- Isometriegroepen.
Noem a een 3D-rotatiematrix. Schrijf:
(78)
Het element van de SO3 x R-groep kan worden bepaald door de matrix:
(79)
die het product is van twee matrices. De eerste:
(80)
behoort tot SO3.
en de tweede:
(81)
behoort tot de R-tijdtranslatiegroep. Introduceer P- en T-symmetrieën. We krijgen een groep met vier componenten, waarvan het element is:
(82)
Het is het product van twee matrices:
(83)
en:
(84)
Noem deze tweede subgroep E1 (de eendimensionale Euclidische groep).
In de representatie [ t , r , q , j ] is de isometriegroep O3 x E1
Laten we terugkeren naar de uitdrukking van het lijnelement in het coördinatenstelsel [t , r ,q, j]:
(85)
...Klassiek beschouwt men dat de bijbehorende isometriegroep SO3 x R is, wat niet de grootste is. Het is O3 x E1, want het lijnelement is ook invariant onder ruimte- en tijdsinversies.
Beschouw nu het lijnelement uitgedrukt in de "extended Eddington" vorm
(86)
die we schrijven als:
(87)
Introduceer cartesiaanse ruimtecoördinaten [ x1, x2, x3]:
(88)
(89)
(90)
Het lijnelement kan dan worden uitgedrukt in termen van de coördinaten [x ,x1,x2,x3].
(91)
Nu zoeken we de isometrische groep van de metriek, zoals uitgedrukt in dit specifieke coördinatenstelsel.
We hebben eerst P-symmetrie. Het lijnelement is invariant onder:
(92)
x1 → - x1
x2 → - x2
x3 → - x3
Het is ook invariant door de verandering:
(93)
x → - x
d → - d
En door tijdtranslaties: x = x + e. Dit komt overeen met de volgende groep met vier componenten:
Het element is het product van twee matrices. De eerste set
(94)
komt overeen met O3 en de tweede vormt een tweede subgroep waarvan het element is:
(95)
Noem deze tweede subgroep " TF ".
De isometriegroep van (86) is dan:
O3 x TF
Beschouw nu de Schwarzschild-metriek uitgedrukt in het coördinatenstelsel [t = x/c , r , q , j ]. We kunnen de twee uitdrukkingen (76) en (77) samenvoegen tot:
(96)
Herinner dat d = -1 de halve ruimtetijd r > 0 behandelt, terwijl d = +1 de tweede halve ruimtetijd r < 0 behandelt, als we aannemen dat het "zwarte gat" zich in onze vouw bevindt en de "witte fontein" in de "tweelingvouw".
Als de situatie omgekeerd is, d.w.z. als het "zwarte gat" zich in de tweelingvouw bevindt en de "witte fontein" in de onze, krijgen we:
d = +1 behandelt de halve ruimtetijd r > 0
d = -1 behandelt de halve ruimtetijd r < 0
Beschouw het eerste geval (het "zwarte gat" is in ons universum en de "witte fontein" in de tweelingvouw). Daar is de metriek:
(97)
Door de verandering:
r → -r
t → -t
d → -d
krijgen we de tweede metriek:
(98)
Merk op dat de nulheid van de determinant wanneer r = 0 zou corresponderen met de lokale inversie van de ruimte (enantiomorfie) en de tijdcoördinaat op het punt ( r = 0 ). Inderdaad hebben we een niet-nul determinant nodig om gaussische coördinaten te definiëren. Zie referentie [1] 2.4
Als de determinant niet nul is, maakt het mogelijk om een reeks hypersurfaces (x → of x, of t = constant) te definiëren (die corresponderen met een constante waarde van de gekozen chronologische marker), orthogonaal op de geodetische x → of x of t coördinaatlijnen ("wereldlijnen" voor "stationaire punten").
Fig.15: Na fig. 2.1 van referentie [1]
We zouden (97) en (98) in cartesiaanse coördinaten kunnen uitdrukken, zoals eerder, en (92) en (93) terugvinden. De isometriegroep van (96) wordt:
(99)
De twee halve ruimtetijdvouwen zijn PT-symmetrisch.
Herinner dat Andrei Sakharov de eerste was, in 1967 (referenties [26] tot [30]), die suggereerde dat een Universum kon bestaan uit twee tweelinguniversa, het onze en een tweeling, met "tegengestelde tijden". Later suggereerde hij dat de tweelingvouw enantiomorf kon zijn.
- De fysieke betekenis van de inversie van de kosmische tijd t.
Deze tijdsinversie is verwarrend. Het betekent dat de tijdmarker t wordt omgekeerd wanneer men een geodetische volgt, van de ene vouw naar de tweelingvouw. Betekent dit dat de klok van een "passagier", die door deze hypertorische brug gaat, omgekeerd zou zijn?
Hierboven zeiden we dat een paar "zwart gat - witte fontein" kon bestaan, waarbij het "zwarte gat" zich in de tweelingvouw zou bevinden en de "witte fontein" in de andere. Dit zou betekenen dat deze "testpassagier" in de eerste hypertorische brug zou kunnen duiken en uit de tweede zou kunnen oprijzen. Zou hij terug kunnen komen bij zijn ruimtelijke startpunt en "zijn vader doden"?
Fig.16: Een (schematische) paradoxale reis.
Het antwoord is nee, want het teken van de elementaire increment ds van zijn eigentijd verandert niet, langs de geodetische die hij volgt. Dus, wat is de fysieke betekenis van t? Geen. Het is slechts een coördinaat.
Alleen eigentijd heeft een fysieke betekenis.
Dus, wat is het gevolg van de inversie van deze tijdcoördinaat?
We moeten de coadjointe actie van de groep op zijn ruimtemomentum bestuderen (referenties [11] en [12]). Het element van de groep is
(100)
Dit is een groep met twee componenten ( m = ± 1 ), waarvan de dimensie 4 is.
De inverse matrix is:
(101)
Bereken het element van de Lie-algebra. Schrijf:
(102)
da = w
d e = e
Laten we berekenen: dg' = g-1 x dg x g
(103)
(104)
Om de coadjointe actie te berekenen (zie ref. [11]), introduceer de scalair:
(105)
waarvan de invariantie wordt gegarandeerd als:
(106)
d.w.z.:
(107)
De identificatie levert de coadjointe actie van de groep op zijn vier componenten momentum:
(108)
( l , m )
Herinner dat het aantal componenten van het momentum gelijk is aan de dimensie van de groep.
(109)
(110)
m' = m m
We kunnen m identificeren met de massa (of met de energie E = mc2, indiferent). (110) betekent dat wanneer een deeltje door de "kegel-sfeer" gaat, zijn massa wordt omgekeerd (m' = -m). Dit is niet verrassend en geeft de zeer fysieke betekenis van deze "inversie van de tijdcoördinaat".
...Volgens J.M.Souriau [12] kunnen we de component (m = +1) van de groep de "orthochrone" noemen, en (m = -1) de "antichrone component". De elementen van de antichrone component keren de massa om. Tijdsymmetrie is equivalent aan m-symmetrie, zoals aangetoond door J.M.Souriau ([12] p.197, hoofdstuk tijd- en ruimteinversies).
- Vervolgde gekoppelde veldvergelijkingen.
We begonnen met een enkele veldvergelijking met nul als rechterlid:
(111)
S = 0
die verondersteld werd te komen uit een volledige (Einsteinse) vergelijking:
(112)
S = c T
die van toepassing is op het vacuüm (T=0). We kunnen aannemen dat de volledige geometrie kan worden beschreven door twee "geconjugeerde metrieken" g en g*, uit welke we twee Einsteinse geometrische tensoren S en S* kunnen opbouwen. Zie referenties [13] tot [15].
Als de twee halve ruimtetijden leeg zijn, is het stel ( g , g*) een oplossing van het systeem:
(113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Een stationaire exacte oplossing van het systeem (113) en (114) wordt gegeven in referentie [16]). Nu kunnen we de eerste ruimtetijdvouw vullen met positieve massa (positieve energie en druk) die correspondeert met een veldtensor T en de tweede met negatieve massa (negatieve energie) en we nemen aan dat het veld afhangt van beide veldtensoren, via het volgende formalisme:
(115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T*- T )
wat correspondeert met geconjugeerde geometrieën:
(117)
S* = - S
Merk op dat dit definitief niet betekent dat g* = - g !
Tensoren T en T* kunnen worden voorgesteld met massadichtheden r en r* en drukken p en p*.
Hier nemen we aan dat r, r*, p en p* allemaal positief zijn, om te tonen dat "dit dezelfde soort materie is". Het minteken geeft aan dat de "tweelingmaterie" zich gedraagt als materie met negatieve massa (en negatieve energie en druk). Dit systeem van veldvergelijkingen is gepresenteerd en bestudeerd in eerdere papers (referenties [13] tot [15]).
- Een project: het hyperspace-transfermodel.
In referentiële papers zijn stationaire gekoppelde oplossingen [16] en niet-stationaire uniforme oplossingen ([14], [15] en [17]) gepresenteerd. We zijn van plan niet-stationaire en niet-uniforme oplossingen van het systeem (115) plus (116) te construeren. Beschouw bijvoorbeeld beginvoorwaarden waarbij materie aanwezig is in onze ruimtetijdvouw F, terwijl de tweede, F*, leeg is. Het corresponderende systeem zou zijn:
(118)
S = c T
(119)
S* = - c T
...Een stationaire oplossing van een dergelijk systeem werd gepresenteerd in een eerder paper [16]. In dergelijke omstandigheden is materie alleen aanwezig in de vouw F. Het kan de geconjugeerde geometrieën beschrijven die corresponderen met de aanwezigheid van een neutronenster in deze vouw, de onze, terwijl het aangrenzende deel van de tweede (tweeling) vouw F* leeg is. In eerste instantie zijn de twee vouwen niet verbonden. De oplossing, buiten de neutronenster, gehoorzaamt:
(120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Dan wordt materie in de neutronenster gegoten, tot kritieke dichtheid. Specialisten weten dat het eerste symptoom van kritieke dichtheid de plotselinge stijging van de druk tot oneindig is in het centrum van de (verondersteld spherisch symmetrische) neutronenster, volgens het Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV)-model (ref.[1], vergelijking 144.22). We denken dat deze stijging werkt op de lokale waarden van de fysieke constanten (lichtsnelheid, gravitatieconstante, massa). Modellen met "variabele constanten" werden oorspronkelijk geïntroduceerd door de auteurs ([18], [19], [20], en [14]). Later hebben andere auteurs dit nieuwe concept, op een enigszins andere manier, ontwikkeld [17].
...We denken dat dit de geboorte van een hypertoroidale brug zou veroorzaken, die de twee vouwen verbindt. Dan zou materie (snel, met relativistische snelheid) van vouw F naar vouw F* stromen, via deze passage. Zoals hierboven getoond, keert dit fenomeen de massa om, zie sectie 14, vergelijking (110), zodat de niet-stationaire oplossing afhangt van het systeem:
(122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T*- T )
Op "het midden van het proces" is T = T* . Dan gehoorzaamt de oplossing:
(124)
S = 0
(125)
S* = 0
...We denken dat dit de echte betekenis is van de Schwarzschild-geometrie. Het zou corresponderen met een frame dat behoort tot een niet-stationair proces.
...Deze niet-stationaire oplossing is slechts een project van een oplossing. Het is nog niet gebouwd. We weten niet wat eruit zou komen, hoe het volledige proces eruit zou zien.