(70)
De lichtsnelheid is verschillend, afhankelijk van (dr > 0) of (d r< 0) banen.
- Het frame-dragging effect.
Beschouw de Kerr-metriek:
(71)
waar r een ruimtecoördinaat is die verschilt van de hierboven gedefinieerde. We reproduceren gewoon vergelijking 7.110 van referentie [1].
Bereken de snelheid van het foton (ds = 0) voor bewegingen die raaklijnen zijn aan cirkels (q = p/2, r =
constante). We vinden:
(72)
d.w.z. twee
verschillende waarden. Dit komt overeen met een azimuthale frame-dragging en is een eigenschap van de Kerr-metriek. Uit referentie [1], 7.7, "The Kerr solution and rotation" lezen we:
Een zeer interessant fysisch effect vloeit voort uit het rotationele karakter van de Kerr-oplossing; een lichaam in geodetische beweging ervaart een kracht evenredig met de parameter a die doet denken aan een Corioliskracht. In losse bewoordingen kunnen we ons voorstellen dat de roterende bron de ruimte met zich meesleept. In een Machiaanse zin "concurrenteert" de bron met de Lorentziaanse randvoorwaarden op oneindig bij de vestiging van een lokaal inertiaalstelsel.
Herformuleerd in termen van Eddingtons coördinaten, induceert het zwarte gat, beschouwd als de bron van het veld, een radiale frame-dragging.
- Zwart gat en witte fontein.
In sectie 4 hebben we een nieuwe interpretatie van de Schwarzschild-geometrie voorgesteld waarbij de Schwarzschild-bol, zie figuur 9, zich gedraagt als een kegelbol, die twee "halve ruimtetijdvouwen" verbindt. We kunnen ons een vergelijkbare structuur voorstellen, die de volgende twee Schwarzschild-geometrieën combineert:
(73)
(74)
Deze twee zijn afgeleid van (43), waarbij het eerste lijnelement (73) overeenkomt met d = -1 en het tweede (74) met d
= +1 . De verbinding levert geen moeilijkheden op, want d verschijnt niet in de berekening van de [ r, j ] representatie van geodeten. Zie vergelijking (58). We krijgen een paar "zwart gat-witte fontein", zonder "centrale singulariteit". Materie kan het zwarte gat binnenkomen, maar niet uitgaan. Aan de andere kant kan materie uit de witte fontein stromen, maar niet binnenkomen. De doorgangstijd is eindig in één richting, en oneindig langs de andere. Berekend met de nieuwe kosmische tijd x, is de eindige doorgangstijd vergelijkbaar met die berekend met de eigentijd s. Voor radiale banen:
(75)
Deze tijd is zeer kort. Zoals in dit artikel werd aangetoond, is het zwarte gat model gebaseerd op een eigenaardige keuze van de coördinaten, en vooral van de kosmische tijd. Zoals opgemerkt in sectie 6 is de keuze van de tijdmarker puur willekeurig. De klassieke geeft een quasi-stationair systeem, waarbij de val van de materie, die in het zwarte gat wordt gestort, "bevroren in de tijd" is, ten opzichte van een externe waarnemer. Maar dit artikel toont aan dat een andere keuze van de tijdmarker, afgeleid van Eddingtons idee, het proces "ontdooit". Vanuit dit oogpunt kunnen zwarte gaten, of paren zwart gat-witte fontein, niet bestaan als permanente objecten, want ze kunnen tientallen zonnemassa's per milliseconde inslikken. Dus er is nog steeds een open vraag:
- Wat gebeurt er wanneer een neutronenster zijn stabiliteitslimiet overschrijdt?
- Representatieruimte.
Voordat we proberen een alternatief modelproject te presenteren, enkele woorden over wat we "representatieruimtes" zouden kunnen noemen. Aan het begin van het artikel hebben we een 2d-oppervlak bestudeerd, zoals gedefinieerd door zijn lijnelement. Het bleek mogelijk om dit oppervlak in R3 in te bedden, wat een isometrische representatie van dit geometrische object opleverde. Terzijde noemden we een [r,j] representatie.
Het is niet mogelijk om een duidelijke representatie van een vierdimensionale hypersurface te geven, omdat we deze niet kunnen tekenen en figuren kunnen tonen. Maar de hypersurface kan worden afgebeeld in veel representatieruimtes, overeenkomend met verschillende coördinaatkeuzes, want het object is in wezen coördinaatinvariant. We kunnen bijvoorbeeld de transformatie (6) introduceren. Dan wordt het lijnelement:
(76)
voor r
0
en:
(77)
voor r
< 0.
"Radiale" geodeten (bijvoorbeeld q = p/2 , dj
= 0 ) focussen op het geometrische centrum O van het systeem (in deze eigenaardige representatie). Dit punt is vergelijkbaar met een "hyperconisch punt".
Een symmetrie ten opzichte van een punt, in een 3d-ruimte, is een P-symmetrie.
In dit [ t , r , q , j ] is het Schwarzschild-lijnelement P-symmetrisch. Het is ook tijdsonafhankelijk (invariant onder tijdtranslatie, d.w.z. komt overeen met een stationaire toestand) en T-symmetrisch, invariant onder:
t ↦
- t